2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校九年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校九年级（上）9月月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. y2+x=1C. x2+1=0D. 1x+x2=1
2.一元二次方程(x−2)2=9的两个根分别是( )
A. x1=1，x2=−5B. x1=−1，x2=−5
C. x1=1，x2=5D. x1=−1，x2=5
3.▵ABC中，∠C=90∘，且c=3b，则csA=．( )
A. 23B. 2 23C. 13D. 103
4.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−1，则另一个根为( )
A. −2B. 2C. 4D. −3
5.对于任意实数k，关于x的方程x2−2k+1x−k2+2k−1=0的根的情况为
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
6.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
( )
A. k>−1B. k<1且k≠0C. k≥−1且k≠0D. k>−1且k≠0
7.如果一元二次方程x2+(m+1)x+m=0的两个根是互为相反数，那么有( )
A. m=0B. m=−1C. m=1D. 以上结论都不对
8.如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC=( )
A. 13B. 14C. 15D. 55
9.设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式1a+1b的值为
( )
A. 5B. 3C. 9D. 11
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
10.将方程(x−1)2=6化成一元二次方程的一般形式，得 ．
11.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则tanB的值为 ．
12.关于x的方程2x+52=m+1无实数解，则m的取值范围 ．
13.已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则1a+1b的值是
14.已知a、b是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，则代数式a−ba+b−2+ab的值等于 ．
15.在△ABC中，(tanA− 3)2+| 22−csB|=0，则∠C= ．
16.已知l1//l2//l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角▵ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是 ．
17.已知m，n是方程x2−x−2016=0的两个实数根，则m2+n的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8分)
解下列方程：
(1)32x−12=27
(2)2x2−4x+1=0
19.(本小题8分)
计算：
(1)tan30∘+2sin60∘⋅cs45∘；
(2)3tan245∘− 3sin60∘−2tan30∘．
20.(本小题8分)
由下列条件解直角三角形：在Rt▵ABC中，∠C=90∘；
(1)已知a+c=12，∠B=60∘
(2)b+c=30，∠A−∠B=30∘．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2−15，求k的值．
22.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，BC= 6+ 2，∠C=45∘，AB= 2AC，求AC的长．
23.(本小题8分)
随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计2022年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2020年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
(1)求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
(2)若2022年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2023年春节该小区停放新能源汽车的数量．
24.(本小题8分)
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2−3mx+3=0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
25.(本小题8分)
某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；
(2)如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
26.(本小题8分)
综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”.例如：一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程：x2+x=0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x−6=0； ②2x2−2 5x+2=0．
(2)已知关于x的一元二次方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
27.(本小题8分)
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD=BC,DH=208cm，测得∠GAE=60∘时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60∘调节为54∘，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54∘≈0.8,cs54∘≈0.6)
28.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，
(1)当x为何值时，点P，N重合；
(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【详解】(x−2)2=9，
两边直接开平方得：x−2=±3，
则x−2=3，x−2=−3，
解得：x1=−1，x2=5．
故选D．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
3.【答案】C
【解析】【分析】直接利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】在Rt▵ABC中，∠C=90∘，且c=3b，
∴csA=bc=b3b=13，
故选：C．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义及运用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【详解】设一元二次方程的另一根为x1，
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−1，
∴−1+x1=−3，
解得：x1=−2．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号即可：
∵a=1，b=−2k+1，c=−k2+2k−1，
∴Δ=b2−4ac=−2k+12−4×1×−k2+2k−1=8+8k2>0．
∴此方程有两个不相等的实数根．故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(−2)2−4k⋅(−1)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且△=(−2)2−4k⋅(−1)>0，
解得k>−1且k≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
7.【答案】B
【解析】【详解】试题解析：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知
x1+x2=−m+1=0, 即m+1=0,
解得，m=−1.
故选B．
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别是x1,x2.
则x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca.
8.【答案】A
【解析】【分析】取格点D，连接BD，可得BD⊥AC，根据格点和勾股定理先求出AD、BD，最后求出∠BAC的正切．
【详解】解：如图，取格点D，连接BD，
由格点图可以得出，BD⊥AC，
由格点三角形可得：AD= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，
∴tan∠BAC=BDAD= 23 2=13，
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】根据已知得出a，b是一元二次方程x2−3x+1=0的两根，则a+b=3，ab=1，把代数式变形后整体代入即可．
【详解】解：∵a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，
∴a2−3a+1=0，b2−3b+1=0，且a≠b，
∴a，b可以看作是一元二次方程x2−3x+1=0的两根，
∴a+b=3，ab=1，
∴1a+1b=a+bab=31=3．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
10.【答案】x2−2x−5=0
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)据此，对原方程通过去括号、移项即可将原方程转化为一般式方程．
【详解】解：移项得，x−12−6=0，
去括号得，x2−2x+1−6=0，
合并同类项得，x2−2x−5=0，
故答案为：x2−2x−5=0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11.【答案】43
【解析】【分析】根据题意设BC=3x，则AB=5x，得出AC=4x，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=BCAB=35，
设BC=3x，则AB=5x，
∴AC= AB2−BC2=4x，
∴tanB=ACBC=4x3x=43

故答案为：43．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．
12.【答案】m<−1
【解析】【分析】根据没有实数解可得m+1<0，解之即可．
【详解】∵2x+52=m+1无实数解，
∴m+1<0，
解得m<−1
故答案为m<−1．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及平方根的概念，解题关键是知道负数没有平方根．
13.【答案】−65
【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b=6，ab=−5，然后将所求式子通分整理后代入进行计算即可得．
【详解】∵一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，
∴a+b=6，ab=−5，
∴1a+1b=b+aab=−65，
故答案为：−65．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14.【答案】−3
【解析】【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，
∴a+b=2,ab=−3，
∴a−ba+b−2+ab
=a−b2−2+ab
=ab
=−3．
故答案为−3．
15.【答案】75°
【解析】【分析】根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：∵(tanA− 3)2+| 22−csB|=0
∴tanA= 3,csB= 22，
∴∠A=60∘,∠B=45∘
∴∴∠C=180∘−∠A−∠B=75∘
故答案为：75°
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出特殊角三角函数值是解题关键．
16.【答案】 1010
【解析】【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为a，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后证明▵ACD≌▵CBEAAS，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE=a，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为a，

∵∠CAD+∠ACD=90∘，∠BCE+∠ACD=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
在等腰直角▵ABC中，AC=BC，
在▵ACD和▵CBE中，
∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC=90∘AC=BC,
∴▵ACD≌▵CBEAAS，
∴CD=BE=a，
∴AD=2a，
∴AC= CD2+AD2= 5a，
∴AB= 2AC= 10a，
∴sinα=a 10a= 1010，
故答案为： 1010．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
17.【答案】2017
【解析】【分析】由一元二次方程根的概念及根与系数的关系可得m2=m+2016与m+n=1，然后代入所求的代数式中即可．
【详解】∵m,n是方程x2−x−2016=0的两个实数根，
∴m2−m−2016=0，m+n=1，
∴m2=m+2016，
∴m2+n=m+n+2016=1+2016=2017，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，整体代入思想，关键由m是方程的解得到m2=m+2016，再整体代入求值．
18.【答案】(1)32x−12=27
2x−12=9
2x−1=±3
解得：x1=2,x2=−1；
(2)2x2−4x+1=0
x2−2x+12=0
x2−2x=−12
x2−2x+1=−12+1
x−12=12
x−1=± 22
解得：x1=1+ 22,x2=1− 22

【解析】【分析】(1)利用直接开方法求出x的值即可；
(2)利用配方法求解即可．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知利用配方法与直接开方法解一元二次方程是解答此题的关键．
19.【答案】(1)原式= 33+2× 32× 22，
= 33+ 62；
(2)原式=3×1− 3× 32−2× 33，
=3+ 3× 36，
=3+12，
=72．

【解析】【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案；
(2)直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值运算，正确熟记相关数据是解题的关键．
20.【答案】(1)∠A=90∘−∠B=90∘−60∘=30∘，
∵sinA=ac,
∴a=c⋅sin30∘=12c,
∵a+c=12,
∴12c+c=12,
∴c=8,
∴a=12c=4,
∴b= c2−a2= 82−42=4 3.
(2)∵∠C=90∘，
∴∠B+∠A=90∘，
∵∠A−∠B=30∘，
∴∠A=60∘,∠B=30∘，
∴sinB=sin30∘=12=bc，
∵b+c=30，
∴b=10,c=20，
∴a= 202−102=10 3;

【解析】【分析】(1)先利用互余计算∠A的度数，再利用∠A的正弦得到a=12c，接着利用a+c=12可计算出c=8，从而得到a=4，然后根据勾股定理计算b的值；
(2)先利用互余计算∠B，∠A的度数，再利用∠B的正弦求b,c，从而可得到a的值；
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
21.【答案】(1)∵关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两个实数根，
∴Δ=−k+12−414k2+1=2k−3≥0，解得k≥32；
(2)∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=k+1，x1⋅x2=14k2+1，
∵x12+x22=6x1x2−15，
∴(x1+x2)2−8x1x2+15=0，
∴k2−2k−8=0，解得：k1=4，k2=−2，
又∵k≥32，
∴k=4．

【解析】【分析】(1)由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
(2)由根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1⋅x2，利用已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键．
22.【答案】过A作AD⊥BC于D点，
设AC= 2x，则AB=2x，
∵∠C=45∘，
∴∠DAC=45∘，
∴AD=CD=x，
由勾股定理得BD= AB2−AD2= 3x，
∵BC= 6+ 2，BC=BD+CD，
∴ 3x+x= 6+ 2，
∴x= 2．
∴AC=2．

【解析】【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得到特殊三角形．过A点作BC的垂线，根据勾股定理得到BD= AB2−AD2= 3x，然后利用BC= 6+ 2，BC=BD+CD列方程求AC的长．
23.【答案】(1)解：设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，
则(1+x)2=1.96，
解得：x1=0.4=40%，x2=−2.4(舍去)，
答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为40%；
(2)答：490×(1+40%)=686(辆)，
答：估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量约为686辆．

【解析】【分析】(1)设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“2022年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2020年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍”即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得解；
(2)利用(1)的结论得到490×(1+40%)，计算即可得解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：∵∠A=60°，
∴tanA= 3．
把x= 3代入方程2x2−3mx+3=0，得2( 3)2−3 3m+3=0，解得m= 3．
把m= 3代入方程2x2−3mx+3=0得2x2−3mx+3=0，解得x1= 3，x2= 32．
∴csB= 32，即∠B=30°．
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，
即△ABC是直角三角形．

【解析】【分析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和判断三角形，解题关键是熟记特殊三角函数值．
25.【答案】(1)解：由题意知，购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是：60−46−402×1=60−3=57(元)，
故答案为：57；
(2)解：该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书100−x本．
若x>40，则40100−x+x60−x−402=4750，
化简得x2−80x+1500=0，
解得x=50或x=30(舍去)；
若x≤40，则40100−x+60x=4750，
解得x=37.5(舍去)；
综上可知，该校购进古典诗词类图书50本．

【解析】【分析】(1)根据“超过40本时，每增加2本，单价降低1元”即可求解；
(2)该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书100−x本，分x>40和x≤40两种情况分别列方程，即可求解．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意第二问需分情况讨论．
26.【答案】(1)解：①解方程得：(x+3)(x−2)=0，
∴x1=−3，x2=2，
∵2≠−3+1，
∴x2+x−6=0不是“邻根方程”；
②x=2 5± 20−164=2 5±24= 5±12，
∴x1= 5+12，x2= 5−12，
∵ 5+12− 5−12=1，
∴2x2−2 5x+2=0是“邻根方程”；
(2)解：x2−(m−2)x−2m=0
(x−m)(x+2)=0，
∴x1=m，x2=−2，
∵方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m=−2+1或m=−2−1，
∴m=−1或−3．

【解析】【分析】(1)根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；
(2)先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
27.【答案】解：如图，延长BC与底面交于点K，过D作DQ⊥CK于Q，则四边形DHKQ为矩形，
∴QK=DH=208，

∵AD=BC，AD/​/BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
当∠GAE=60∘时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=60∘，
此时∠CDQ=30∘，CQ=288−208=80，
∴CD=2CQ=160，
当∠GAE=54∘时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=54∘，
∴CQ=CD•cs54∘≈160×0.6=96，
而96>80，96−80=16，
∴点C离地面的高度升高了，升高了16cm．

【解析】【分析】如图，延长BC与底面交于点K，过D作DQ⊥CK于Q，则四边形DHKQ为矩形，可得QK=DH=208，证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB/​/CD，当∠GAE=60∘时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=60∘，此时∠CDQ=30∘，CQ=288−208=80，CD=2CQ=160，当∠GAE=54∘时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=54∘，CQ=CD•cs54∘≈160×0.6=96，从而可得答案．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
28.【答案】(1)当P、N重合时有：AP+DN=AD=20，
即：x2+2x−20=0，解得：x= 21−1或x=− 21−1(舍去)，
所以当x= 21−1时，P，N重合．
(2)因为当N点到达A点时，x=2 5，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧．
当P点在N点的左边时有方程：
20−2x−x2=20−x−3x，
x2−2x=0解得：x=2或x=0(舍去)．
当P点在N点的右边时有方程：
2x+x2−20=20−x−3x，
x2+6x−40=0，解得：x=4或x=−10(舍去)．
∴当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】(1)当P、N重合时有：AP+DN=20，解方程可得．
(2)MQ=PN，时PQMN是平行四边形，其中不确定P，N的位置关系，所以需要分类讨论．