河南省驻马店市驿城区第二初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份河南省驻马店市驿城区第二初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个命题中
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的平行四边形是正方形；
③对角线相等的四边形是矩形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形，其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2．关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（ ）
A．2B．C．2或D．
3．如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是正方形B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形D．当时，它是矩形
5．已知线段的长度为2，点是线段的黄金分割点，则的长度为（ ）
A．B．C．或D．或
6．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
7．若，则直线的图象必经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三象限
C．第二、三、四象限D．以上均不正确
8．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，则丝绸花边的宽为（ ）
A．或B．或C．D．
9．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（5个小题，每小题3分，共15分）
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
12．某菱形的两条对角线长分别是方程两个根，则这个菱形的面积为______．
13．如图，利用标杆测量建筑物的高度．若标杆的高为，测得，，则楼高为______．
14．如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比______．
15．矩形中，为对角线的中点，点在边上，且．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（9分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）；
17．（8分）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名；并直接补全条形统计图：
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
18．（8分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且．连接，，交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
19．（10分）阅读下列材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数、满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，求和的值．
20．（9分）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：；
（2）设．
①若，求线段的长；
②若的面积是36，求的面积．
21．（9分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
（1）设销售单价提高元，则每个排球获得的利润是______元；这种排球这个月的销售量是______个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
22．（10分）已知：如图，在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．
（1）的值为____________；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，四边形是正方形？画出草图，并证明你的结论．
23．（12分）（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则____________．
（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，则的长为____________．
图1 图2 图3
参考答案
一、选择题（共5小题）：
1-5DADAC6-10CBDBB
二、填空题（共5小题）
11．且．12．2．13．10．5
14．15．2或．
三、解答题（共8小题）
16．用合适的方法解下列方程：
解：（1），，，所以，；
（2），，，或，所以，；
（3），∵，∴，
∴，；
17．解：（1）本次被调查的学生人数为（名）．故答案为：100．
选择“足球”的人数为（名）．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为．故答案为：．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为．
18．（1）证明：∵四边形是菱形，∴，，
∴，∵，∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，，∵，∴四边形是平行四边形，
∴，∵四边形是矩形，∴．
19．解：（1）设，
则原方程变形为，整理得：整理得，解得或，
∵，∴，∴；
（2）∵，，∴，
，∴．
20．（1）证明：∵，∴，又∵，∴，∴；
（2）解：①∵，∴，∵，∴，∴．
②，∴，∵，∴，∵．
∴，∴，∵，∴．
21．解：（1）依题意得：当销售单价提高元时，每个排球获得的利润是元，这种排球这个月的销售量是个．
故答案为：；．
（2）依题意得：，整理得：，解得：，．
又∵要使顾客得到实惠，∴，∴．
答：售价应定为70元．
22．解：（1）∵的垂直平分线交于点，∴，，
又∵，∴，∴，∴的值为，
故答案为：；
（2）菱形；
理由：∵，，∴，∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴，，∴，∴四边形是菱形；
（3）当为时，四边形是正方形，
理由：∵，，∴，∴，∵，∴，
∵四边形是菱形，∴四边形是正方形．
23．（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，∴，
∴，∴；
（2）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，∴，
∴，∴，∴；
（3）解：①设，
∵，，
∴，，．
∴，，∴，∴，∴；
②由①得：，，，则，
∴，∵，∴，
∴．
∴．