高中人教A版 (2019)3.2 双曲线课后练习题

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热点考题归纳
【题型一】双曲线中点弦
【典例分析】
已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【提分秘籍】
【变式演练】
（2023春·云南保山·高二校联考期末）设双曲线的焦距为6，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.
【题型二】双曲线韦达定理基础型
【典例分析】
已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标.

【提分秘籍】
【变式演练】
已知双曲线为坐标原点,离心率,点在双曲线上
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若斜率为的直线过双曲线的左焦点,分别交双曲线于两点,求的值,并求出外接圆的方程

【题型三】五个方程转化型
【典例分析】
设双曲线，F是右焦点，O是坐标原点．
(1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直，求C离心率e的值；
(2)若直线l过F且交双曲线右支于A，B两点，已知的最大值为，求当取得最大时直线l的方程．
【变式演练】
（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.
【题型四】双曲线中直线过定点
【典例分析】
已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．
【提分秘籍】
【变式演练】
已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，
①求k的取值范围；
②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.
【题型五】双曲线中直线过定点：斜率和定之型
【典例分析】
（2023·全国·高二专题练习）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【提分秘籍】
【变式演练】
（2023秋·江西宜春·高三统考开学考试）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.
【题型六】双曲线中直线过定点：斜率积定值型
【典例分析】
已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

【提分秘籍】
【变式演练】
点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

【题型七】双曲线中的定直线型
【典例分析】
已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【提分秘籍】
【变式演练】
已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.

【题型八】双曲线中的定值
【典例分析】
已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
【提分秘籍】
【变式演练】
已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.

【题型九】双曲线与圆过定点
【典例分析】
（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
【变式演练】
（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知双曲线上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上.
【题型十】最值范围型
【典例分析】
已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．

【提分秘籍】
【变式演练】
椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
题
1.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
2.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第五次高考模拟考试文科数学试题
3.（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程．
(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
5.已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．
6.（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）设双曲线的右焦点是椭圆的右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)为双曲线上一定点，为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
7.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程：
(2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
8.已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．
9.已知双曲线为双曲线的左､右焦点，焦距为4，点在上，且满足．
(1)求的方程；
(2)过点作直线交双曲线于两点，轴上是否存在定点，使其恒在以为直径的圆上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

10.已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
一、热考题型归纳
【题型一】双曲线中点弦
【题型二】双曲线韦达定理基础型
【题型三】五个方程转化型
【题型四】双曲线中直线过定点
【题型五】双曲线直线过定点：斜率和定值型
【题型六】双曲弦直线过定点：斜率积定值型
【题型七】 双曲线中的定制线型
【题型八】 双曲线中的定值
【题型九】 双曲线与圆过定点
【题型十】 最值范围型

二、培优练
A,B是双曲线C:eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
利用韦达定理解决双曲弦与直线相交的问题
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
定点问题解决步骤：
(1)设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
(2)根与系数关系列出两根和及两根积；
(3)写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
(4)整理(3)所得表达式探求其恒成立的条件．

求定点问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
求定直线是圆锥曲线求定点定值定直线的一个较难的题型。一般有两种思维：
利用参数法消参求定直线
根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线
2.相关点法
类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。
定值、取值范围（最值）问题的基本思路：
(1)假设直线方程，与圆锥曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
(2)利用求得变量的取值范围，得到根与系数关系的形式；
(3)利用根与系数关系表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
(4)化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围（最值）．
最值思维：
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。
分式型：以下几种求最值的基本方法
（1）
（2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。
（3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解