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2023-2024学年江苏省无锡市新吴区梅里集团校九年级(上)期中数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市新吴区梅里集团校九年级(上)期中数学试卷(含解析),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是
( )
A. x2−5x=5B. 3x+2y=1C. x3+5x=11D. 2x2−6y=7
2.已知四边形ABCD是圆内接四边形,∠A=70∘,则∠C的度数为
( )
A. 70∘B. 80∘C. 100∘D. 110∘
3.我市某中学开展“经典诵读”比赛活动,810班在此次比赛中的得分分别是:9.1,9.8,9.1,9.2,9.9,9.1,9.9,9.1,这组数据的众数和中位数分别是
( )
A. 9.1,9.1B. 9.1,9.15C. 9.1,9.2D. 9.9,9.2
4.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等,则n的值为
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万,2023年的新注册用户数为210万,设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0),根据题意所列方程正确的是
( )
A. 100x2=210B. 100(1−x)2=210
C. 1000(1+2x)2=210D. 10(1+x)2=210
6.如图,已知AB是半圆O的直径,∠DAC=36∘,D是弧AC的中点,那么∠BAC的度数是
( )
A. 54∘B. 27∘C. 36∘D. 18∘
7.下列命题中,真命题的个数是
( )
①长度相等的弧是等弧
②相等的圆心角所对的弦相等
③等边三角形的外心与内心重合
④任意三点可以确定一个圆
⑤三角形有且只有一个外接圆
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.我国古代数学家赵爽(公元3∼4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程x2+2x−35=0即x(x+2)=35为例说明,记载的方法是:构造如图1,大正方形的面积是(x+x+2)2,同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×35+22,因此x=5.则图2是下列哪个方程的几何解法
( )
A. x2−3x−10=0B. x2+2x−8=0C. x2−4x−5=0D. x2+5x−6=0
9.如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则圆锥的表面积为
( )
A. 4πcm2B. 5πcm2C. 6πcm2D. 8πcm2
10.如图,ΔABC内接于⊙O,BC=18,∠A=60∘,点D为弧BC上一动点,BE⊥直线OD于E,当点D由B点沿弧BC运动到点C时,点E经过的路线长为
( )
A. 6 3πB. 27C. 27 3πD. 4 3π
二、填空题(本大题共8小题,共24分)
11.已知关于x的方程x2−2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
12.有一枚质地均匀的骰子,骰子各个面上的点数分别为1∼6.任意抛掷这枚骰子,朝上面的点数大于3的概率是 .
13.如图,若圆锥的母线长为6,底面半径为2,则其侧面展开图的圆心角为 .
14.设a,b分别是方程x2+x−2023=0的两个实数根,则a2+2a+b的值是 .
15.如图,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=54∘,则∠ABO的度数是 .
16.某电视台要招聘1名记者,某应聘者参加了3项素质测试,成绩如下:
如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按3:5:2计算,则该应聘者的素质测试平均成绩是 分.
17.如图,已知⊙O与RtΔAOB的斜边交于C,D两点,C、D恰好是AB的三等分点,若⊙O的半径等于10,则∠A= ,AB的长为 .
18.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90∘,则AB长度的最大值为 .
三、解答题(本大题共10小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(本小题8分)
解方程:
(1)(x−1)2−25=0;
(2)x2−4x−1=0(配方法);
(3)x2−7x+12=0;
(4)x(x+2)=(x+2).
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)若此方程的一个根是1,求出方程的另一个根及m的值.
21.(本小题8分)
某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况,加强学生的安全防范和自我保护意识,对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动.用简单随机抽样的方法,随机抽取若干名学生统计答题成绩,分别制成如下频数分布表和频数分布直方图:
初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表
(1)表格中,a=__,b=__;
(2)请把频数分布直方图补充完整;(画图后标注相应的数据)
(3)规定成绩80分以上(含80分)的同学成为“安全明星”,则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人?
22.(本小题8分)
秋高气爽,小明和小华准备游览一下无锡本地著名景点,备选景点有灵山大佛山(记为A)、鼋头渚(记为B)、梅园(记为C)、荡口古镇(记为D),他们各自在这四个景点中任选一个,每个景点被选中的可能性相同.
(1)小明选择去梅园的概率为__;
(2)用树状图或列表的方法求小明和小华选择去同一个地方游玩的概率.
23.(本小题8分)
直播购物逐渐走进了人们的生活,某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售,据市场分析,销售单价定为50元时,一个月能售出500件;若销售单价每涨1元,月销售量就减少10件.
(1)若实际单价定为56元,则一个月的利润为__元;
(2)针对这种小家电的销售情况,该商店要保证每月盈利8000元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
24.(本小题8分)
如图,已知ΔABC是锐角三角形.
(1)利用直尺与圆规画出ΔABC的外接圆⊙O.(保留作图痕迹)
(2)利用直尺与圆规画出(1)中经过点B的⊙O的切线l.(保留作图痕迹)
25.(本小题8分)
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:∠E=∠D;
(2)若AB=6,BC−AC=2,求CE的长.
26.(本小题8分)
如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点B作BE⊥AD,垂足为点E,AB平分∠CAE.
(1)判断BE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ACB=30∘,⊙O的半径为4,请求出图中阴影部分的面积.
27.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2−6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2−6x+8=0就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程x2−3x+c=0是“倍根方程”,则c=__;
(2)若(x−2)(mx−n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代数式4m2−5mn+n2的值;
(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”,求a,b,c之间的关系.
28.(本小题8分)
如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),与MN的另一个交点R,连接AC,DE
(1)当∠APB=28∘时,求∠B的度数和弧CM的度数.
(2)求证:AC=AB.
(3)若MP=4,点P为射线MN上的一个动点,
①求MR的值;
②在点P的运动过程中,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求此时所有满足条件的MQ的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断.
【解答】解:A.x2−5x=5为一元二次方程,所以A选项符合题意;
B.3x+2y=1为二元一次方程,所以B选项不符合题意;
C.x3+5x=11为一元三次方程,所以C选项不符合题意;
D.2x2−6y=7为二元二次方程,所以D选项不符合题意;
故选:A.
2.【答案】D
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠C=180∘,
∵∠A=70∘,
∴∠C=180∘−∠A=180∘−70∘=110∘.
故选:D.
3.【答案】B
【解析】【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的众数,然后再计算出中位数即可.
【解答】解:将数据9.1,9.8,9.1,9.2,9.9,9.1,9.9,9.1按照从小到大排列是:9.1,9.1,9.1,9.1,9.2,9.8,9.9,9.9,
则这组数据的众数是9.1,中位数是(9.1+9.2)÷2=9.15,
故选:B.
4.【答案】C
【解析】【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等,推出这个多边形的中心角=60∘,构建方程即可解决问题.
【解答】解:∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等,
∴这个多边形的中心角=60∘,
∴360∘n=60∘,
∴n=6,
故选:C.
5.【答案】D
【解析】【分析】利用该网络学习平台2023年的新注册用户数=该网络学习平台2021年的新注册用户数×(1+新注册用户数的年平均增长率) 2,即可列出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:根据题意得:100(1+x)2=210.
故选:D.
6.【答案】D
【解析】【分析】连接OC、OD,如图,先根据圆周角定理得到∠COD=2∠DAC=72∘,再利用AD=CD得到∠AOD=∠COD=72∘,接着利用平角的定义计算出∠BOC=36∘,然后根据圆周角定理得到∠BAC的度数.
【解答】解:连接OC、OD,如图,
∵∠DAC=36∘,
∴∠COD=2∠DAC=72∘,
∵D是弧AC的中点,
∴AD=CD,
∴∠AOD=∠COD=72∘,
∴∠BOC=180∘−72∘−72∘=36∘,
∴∠BAC=12∠BOC=18∘.
故选:D.
7.【答案】C
【解析】【分析】根据等弧的概念,圆的相关性质,确定圆的条件逐项判断即可.
【解答】解:能够重合的弧是等弧,故①是假命题;
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,故②是假命题;
等边三角形的外心与内心重合,故③是真命题;
不在同一直线上的任意三点可以确定一个圆,故④是假命题;
三角形有且只有一个外接圆,故⑤是真命题;
∴真命题有2个;
故选:C.
8.【答案】A
【解析】【分析】根据题意,观察图2,由面积之间的关系可得出答案.
【解答】解:中间小正方形边长为x−(x−3)=3,其面积为9,
大正方形面积为(x+x−3)2=4x(x−3)+9=4×10+9=49,边长为7,
∴图2是x(x−3)=10,即x2−3x−10=0的几何解法,
故选:A.
9.【答案】B
【解析】【分析】设AB=xcm,则DE=(6−x)cm,根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程,求解即可.
【解答】解:设AB=xcm,则DE=(6−x)cm,
根据题意,得90πx180=π(6−x),
解得x=4,
所以圆锥的表面积=S侧+S底=14×42π+π=5πcm2.
故选:B.
10.【答案】D
【解析】【分析】当点E在以OB为直径的圆M上当点D在B点时,此时B和E重合;当D沿BC运动到点C和C点重合时,连接OC,则E点经过的路径是以OB为直径的圆上弦BE所对的优弧的长,进而求解.
【解答】解:作圆O的直径BF,连接CF,取OB的中点M,连接EM,如图所示:
∵BF为OO的直径,
∴∠BCF=90∘,
∵∠F=∠A=60∘,
∴sinF=BCBF,
∴BF=BCsin60∘=12 3,
∴OB=6 3,
∵BE⊥OD,M为OB的中点.
∴EM=12OB=BM=3 3,
故当点E在以OB为直径的圆M上当点D在B点时,此时B和E重合;
当D沿BC运动到点C和C点重合时,连接OC,
由圆周角定理得:∠BOC=2∠A=120∘,∠BOE=60∘,∠BME=120∘,
故E点经过的路径是以OB为直径的圆上弦BE所对的优弧的长,
由弧长公式得:240π×3 3180=4 3π,
故选:D.
11.【答案】k0.即可得到关于k的不等式,从而求得k的范围
【解答】解:∵a=1,b=−2,c=3k,
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×3k=4−12k>0,
解得:k0即可.△=[−(m+2)]2−4(2m−1)=m2−4m+8=(m−2)2+4,因为(m−2)2≥0,可以得到△>0;
(2)将x=1代入方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0,求出m的值,进而得出方程的解.
21.【答案】解:(1)∵样本容量为3÷0.02=150,
∴a=12150=0.08,d=30150=0.2,
则b=150×0.4=60.
故答案为:0.08、60;
(2)频数分布图如图所示:
(3)该校初三学生成为“安全明星”的共有1000×(0.4+0.2)=600(人).
答:该校初三学生成为“安全明星”的估计有600人.
【解析】【分析】(1)先根据50≤x
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