2023-2024学年江西省宜春市高安二中，丰城九中，樟树中学，万载中学五高一上学期11月月考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年江西省宜春市高安二中，丰城九中，樟树中学，万载中学五高一上学期11月月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg2(3-2x)}，B={x|x2>4}，则A∪∁RB=( )
A. x|-2≤x<32B. x|x<2
C. x|-22.“函数fx=xa在0,+∞上单调递减”是“函数gx=x4-a+1x是偶函数”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.定义在R上的偶函数fx在区间0,+∞上单调递增，若f1( )
A. e,+∞B. 1,+∞
C. -∞,-e∪e,+∞D. 0,1e∪e,+∞
4.函数fx=lnx-3x 的零点所在的大致区间为
( )
A. 0,1B. 1,2C. 2,eD. e,3
5.函数fx=1-4x2x⋅2cs2x2-1在-2,2上的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
6.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点E是BC上一点，满足BE=3EC，则AE⋅BD=( )
A. 12B. -12C. -43D. -3
7.已知sinx+π6=13，则sin(5π6-x)+2cs2(x-π3)的值是
( )
A. -59B. 19C. 59D. 1+4 23
8.已知fx是定义在-1,1上的奇函数，且f-1=-1，当a,b∈-1,1且a+b≠0时fa+fba+b>0.已知θ∈-π2,π2，若fx<4+3sinθ-2cs2θ对∀x∈-1,1恒成立，则θ的取值范围是
( )
A. -π6,π2B. -π2,-π3C. -π3,π2D. -π2,π6
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列选项中，与sin-11π6的值相等的是
．( )
A. 2sin15°sin75°B. cs18°cs42°-sin18°sin42°
C. 2cs215°-1D. tan22.5°1-tan222.5°
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2BC. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a=8，c=10，A=60∘，则符合条件的△ABC有两个
11.下列说法正确的是( )
A. 函数y=sinx+1sinx的最小值为2
B. 若正实数a，b满足a+b=1，则12a+2b的最小值为92
C. 关于x的不等式ax2+bx+1<0的解集是(1,2)，则a+b=-1
D. 函数fx=lgax2+mx+1(a>0且a≠1)的定义域为R，则实数m的取值范围是-∞,-2∪2,+∞
12.已知函数f(x)={ x,x∈[0,1)12f(x-1),x∈[1,+∞)，则以下结论正确的是
( )
A. 函数fx为增函数
B. ∀x1，x2∈0,+∞,fx1-fx2<1
C. 若fx<38在x∈n,+∞上恒成立，则n的最小值为2
D. 若关于x的方程2mfx2+m+2fx+1=0m∈R有三个不同的实根，则-8≤m<-4
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.a=1,-1,b=t,-3，且a//a+b，则b=__________．
14.已知集合A={x|x2-5x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为．
15.已知f(x)=2x-1,x≥1,3x-2,x<1,若对任意θ∈0,π2，不等式f(cs2θ+λsinθ-13)+12>0恒成立，λ 的取值范围为__________．
16.已知x，y均为正数，则x+y2x2+y2+6的最大值是_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)已知角α的终边经过点P-13,2 23，求 2sinπ-α+sinπ2+α3 2cs-α-sinπ+α的值．
(2)求值12lg25+lg2-2lg43+lg29⋅lg32．
18.(本小题12分)
在①A=x2x-2x+1<1，②A=xx-1<2，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U=R，______，B=xx2+x+a-a2<0.
(1)若a=2，求(∁UA)∪(∁UB)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组40,50，第2组50,60，第3组60,70，第4组70,80，第5组80,90，第6组90,100，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：
(1) 求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
20.(本小题12分)
已知a=sinωx,csωx，b=csωx, 3csωx，ω>0，函数fx=a⋅b- 32a的最小正周期为π．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)在锐角▵ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足fA2= 32，a=2，求▵ABC周长的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln kx-1x+1为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)判断并证明函数fx的单调性；
(3)若存在α,β∈(1,+∞)，使得函数fx在区间α,β上的值域为ln (mα-m2),ln (mβ-m2)，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx-csx．
(1)求方程f(α)=cs2α在[0,2π]上的解集；
(2)求证：函数y=f(x)+32lnx有且只有一个零点x0，且-23答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题，
求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】
解：因为A=x|y=lg23-2x=x|3-2x>0=x|x<32，
B={x|x2>4}={x|x>2或x<-2}，
∴∁RB={x|-2≤x≤2}，
所以A∪∁RB={x|x≤2}．
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】通过求解函数 fx 和 gx 符合条件的 a 的取值，即可得出结论．
解：由题意，
在 fx=xa 中，
当函数在 0,+∞ 上单调递减时， a<0 ，
在 gx=x4-a+1x 中，函数是偶函数，
∴ g-x=-x4-a+1-xgx=x4-a+1xgx=g-x ，解得： a=-1 ，
∴“函数 fx=xa 在 0,+∞ 上单调递减”是“函数 gx=x4-a+1x 是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查奇偶性与单调性的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
利用函数的奇偶性与单调性将不等式进行转化，即可求解x的范围．
【解答】
解：因为f(x)是偶函数，则不等式f(1)又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，
所以1<|lnx|，即lnx<-1或lnx>1，
解得0e，
即x的取值范围是(0,1e)∪(e,+∞)．
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】由题意可知 fx 在 0,+∞ 递增，且 fe0,f30 ，由零点存在性定理即可得出答案．
解：易判断 fx 在 0,+∞ 递增， fe=lne-3e0,f3=ln3-10 ．
由零点存在性定理知，函数 fx=lnx-3x 的零点所在的大致区间为 e,3 ．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊值判断函数图像即可；
解：因为 fx=1-4x2x×2cs2x2-1=2-x-2xcsx ，
所以 fx+f-x=2-x-2xcsx+2x-2-xcs-x ，
=2-x-2xcsx-2-x-2xcsx=0 ，
所以函数 fx 为奇函数，故A、D错误；
又因为 1∈0,π2 ，
则 f1=2-1-2cs1=-32cs1<0 ，故C错误．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据 BE=3EC 求出 E114,3 34 ，从而利用平面向量数量积公式求出答案．
解：以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，垂直于 x 轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
则 D1, 3,B2,0,C3, 3,A0,0 ，设 Em,n ，
则 BE=m-2,n,EC=3-m, 3-n ，
因为 BE=3EC ，所以 m-2=33-mn=3 3-n ，解得 m=114n=3 34 ，
故 E114,3 34 ，
则 AE⋅BD=114,3 34⋅-1, 3=-114+94=-12 ．
故选：B
7.【答案】C
【解析】【分析】令 t=x+π6 ，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果．
解：令 t=x+π6 ，则 x=t-π6 ， sint=13 ，
则 sin(5π6-x)+2cs2(x-π3)=sin(π-t)+2cs2(t-π2)=sint+2sin2t=13+29=59 ．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性的判断和证明，不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
先结合已知条件判断函数f(x)的单调性，再将不等式恒成立问题转化为f(x)max<4+3sinθ-2cs2θ，由同角三角函数的基本关系化简可得2sin2θ+3sinθ+1>0，解之即可求得结论．
【解答】
解：设-1≤x1因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，
所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1).
又x10，
因为x2+(-x1)=x2-x1>0，
所以f(x2)+f(-x1)>0，
即f(x1)所以函数f (x) 在[-1,1]上单调递增，
所以f(x)max=f(1)=-f(-1)=1，
所以f(x)<4+3sinθ-2cs2θ对∀x∈[-1,1]恒成立⇔f(x)max<4+3sinθ-2cs2θ，
所以1<4+3sinθ-2cs2θ，即2sin2θ+3sinθ+1>0，
即(2sinθ+1)(sinθ+1)>0，
又因为θ∈(-π2,π2)，所以2sinθ+1>0，
解得-π6<θ<π2．
故选：A．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
求出sin-11π6的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D．
【解答】
解：sin-11π6=sin-2π+π6=sinπ6=12．
对于A，2sin15°sin75°=2sin15°cs15°=sin30°=12；
对于B，cs18°cs42°-sin18°sin42°=cs18°+42°
=cs60°=12；
对于C，2cs215°-1=cs30°= 32；
对于D，因为tan45°=2tan22.5°1-tan222.5°=1，可得tan22.5°1-tan222.5°=12．
∴与sin-11π6的值相等的是ABD．
故选：ABD．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了利用余弦定理判断三角形的形状，利用正弦定理判断三角形的形状，以及利用正弦定理判定三角形解的个数，属于基础题。
运用正弦定理和余弦定理对选项依次判断即可．
【解答】
解：对于A，当A>B时，所以a>b，根据正弦定理2RsinA>2RsinB，整理得sinA>sinB，故A正确；
对于B，因为sin2A+sin2B∴csC=a2+b2-c22ab<0，所以△ABC为钝角三角形，B正确；
对于C，由acsA=bcsB，可得sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=π，
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C不正确；
对于D，由正弦定理得sinC=csinAa=10× 328=5 38>1，故不存在满足条件的△ABC，D错误．
故选：AB．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查正弦函数的性质、基本不等式、一元二次不等式的性质、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
当sinx=-1时，函数y=sinx+1sinx的值为-2，由此判断A；对于B，利用基本不等式求最值即可判断；对于C，利用一元二次不等式的性质判断；利用对数函数的性质判断D．
【解答】
解：对于A，当sinx=-1时，函数y=sinx+1sinx的值为-2，故A错误；
对于B，若正实数a，b满足a+b=1，
则12a+2b=(12a+2b)(a+b)
=2ab+b2a+52≥2 2ab⋅b2a+52=92，
当且仅当2ab=b2a时，12a+2b取最小值为92，故B正确；
对于C，关于x的不等式ax2+bx+1<0的解集是(1,2)，
则a>01,2是方程ax2+bx+1=0的两个根，
∴1+2=-ba1×2=1a，解得a=12，b=-32，
∴a+b=-1，故C正确；
对于D，函数f(x)=lga(x2+mx+1)(a>0且a≠1)的定义域为R，
∴x2+mx+1>0的解集为R，
∴Δ=m2-4<0，解得-2实数m的取值范围是(-2,2)，故D错误．
故选：BC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查分段函数的图项，函数零点与方程的根，属于较难题．
根据题意，可知x∈n,n+1n∈N时，fx=12n x-n，作出函数fx的图象，根据数形结合逐项检验，即可得到正确结果．
【解答】
解：设x∈1,2时，则x-1∈0,1，所以fx-1= x-1，
又fx=12fx-1，所以当x∈1,2时，fx=12 x-1；
当x∈2,3时，则x-1∈1,2，所以fx-1=12 x-2，
又fx=12fx-1，所以当x∈2,3时，fx=14 x-2；
当x∈3,4时，则x-1∈2,3，所以fx-1=12 x-3，
又fx=12fx-1，所以当x∈3,4时，fx=18 x-3；
所以由此可知x∈n,n+1n∈N时，fx=12n x-n，
作出函数fx的部分图象，如下图所示：
由图象可知，函数fx不是增函数，故A错误；
由图象可知，fx∈0.1,
所以∀x1，x2∈0,+∞,fx1-fx2<1，故B正确；
在同一坐标系中作出函数y=fx和函数y=38的图象，如下图所示：
由图象可知，当x∈2,+∞时，fx<38恒成立，
所以n的最小值为2，故C正确；
令t=fx，则t∈0,1，则方程2mfx2+m+2fx+1=0m∈R等价于
2mt2+m+2t+1=0m∈R，即mt+12t+1=0，
解得t=-1m或t=-12(舍去)，
在同一坐标系中作出函数y=fx，函数y=14和函数y=18的图象，如下图所示：
由图象可知，当-1m∈18,14时，即-8≤m<-4时，
关于x的方程2mfx2+m+2fx+1=0m∈R有三个不同的实根，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】3 2
【解析】【分析】先求和向量坐标再应用平行的坐标关系得出 t=3 ，最后应用模长公式计算即可．
解：由 a+b=t+1,-4 ， a=1,-1 且 a//a+b ，得 -t+1=-4⇒t=3 ，
所以 b= 32+(-3)2=3 2 ．
故答案为： 3 2 ．
14.【答案】-16,0,1
【解析】【分析】
本题考查集合关系中的参数取值问题及集合的子集，由已知得集合A，由子集的定义得B的所有可能情况，然后分类讨论求解即可，注意空集是任何集合的子集的应用．
【解答】
解：因为A={x|x2-5x-6=0}={6,-1}，且B⊆A，易知B≠A，
所以B={-1}或B={6}或B=⌀，
当B={-1}时，-m+1=0，解得m=1；
当B={6}时，6m+1=0，解得m=-16；
当B=⌀时，m=0．
所以综上可得，实数m组成的集合为-16,0,1．
故答案为-16,0,1．
15.【答案】λ>56
【解析】【分析】先判断 fx 为增函数，从而可得 λ>sinθ-16sinθ ，故可求参数的取值范围．
解：因为 y=2x-1,x∈[1,+∞) 是增函数， y=3x-2,x∈(-∞,1) 是增函数
，且当 x=1 时， 20=3×1-2 ，所以 f(x)=2x-1,x≥1,3x-2,x<1, 是R上的增函数，
由 f(cs2θ+λsinθ-13)+12>0 得 f(cs2θ+λsinθ-13)>f(12) ，
所以 cs2θ+λsinθ-13>12 恒成立，
即 λ>sinθ-16sinθ 对任意 θ∈0,π2 恒成立，
y=sinθ-16sinθ 在 θ∈0,π2 上是增函数，
所以 ymax=sinπ2-16sinπ2=56 ，所以 λ>56 ．
故答案为： λ>56 ．
16.【答案】14
【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，本题考查了转化思想和计算能力，属于中档题.在利用基本不等式时，应注意：一正、二定、三相等的条件的满足．
由x，y均为正数，利用基本不等式可得： x+y2x2+y2+6≤x+y2 2x2⋅2+2 y2⋅4=14 ，即可得解．
解：x+y2x2+y2+6=x+y2x2+2+y2+4≤x+y2 2x2⋅2+2 y2⋅4=x+y4x+y=14 ，
当且仅当x=1，y=2时，等号成立．
故函数的最大值为 14 ．
故答案为： 14
17.【答案】解：(1)因为角 α 的终边经过点 P-13,2 23 ，所以 tanα=2 23-13=-2 2 ，
原式 = 2sinα+csα3 2csα+sinα= 2sinαcsα+csαcsα3 2csαcsα+sinαcsα = 2tanα+13 2+tanα= 2×-2 2+13 2+-2 2=-3 22 ；
(2)原式 =lg5+lg2-212lg23+2lg23⋅lg32
=1-2lg2 3+2lg3lg2⋅lg2lg3
=1- 3+2
=3- 3

【解析】【分析】(1)根据 P 点坐标先计算出 tanα ，通过诱导公式化简原式，然后利用齐次式计算求得结果；
(2)根据对数的运算法则和性质，结合对数恒等式 lg2+lg5=1 完成计算．
18.【答案】解：(1)若选①：
因为 2x-2x+1<1 ，所以 2x-2x+1-x+1x+1<0 ，
所以 x-3x+1<0 ，解得 -1又因为 a=2 时， B=xx2+x-2<0 ，解得 B=x-2所以 ∁UA=xx≤-1 或 x≥3 ， ∁UB=xx≤-2 或 x≥1 ，
所以 (∁UA)∪(∁UB)= xx≤-1 或 x≥1 ．
若选②：
因为 x-1<2 ，所以 -2所以 -1又因为 a=2 时， B=xx2+x-2<0 ，解得 B=x-2所以 ∁UA=xx≤-1 或 x≥3 ， ∁UB=xx≤-2 或 x≥1 ，
所以 (∁UA)∪(∁UB)= xx≤-1 或 x≥1 ．
(2)由(1)知 A=x-1若 -a<-1-a ，即 a>12 ，此时 B=x-a所以 -1≥-a3≤-1-a (等号不同时取)，解得 a≥4 ，即 a∈4,+∞ ；
若 -a=-1-a ，即 a=12 ，此时 B=⌀ ，不符合题意舍去；
若 -a>-1-a ，即 a<12 ，此时 B=x-1-a所以 -1≥-1-a3≤-a (等号不同时取)，解得 a≤-3 ，即 a∈-∞,-3 ；
综上所述， a 的取值范围是 -∞,-3∪4,+∞ ．

【解析】【分析】(1)若选①：先求解出分式不等式以及一元二次不等式的解集分别为 A,B ，然后根据补集和并集的运算求解出结果；
若选②：先求解出绝对值不等式以及一元二次不等式的解集分别为 A,B ，然后根据补集和并集的运算求解出结果；
(2)通过分类讨论确定 B ，然后根据“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件列出对应不等式组完成计算即可．
19.【答案】解：(1)第五组数据频率为
1-(0.010+0.026+0.020+0.030+0.006)×10=0.08，
∴对应纵轴数值为0.008，补全这个频率分布直方图如下：
本次考试成绩的平均数为45×0.1+55×0.26+65×0.20+75×0.30+85×0.08+95×0.06=66.8；
(2)第65百分位数是70+0.65-0.560.3×10=73；
(3)第五组与第六组学生总人数为0.14×50=7，
其中第五组有4人记为a、b、c、d，第六组有3人记为A、B、C，
从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，
其中至少1人成绩优秀的情况有15种，
∴所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率1521=57．
【解析】本题考查频率分布直方图中平均数、百分位数、频数求法，考查古典概型，考查数学运算能力，属于中档题．
(1)根据频率和为1求得第五组数据对应纵轴数值，然后补全这个频率分布直方图，根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；
(2)根据频率分布直方图，及第65百分位数的概念计算即可；
(3)计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取2人的所有情况，然后求得概率．
20.【答案】解：(1)因为 a=(sinωx,csωx) ， b=(csωx, 3csωx) ，则 a= sin2ωx+cs2ωx=1 ，
a⋅b=(sinωx,csωx)⋅(csωx, 3csωx) =sinωxcsωx+ 3cs2ωx =12sin2ωx+ 32cs2ωx+ 32 =sin2ωx+π3+ 32 ，
故 f(x)=a⋅b- 32a=a⋅b- 32a2=a⋅b- 32=sin2ωx+π3 ，
因为 fx 最小正周期为 π ，所以 T=2π2ω=π ，所以 ω=1 ，故 f(x)=sin2x+π3 ，
由 -π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ ， k∈Z ，解得 -5π12+kπ≤x≤π12+kπ ， k∈Z ，
所以 fx 的单调递增区间为 kπ-5π12,kπ+π12 ， k∈Z ．
(2)由(1)及 fA2= 32 ，即 sin2×A2+π3=sinA+π3= 32 ，又 A∈0,π2 ，所以 A+π3=2π3 ，解得 A=π3 ，
又 ▵ABC 为锐角三角形，即 0∴ b+c=2sinAsinB+sinC=4 32sinB+12csB=4sinB+π6 ，
又 π6∴b+c∈2 3,4 ，
所以 ▵ABC 周长的取值范围为 2+2 3,6 ．

【解析】【分析】(1)根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得 fx 的表达式，再利用三角函数的单调性可求得结果；
(2)由 fA2= 32 结合(1)可求得 A=π3 ，又 ▵ABC 为锐角三角形，可得 π621.【答案】解：(1)因为函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数，
所以f(x)+f(-x)=0，
即lnkx-1x+1+ln-kx-1-x+1=ln(kx-1)(-kx-1)(x+1)(-x+1)
=ln1-k2x21-x2=0对定义域内任意x恒成立，
所以k2=1，即k=±1，
显然k≠-1，又当k=1时，f(x)=lnx-1x+1的定义域关于原点对称．
所以k=1为满足题意的值．
(2) 结论：f(x)在(-∞,1)，(1,+∞)上均为增函数．
证明：由(1)知f(x)=lnx-1x+1，其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，
任取x1，x2∈(1,+∞)，不妨设x1则f(x1)-f(x2)=lnx1-1x1+1-lnx2-1x2+1
=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)，
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0，且(x1-1)(x2+1)>0，(x1+1)(x2-1)>0，
所以0<(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<1，
所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<0，
即f(x1)同理，f(x)在(-∞,1)上为增函数．
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数，
又因为函数f(x)在[α,β]上的值域为ln (mα-m2),ln (mβ-m2)，
所以m>0，且lnα-1α+1=ln(mα-m2),lnβ-1β+1=ln(mβ-m2)，
所以α-1α+1=mα-m2β-1β+1=mβ-m2
即α，β是方程x-1x+1=mx-m2的两实根，
问题等价于方程mx2-(1-m2)x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根，
令h(x)=mx2-(1-m2)x+1-m2，对称轴x=12m-14，
则m>012m-14>1Δ=(1-m2)2-4m(1-m2)>0h(1)=m>0,
即m>002或m<29，解得0故实数m的取值范围为(0,29).
【解析】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性及方程的根的分布问题，综合考查了函数性质的灵活应用，属于难题．
(1)由题意可得f(x) +f(-x) =0，代入可求k的值；
(2)结合函数单调性的定义即可证明函数f(x)在(-∞,1)，(1,+∞)上的单调性；
(3)结合(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数，然后结合单调性可把已知问题转化为α，β满足lnα-1α+1=ln(mα-m2),lnβ-1β+1=ln(mβ-m2)，结合方程的根的分布及二次函数的性质即可求解．
22.【答案】解：(1)sinα-csα=cs2α=cs2α-sin2α
所以(csα-sinα)(sinα+csα+1)=0．
所以csα-sinα=0或sinα+csα=-1
当sinα-csα=0时，csα≠0，则tanα=1，又x∈[0,2π]，所以x=π4,5π4
当sinα+csα=-1，则sin (α+π4)=- 22，又x∈[0,2π],x+π4∈[π4,9π4]．
所以x+π4=5π4或7π4，所以x=π,3π2
所以方程f(α)=cs2α在[0,2π]上的解集为{π4,π,5π4,3π2}
(2)设F(x)=sinx-csx+32lnx= 2sin(x-π4)+32lnx,x∈(0,+∞)
当x∈(0,3π4]，则x-π4∈(-π4,π2]，此时y= 2sin (x-π4)在(0,3π4]单调递增
y=32ln x在(0,3π4]也单调递增，所以F(x)在(0,3π4]单调递增
F(π4)=32ln π4<0,F(π2)= 2sin (π2-π4)+32ln π2=1+32ln π2>0
所以F(x)在x∈(0,3π4]时有唯一零点
当x∈(3π4,5π4), 2sin (x-π4)>0,32ln x>0，所以F(x)>0
所以F(x)在x∈(3π4,5π4)没有零点
当x∈[5π4,+∞)时，5π4>54×3>e，所以32ln x>32> 2，所以F(x)>0
所以F(x)在x∈[5π4,+∞)没有零点
综上，F(x)=sin x-cs x+32ln x在(0,+∞)有唯一零点x0
所以sin x0-cs x0+32ln x0=0，且x0∈(π4,π2)，所以ln x0=23(cs x0-sin x0)
所以ln x0+13sin 2x0=23(cs x0-sin x0)+13sin 2x0=23(cs x0-sin x0)+23sin x0cs x0
令t=cs x0-sin x0= 2cs (x0+π4)，因为x0∈(π4,π2)，所以t∈(-1,0)
又t2=1-2sin x0cs x0，则sin x0cs x0=1-t22
所以ln x0+13sin 2x0=23t+23⋅1-t22=-13(t-1)2+23∈(-23,13)．
故函数y=f(x)+32lnx有且只有一个零点x0，且-23
【解析】本题考查函数的零点和方程，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质，属于较难题．
(1)利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可；
(2)根据三角函数的性质分区间研究函数，然后再进行零点代换，对不等式进行换元即可证明．