江苏省南通如皋市2023-2024高三上学期教学质量调研（二）数学试卷及答案

这是一份江苏省南通如皋市2023-2024高三上学期教学质量调研（二）数学试卷及答案，共11页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14．或 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为,所以,
得： …………………………………………………2分
在①中，令,得： …………………………………………………4分
因为，，
所以数列是常数列……………………………………………………5分
（2）设数列的前项的和为，由（1）得：，

得：………………………………7分
所以……………………………………………………10分
18．解：（1）因为，
所以
所以
所以……………………………………2分
因为，，
所以或……………………………………………………4分
当时，，与矛盾，故舍去，
因为，所以，所以…………………………6分（2）因为，所以，所以………………………………………7分
所以
在中，由正弦定理得：…………………………………9分
在中，由余弦定理得：，
所以……………………………………………………11分
所以 ………………………………………………………………12分
18．（1）证明：连接，交于.
在直三棱柱中，侧面为平行四边形，
因为，是平行四边形的对角线，所以为的中点，
所以与重合，所以为的中点…………………………………………1分
在中，因为分别是的中点，所以………………3分
因为,,所以 …………………4分
（2）在内，因为，，所以，所以，
在直三棱柱中，，
因为，所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间
直角坐标系………………………………6分
则，，，，
，所以，，
所以，，
设平面的一个法向量为，因为，，
所以
令，则，， 所以…………………………………8分
同理：平面的一个法向量为…………………………………10分
设二面角为，，
则 ……………………………………11分
所以，
综上所述：二面角的正弦值为 …………………………………12分
20．解：（1）“某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分”记事件A，
所以…………………………………………………3分
答：某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率为 …………4分
（2）随机变量的可能取值为，
;;
;.
所以随机变量的分布表为：
…………………………………………10分
………………………12分
21．解：（1）法一：设，，线段的中点为，
直线的斜率分别为，
因为点在椭圆上，所以
得：，所以……………………………4分
法二：设，，直线，
由 联立得：，
所以，经检验时， ……4分
（2）因为，所以为的重心，
因为，线段的中点在直线上，
所以点在直线上，所以 ………………………………6分
不妨设点在轴的下方，因为为的重心，所以
所以线段的中点……………………………………………8分
由（1）知：
所以直线的方程为………………………………11分
由椭圆的对称性可知：当点在轴的上方时，
直线的方程为，
综上：直线的方程为或 ……12分
22．解：（1），
所以 ……………………………………………1分
当时，因为，所以函数在上为增函数 ………2分
当时，函数在上为减函数，在上增函数 …………………………………………………………………………4分
综上所述：①当时，函数为增函数；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数 ………………………………………………………5分
（2）若函数有且只有一个零点，则函数有且只有一个零点，且，
由（1）知：满足题意……………………………………………………6分
当时，
①时，因为函数在上为减函数，所以，
因为，因为函数在上为增函数，
所以，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意 ………………………………………………………………………8分
②时，因为函数在上为增函数，所以，
，
因为，函数在上为减函数，
所以，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意…………………………………………………………………10分
③时，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，函数有且只有一个零点，满足题意.
综上所述：实数的取值范围为 …………………………12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
B
B
A
D
D
C
A
题号
9
10
11
12
选项
ABD
ACD
AD
CD
12
13
14
15
P