专题07 双曲线离心率归类（11题型）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）

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知识点与技巧：
双曲线结论：
(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
(2)渐近线求法结论：可直接令方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
（3）已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.
（4）已知F1,F2是双曲线C:eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的两焦点，P为C上一点，
（5）根据条件求得，利用或
（6)性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
(7) 椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.
(8)椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.
(9) 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
【题型一】方程与离心率
1.（2021秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用来表示，则（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数D．是常数
2.（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．C的一个焦点的坐标为
4.（2022秋·广东江门·高二江门市第一中学校考阶段练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．或2D．2
5.（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【题型二】渐近线求离心率
1.（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
2.（2023春·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3.（2022·全国高二专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
4.（2022春·新疆博尔塔拉高二阶段练习）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5.（2022春·河南濮阳高二统考开学考试）已知双曲线，若直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，且，的夹角为，则C的离心率为( )
A．2B．C．D．
【题型三】中点型求离心率
1.（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
2.．（2023秋·四川成都高二统考期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3.．（2023·全国高二专题练习）设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4.（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知双曲线的左､右焦点分别为､，点M在y轴上，且，若线段的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
5.（2023·全国高二专题练习）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【题型四】第三定义型点差法求离心率
1.（2023·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
2.．（2022秋·河南郑州高二统考期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3.（2022秋·甘肃兰州高二兰化一中校考阶段练习）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
4.（2022秋·高二课时练习）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·全国高二专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【题型五】渐近线型中点求离心率
1.（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
2.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3.（2023·全国高二专题练习）以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4.．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）双曲线的左焦点为F，离心率为e，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若AB的中点为M，若等于半焦距，则（ ）
A．1B．C．D．2
5.（2022秋·河南洛阳高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【题型六】第一定义型中点求离心率
1.（2023春·山西高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
2.（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.．（2023春·陕西西安高二校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支分别交于两点，且，若点为的中点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
4.（2022秋·天津河东高二天津市第七中学校考阶段练习）设为双曲线T：（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线T右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设M是线段的中点，若，则双曲线T的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·山西临汾·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】共焦点椭圆双曲线型求离心率
1.（2022·全国高二专题练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．4
3.（2022·全国高二专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2022秋·福建漳州·高二统考期末）椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（ ）
A．1B．C．2D．
【题型八】求离心率范围最值型
1.（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.．（2023秋·四川成都高二校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
4.（2024·全国高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型九】共焦点椭圆与双曲线型离心率最值
1.（2031山西太原高二阶段性联考）已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·河北张家口·高二统考阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
3.（2021·高二单元测试）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
4，（2020春·湖北·高二校联考期中）已知离心率为的椭圆：（）和离心率为的双曲线：（，）有公共的焦点，，P是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2021·高二单元测试）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）
A．B．6C．8D．
【题型十】离心率求参
1.（2023·全国·高二专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．
2.（2022秋·高二课时练习）已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022秋·四川泸州·高二泸县五中校考阶段练习）设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（ ）
A．8B．4C．2D．1
4.（2022秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）已知椭圆与双曲线的焦点相同，右焦点为.若与的离心率分别为和，点为的右支与的一个交点，且，则的值为
A．0B．4C．8D．12
5.．（2022·内蒙古包头·期中）已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于，则的值为
A．B．C．D．
【题型十一】焦点三角形内心型求离心率
1．（2023春·四川甘孜·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国高二专题练习）点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
3.（2021秋·江西宜春·高二高安中学校考期末）已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·全国高二专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
5.．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
培优练
1.（2022·全国·高二假期作业）设双曲线的焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国高二专题练习）已知双曲线的两条渐近线形成的对顶角中有一对对顶角均为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．或2D．4或
3.（2022春·全国高二校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点在的一条渐近线上，且（点为坐标原点），直线与轴交于点．若直线过线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4.（2022·全国·高一专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
5.（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
6.（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（ ）
A．B．2C．D．3
7.（2022秋·北京海淀高二海淀实验中学校考期末）已知为正方形，若椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（ ）
A．B．C．1D．
8.（2023·江苏无锡·校联考三模）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
9.（2021秋·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（ ）
A．B．
C．D．
10.（2021·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
11.（2022·江苏·高二专题练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
①点的横坐标为定值a；
②离心率；
③；
④当轴时，．
上述结论正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．②③④
一、核心考点题型归纳
【题型一】 方程与离心率
【题型二】 渐近线求离心率
【题型三】 中点型求离心率
【题型四】 第三定义型点差法求离心率
【题型五】 渐近线型中点求离心率
【题型六】 第一定义型中点求离心率
【题型七】 共焦点椭圆双曲线型求离心率
【题型八】 求离心率范围最值型
【题型九】 共焦点椭圆与双曲线型离心率最值
【题型十】 离心率求参
【题型十一】 焦点三角形内心型求离心率

二、期中期末好题培优练