专题02 空间动点轨迹8种题型归类-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）

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【题型一】空间动点恒平行型轨迹
1.（2023秋·湖南·高二株洲市第一中学校联考开学考试）已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（ ）
A．B．2C．D．1
2.（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ）

A．AC1=4B．BC1＝4C．AB1＝6D．B1C＝6
4.（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（ ）
A．B．C．D．
【题型二】空间动点恒垂直型轨迹
1.（2022·全国·高二专题练习）如图，在体积为6的三棱锥中，PA､PB､PC两两互相垂直，，若点M是底面内一动点，且满足，则点M的轨迹长度的最大值为（ ）
A．6B．3C．D．
2.（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知是棱长为2的正方体表面上的一个动点，且，则的轨迹周长是（ ）
A．B．2πC．D．4π
4.（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）

A．B．
C．D．
【题型三】平行与垂直综合型轨迹
1.（2023·河南·统考三模）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2.（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（ ）
A．存在点P满足
B．存在点P满足
C．满足的点P的轨迹长度为
D．满足的点P的轨迹长度为
3.（2023春·广西防城港·高二统考阶段练习）如图，在正方体中，，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（ ）
A．有且仅有一个点P，使得B．平面
C．若，则三棱锥外接球的表面积为D．M为的中点，若MP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长为
【题型四】 空间线段长度定值型轨迹
1.（2023·全国·高二专题练习）已知是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若，则点P的迹长度为
D．若，则点P的轨迹长度为
2.（2023·全国·高二专题练习）在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）正方体的棱长为，点在三棱锥的侧面表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
4.（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）正方体的棱长为3，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ）
A．B．
C．D．
5.（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）正方体的棱长为3，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】 空间定长线段中点型轨迹
1.（2022·全国·高二专题练习）在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高二专题练习）已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·全国·高二专题练习）如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
4.（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】空间动点角度定值型轨迹
1.（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．
2.（2023·海南海口·校联考一模）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高二专题练习）如图，线段与平面斜交于点，且直线与平面所成的角为，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线一支
4.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，二面角的大小为，已知A、B是l上的两个定点，且，，，AB与平面BCD所成的角为，若点A在平面BCD内的射影H在的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】空间翻折型动点轨迹
1.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

3.已知菱形ABCD的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为________.

4.如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为___________.

【题型八】空间阿波罗尼斯球（圆）型轨迹
1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：
如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.
2.已知正方体的棱长为4，点P在平面内，且，则点P的轨迹的长度为___________.
3..在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方体（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.
培优练
一、单选题
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考阶段练习）在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋·福建泉州·高二晋江市第一中学校考期中）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（ ）
A．圆上B．双曲线上C．直线上D．椭圆上
3．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考期中）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．（2023·全国·高二专题练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．2
5．（2023春·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高二专题练习）已知正四棱锥，底面边长为，，交于点，平面，，为的中点，动点在该棱锥的侧面上运动，并且，则点轨迹长度为（ ）
A．1B．C．D．2
7．（2022秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高二专题练习）在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023春·浙江宁波·高二校联考阶段练习）正方体的棱长为1，点满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆
10．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在棱长为的正方体中，点为的中点，点是正方形内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一一点，使得
B．存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C．若直线平面，则点的轨迹长度为
D．若 ，则三棱锥的体积为
11．（2023·全国·高二专题练习）已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．当最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等
D．若，则点N的轨迹长度为
12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上任一点，则与所成角的余弦值范围为
B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为圆的一部分
三、填空题
13．（2022·全国·高二专题练习）点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹长度为 .
14．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知正四棱柱的体积为，侧棱，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为 ．
15．（2023·全国·高二专题练习）已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为 .
16．（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点到底面的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球的半径为5，则满足上述条件的顶点的轨迹长度为 .
一、核心考点题型归纳
【题型一】 空间动点恒平行型轨迹
【题型二】 空间动点恒垂直型轨迹
【题型三】 平行与垂直综合型轨迹
【题型四】 空间线段长度定值型轨迹
【题型五】 空间定长线段中点型轨迹
【题型六】 空间动点角度定值型轨迹
【题型七】 空间翻折型动点轨迹
【题型八】 空间阿波罗尼斯球（圆）型轨迹
二、期中期末好题培优练
知识点与技巧：
空间点的轨迹几种常见情形：
（1）平面内到空间定点的距离等于定长，可结合球面得轨迹；
（2）与定点的连线与某平面平行，利用平行平面得点的轨迹；
（3）与定点的连线与某直线垂直，利用垂直平面得点的轨迹；
（4）与空间定点连线与某直线成等角，可结合圆锥侧面得轨迹；