2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二上学期期中考试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.经过点P(2,−1)，倾斜角为45∘的直线方程为
( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+3=0D. x−y−3=0
2.在空间直角坐标系中，点(1,2,−3)关于y轴对称点的坐标是
( )
A. −1,2,3B. −1,−2,−3C. −1,2,−3D. 1,−2,−3
3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为 2，则它的渐近线方程为
( )
A. y=±xB. y=±12xC. y=± 22xD. y=± 2x
4.已知直线l1:mx+2y−2=0与直线l2:5x+(m+3)y−5=0，若l1/​/l2，则m=( )
A. −5B. 2C. 2或−5D. 5
5.已知直线l的一个方向向量为u=1,− 3，且l经过点(1,−2)，则下列结论中正确的是
( )
A. l的倾斜角等于150∘B. l在x轴上的截距等于2 33
C. l与直线3x− 3y+2=0垂直D. l与直线 3x+y+2=0平行
6.设F1和F2为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，若F1，F2，P0,2b是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为
( )
A. 77B. 2 77C. 33D. 2 33
7.已知动点P在曲线2x2−y=0上，则点A(0,2)与点P连线的中点的轨迹方程是
( )
A. y=4x2B. y=8x2C. y=4x2+1D. y=8x2+1
8.若直线y−2=kx−4与曲线x= 4−y2恰有交点，则实数k的取值范围是
( )
A. 1,43B. 0,43C. 1,53D. 0,53
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设直线l1：x+y−1=0，l2：x−y+1=0，则
( )
A. l1与l2平行B. l1与l2相交
C. l1与l2的交点在圆x2+y2=1上D. l1与l2的交点在圆x2+y2=1外
10.圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−4x+4y−8=0的交点为A、B，则
( )
A. 公共弦AB所在直线的方程为x−y+1=0
B. 两圆圆心距C1C2=2 2
C. 线段AB中垂线的方程为x+y=0
D. 公共弦AB的长为2 2
11.0∘≤α≤180∘变化时，方程x2+y2csα=1表示的曲线的形状可以是
( )
A. 两条平行直线B. 圆
C. 焦点在x轴上的椭圆D. 焦点在x轴上的双曲线
12.《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧.油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(此时阳光照射方向与地面的夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
( )
A. 该椭圆的长轴为3 2+ 63B. 该椭圆的离心率为2− 3
C. 该椭圆的焦距为3 2− 63D. 该椭圆的焦距为2 3−2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则p=_______．
14.过直线2x−y+4=0与3x−2y+9=0的交点，且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程是_______．
15.椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a−y22=1有相同的焦点，则双曲线方程是_______．
16.已知A2,1,3，B2,−2,6，C3,6,6，则AC在AB上的投影向量为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点P2,4．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)求以(1,−1)为中点的抛物线C的弦所在直线的方程．
18.(本小题12分)
已知▵ABC为等腰直角三角形，且∠C=90∘，若A，C的坐标分别为0,4，3,3．
(1)求点B的坐标；
(2)求过点B与AC所在边平行的直线方程．
19.(本小题12分)
如图所示，在棱长为2的正方体OABC−O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF=x，其中0≤x≤2，以O为原点建立空间直角坐标系O−xyz．
(1)求证：A1F⊥C1E；
(2)若x=1，求csEF,EA的值．
20.(本小题12分)
已知圆E经过点A0,0，B2,2，且与y轴相切．
(1)求圆E的方程；
(2)求过点P4,3的圆E的切线方程．
21.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为2．
(1)若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，求双曲线方程；
(2)设F1、F2是C的两个焦点，P为C上一点，且PF1⋅PF2=0，△PF1F2的面积为9，求C的标准方程
22.(本小题12分)
如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)两焦点为F1−1,0，F21,0且经过点A0,−1．
(1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】由倾斜角求斜率，再由点斜式方程可得．
解：直线倾斜角为 45∘ ，则斜率为 1 ，
又直线经过点 P(2,−1) ，
则直线方程为 y+1=x−2 ，即 x−y−3=0 ．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】在空间直角坐标系中，由两点关于 y 轴对称得两点纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标也互为相反数可得所求．
解：在空间直角坐标系中，点 (1,2,−3) 关于 y 轴对称点的坐标为 (−1,2,3) ，
故选：A．
3.【答案】A
【解析】【分析】分析由离心率可得出 a 、 b 的等量关系，由此可得出该双曲线的渐近线方程．
解：设双曲线的标准方程为 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 ，则该双曲线的渐近线方程为 y=±abx ，
因为双曲线的离心率为 e=ca= 2 ，则 c= 2a ，则 b= c2−a2= 2a2−a2=a ，
因此，该双曲线的渐近线方程为 y=±abx=±x ．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的平行，属于基础题.利用两条直线平行的性质列式计算即可．
【解答】
解：若l1/​/l2，则m(m+3)−2×5=m2+3m−10=(m−2)(m+5)=0，所以m=2或m=−5．
当m=2时，l1，l2重合;当m=−5时，符合题意．
5.【答案】D
【解析】【分析】A项，由方向向量求斜率则可得倾斜角；B项，由点斜式方程可求出直线方程，令 y=0 ，可求在x轴上的截距；C项，由斜率关系可判断；D项，由斜率相等，截距不同可得两直线平行．
解：选项A，因为直线l的方向向量为 u=1,− 3 ，
则直线l的斜率 k=− 3 ，倾斜角为 120∘ ，故A项错误；
选项B，由直线l经过点 (1,−2) ，则直线方程为 y+2=− 3(x−1) ，
即 y=− 3x+ 3−2 ，
令 y=0 ，解得 x=1−2 33 ，即直线l在x轴上的截距为 1−2 33 ，故B错误；
选项C，因为直线 3x− 3y+2=0 的斜率为 3 ，
由两直线斜率乘积 − 3× 3=−3≠−1 ，故两直线不垂直，故C错误；
选项D，直线 3x+y+2=0 ，方程可化为 y=− 3x−2 ，
直线 l 的方程为 y=− 3x+ 3−2 ，
因为两直线斜率相等，且在 y 轴的截距不相等，故两直线平行，故D正确．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】由三角形 F1 F2 P 是等边三角形，得到b、c的齐次式，即可求出离心率．
解：设椭圆是焦距为2c．
因为 F1 ， F2 ， P0,2b 是等边三角形的三个顶点，
所以 tanπ6=c2b= 33 ，有 3c2=4b2=4a2−c2 ，则 e=ca=2 77 ．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】设 AP 的中点为 x,y ，根据中点坐标公式可得 P2x,2y−2 ，进而将 P 点的坐标代入曲线方程即可求解．
解：设 AP 的中点为 x,y ，
因为 A(0,2) ，则 P2x,2y−2 ，
因为点P在曲线 2x2−y=0 上，
所以将 P2x,2y−2 代入曲线 2x2−y=0 ，
则 2⋅2x2−2y−2=0 ，即 y=4x2+1 ，
所以 AP 的中点的轨迹方程是 y=4x2+1 ．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】由直线过定点，曲线为半圆弧，数形结合求解直线斜率的范围即可．
解：直线 y−2=kx−4 过定点 (4,2) ，
曲线方程 x= 4−y2 变形得 x2+y2=4(x≥0) ，
即曲线为以原点 O(0,0) 为圆心， 2 为半径的右半圆弧，
过点 A 与曲线相切的直线有两条，
设切线斜率为 k1 ，则可设方程为 y−2=k1(x−4) ，
即 k1x−y+2−4k1=0 ，
由直线与圆相切，则圆心 O(0,0) 到直线的距离 d=2−4k1 k12+1=2 ，
解得 k1=0 或 k1=43 ，
由图可知，要使直线与曲线恰有交点，
由题意，直线 y−2=kx−4 斜率为 k ，则 0≤k≤43 ．
故选：B．
9.【答案】BC
【解析】【分析】由两直线斜率判断AB，解出两直线的交点判断CD．
解：由题意，直线 l1:y=−x+1,l2:y=x+1 ，
两直线斜率分别为 k1=−1,k2=1 ， k1≠k2 ，
故两直线相交，选项A错误，B正确；
联立 x+y−1=0x−y+1=0 ，解得 x=0y=1 ，故两直线交点为 (0,1) ，
由 02+12=1 ，得交点在圆 x2+y2=1 上.故C正确，D错误．
故选：BC．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查圆的公共弦、公切线、圆与圆的位置关系、点到直线的距离、直线与圆的交点坐标、弦长，属于一般题．
将两圆方程作差可得相交弦AB所在直线的方程，可判断A选项；求出两圆圆心距，可判断B选项；利用等腰三角形的几何性质可判断C选项；利用勾股定理求出AB，可判断D选项．
【解答】
解：对于A选项，将两圆方程作差可得4x−4y+4=0，即x−y+1=0，
所以公共弦AB所在直线的方程为x−y+1=0，故A对；
对于B选项，圆C1的圆心为C10,0，半径为r1=2，
圆C2的标准方程为x−22+y+22=16，圆心为C22,−2，半径为r2=4，
两圆圆心距为C1C2= 2−02+−2−02=2 2，故B对；
对于C选项，连接AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2，
如图所示：
因为AC1=BC1，所以线段AB的垂直平分线即为▵ABC1的底边AB的高所在的直线，
且直线AB的方程为x−y+1=0，
故线段AB的垂直平分线所在直线方程为y=−x，即x+y=0，故C对；
对于D选项，圆心C1到直线AB的距离为d=1 2= 22，
所以|AB|=2 r12−d2=2 4−12= 14，故D错．
故选ABC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】根据cs α 符号，对角 α 分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可．
解：当 α=90∘ 时， cs90∘=0 ，方程 x2=1 ，得 x=±1 表示与 y 轴平行的两条直线;故A正确；
当 α=0∘ 时， cs0∘=1 ，方程 x2+y2=1 表示圆心在原点的单位圆;故B正确；
当 90∘>a>0∘ 时， 1>csα>0 ，方程 x2+y2csα=1 表示中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆;故C错误；
当 180∘>a>90∘ 时， csα<0 ，方程 x2+y2csα=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线;故D正确；
当 α=180∘ 时， cs180∘=−1 ，方程 x2−y2=1 表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线．
故选：ABD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】先求得 BF1 ，结合椭圆的知识以及正弦定理求得 a 、 c ，进而求得椭圆的离心率和焦距．
解： sin60∘+45∘=sin60∘cs45∘+cs60∘sin45∘= 6+ 24 ，
如图， A 、 B 分别是椭圆的左、右顶点， F1 是椭圆的左焦点， BC 是圆的直径， D 为该圆的圆心．
因为 BD=DF1=1 ， DF1⊥BC ，所以 BF1= 2 ，
设椭圆的长轴长为 2a ，焦距为 2c ，则 a+c= 2 ．
因为 ∠A=60∘ ， ∠B=45∘ ， BC=2 ， AB=2a ，
由正弦定理得 2sin60∘=2asin60∘+45∘ ，
解得 a=sin105∘sin60∘= 6+ 24×2 3=3 2+ 66 ，所以 c= 2−a=3 2− 66 ，
所以 ca=3 2− 63 2+ 6=2− 3 ， 2c=3 2− 63 ．
所以，椭圆的长轴长为 2a=3 2+ 63 ，离心率为 2− 3 ，焦距为 3 2− 63 ．
故选：ABC．
13.【答案】4
【解析】【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得．
解：抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=−p2 ，设 Q(x0,y0) ，显然 x0=y022p≥0 ，当且仅当 y0=0 时取等号，
则点 Q 到焦点的距离 d=x0+p2≥p2 ，当且仅当 x0=0 时取等号，因此 p2=2 ，
所以 p=4 ．
故答案为：4
14.【答案】2x+y−8=0
【解析】【分析】联立方程求交点，再根据直线垂直的斜率关系求斜率，然后点斜式可得．
解：解方程组 2x−y+4=03x−2y+9=0 得 x=1y=6 ，
因为直线 x−2y+3=0 的斜率为 12 ，
所以，所求直线的斜率为 −2 ，
由点斜式得 y−6=−2x−1 ，即 2x+y−8=0 ．
故答案为： 2x+y−8=0
15.【答案】x2−y22=1
【解析】【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，判断焦点位置再由焦距相同建立关于 a 的方程求解即可．
解：由方程 x2a−y22=1 表示双曲线可知 a>0 ，则焦点在 x 轴上，
由椭圆 x24+y2a2=1 与双曲线 x2a−y22=1 有相同的焦点，
则椭圆焦点也在 x 轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为 c ，
故 c2=4−a2=a+2 ，解得 a=−2 (舍)，或 a=1 ，
故双曲线方程为 x2−y22=1 ，
故答案为： x2−y22=1 ．
16.【答案】0,1,−1
【解析】【分析】根据空间投影向量的定义求解即可．
解：因为 A2,1,3 ， B2,−2,6 ， C3,6,6 ，
所以 AC=1,5,3 ， AB=0,−3,3 ，
则 AB= 02+−32+32=3 2 ， AC⋅AB=1×0+5×−3+3×3=−6 ，
所以 AC⋅ABAB=−63 2=− 2 ，
则 AC 在 AB 上的投影向量为 AC⋅ABAB⋅ABAB=− 2⋅0,−3,33 2=−130,−3,3=0,1,−1 ．
故答案为： 0,1,−1 ．
17.【答案】解：(1)根据抛物线C： y2=2pxp>0 过点 P2,4 ，
可得 16=4p ，解得 p=4 ．
从而抛物线C的方程为 y2=8x ，准线方程为 x=−2 ；
(2)设弦的两端点分别为 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，设点 (1,−1) 为 M ，
当直线 AB 垂直于 x 轴时，
由对称性可知， AB 的中点在 x 轴上，则不为 AB 的中点，不符合题意，
故直线 AB 垂直于 x 轴，即 x1≠x2 ，
则 {=8x1,①y22=8x2.②
由②−①得， (y2+y1)(y2−y1)=8(x2−x1) ，
由点 M(1,−1) 是 AB 的中点， ∴y1+y2=−2 ，代入上式得，
−2(y2−y1)=8(x2−x1) ，
故直线 AB 的斜率 k=−4 ，且直线过 M(1,−1) ，
所以弦所在直线的方程为 y+1=−4x−1 ，即 4x+y−3=0 ．

【解析】【分析】(1)由点 P(2,4) 在抛物线上，代入方程待定系数 p 即可；
(2)已知弦的中点，由点差法可求弦所在直线斜率，再由点斜式方程可求．
18.【答案】解：（1）设B点坐标为 x,y ，根据题意可得 kACkBC=−1,BC=AC,
即 3−43−0⋅y−3x−3=−1, x−32+y−32= 0−32+4−32,
解得 x=2,y=0 或 x=4,y=6, 所以 B2,0 或 B4,6 .
（2）由题知 kAC=4−30−3=−13 ；
当 B2,0 时，直线为： y=−13(x−2) ，即 x+3y−2=0 .
当 B4,6 时，直线为： y−6=−13(x−4) ，即 x+3y−22=0 .
故所求直线为 x+3y−2=0 或 x+3y−22=0 .

【解析】【分析】（1）由题意得点 B 满足 AC⊥BC,AC=BC ，设点 B 坐标，根据斜率关系与两点间距离公式列方程组求解即可；
（2）由点斜式方程可得.
19.【答案】解：(1)由已知可得， CF=2−x ，
所以 A12,0,2 ， F2−x,2,0 ， C10,2,2 ， E2,x,0 ，
则 A1F=(−x,2,−2) ， C1E=(2,x−2,−2) ，
∴A1F⋅C1E=−2x+2(x−2)+4=0 ，
∴A1F⊥C1E ，即 A1F⊥C1E ．
(2)当 x=1 时， E2,1,0 ， F1,2,0 ， A12,0,2 ，
则 EF=(−1,1,0) ， EA1=(0,−1,2) ，
所以 csEF,EA1=EF⋅EA1EFEA1
=−1×0+1×(−1)+0 2× 5
=− 1010 ．
故： csEF,EA1=− 1010 ．

【解析】【分析】(1)求出 A1F,C1E 的坐标，计算得出 A1F⋅C1E=0 ，即可得出证明；
(2)求出 EF,EA 的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案．
20.【答案】解：(1)设圆E的方程为 x−a2+y−b2=r2 ，
由题意可得 a=ra2+b2=r22−a2+2−b2=r2 ，解得 a=2b=0r=2 ，
则圆E的方程为 x−22+y2=4 ；
(2)因为 4−22+32=13>4 ，所以点P在圆E外，
①若直线斜率不存在，直线方程为 x=4 ，
圆心 E2,0 到直线 x=4 的距离为2，满足题意；
②若直线斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为 y−3=kx−4 ，即 kx−y−4k+3=0 ，
由圆E的方程为 x−22+y2=4 可得圆心 E2,0 ，半径为2，
所以圆心到切线的距离 d=2k−4k+3 k2+1=−2k+3 k2+1=2 ，解得 k=512 ，
所以切线方程为 5x−12y+16=0 ；
综上所述，过点 P4,3 的圆E的切线方程为 x=4 或 5x−12y+16=0 ．

【解析】【分析】(1)设圆的标准方程，根据条件列方程组求解即可；
(2)分切线斜率存在和不存在分类讨论，利用圆心到直线距离等于半径建立方程求解即可．
21.【答案】解：(1)因为双曲线C： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为2，
即 2a=2 ，则 a=1 ，
又因为双曲线一条渐近线方程为 y=2x ，即 ba=2 ，可得 b=2 ，
所以双曲线方程为 x2−y24=1 ．
(2)双曲线定义可得： PF1−PF2=2a=2 ，
由 PF1⋅PF2=0 知 PF1⊥PF2 ，且 △PF1F2 的面积为9，
则 12PF1PF2=9 ，即 PF1PF2=18 ，
又因为 PF12+PF22=F1F22=4c2 ，
可得 4c2=PF12+PF22=PF1−PF22+2PF1PF2=40 ，即 c2=10 ，
所以 b2=10−1=9 ，因此 b=3 ，
故双曲线C的标准方程为： x2−y29=1 ．

【解析】【分析】(1)根据题意结合双曲线的渐近线方程求 a,b ，即可得方程；
(2)根据题意结合双曲线的定义求 a,b,c ，即可得方程；
22.【答案】解：(1)由题意知 c=1 ， b=1 ，由 a2=b2+c2 由解得 a= 2 ．
所以， e=ca= 22 ，则椭圆的方程为 x22+y2=1 ．
(2)由题设知，直线 PQ 的方程为 y=kx−1+1 ( k≠0 且 k≠2 )，
代入 x22+y2=1 ，得 1+2k2x2−4kk−1x+2kk−2=0 ，
由已知 Δ>0 ，设 P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ， x1x2≠0 ．
则 x1+x2=4k(k−1)1+2k2 ， x1x2=2k(k−2)1+2k2 ，
从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和
kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2−kx1+kx2+2−kx2
=2k+(2−k)1x1+1x2=2k+(2−k)x1+x2x1x2
=2k+(2−k)4k(k−1)2k(k−2)=2k−(2k−2)=2
故：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值2．

【解析】【分析】(1)由题意知 c=1 ， b=1 ，从而求得 a= 2 ，进而可求解；
(2)由题设知，直线 PQ 的方程为 y=kx−1+1 ( k≠0 且 k≠2 )，设 P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，求得斜率，把韦达公式代入化简即可求解．