高考物理一轮复习第8章第1节电场力的性质课时学案

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第1节 电场力的性质
一、电荷及电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。
(2)点电荷：当带电体本身的大小和形状对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．静电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传送电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
3．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比。作用力的方向在它们的连线上。
2．表达式：F＝keq \f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量。
3．适用条件：真空中的点电荷。
三、电场强度、点电荷的电场
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值。
2．定义式：E＝eq \f(F,q)。单位为N/C或V/m。
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度E＝keq \f(Q,r2)。
4．方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵循平行四边形定则。
四、电场线
1．定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的大小及方向，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱。
2．电场线的特点
(1)不闭合：电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于无穷远处(或负电荷)。
(2)不相交：在电场中两条电场线不相交。
(3)同一电场中，电场线密的地方电场强度大。
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(5)沿电场线方向电势降低。
(6)电场线和等势面在相交处垂直。
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的电场力成正比。(×)
(2)电荷在电场中某点所受的电场力的方向就是该点的电场强度方向。(×)
(3)在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。(×)
(4)电场线的方向即为带电粒子的运动方向。(×)
(5)英国物理学家法拉第最早引入了电场概念，并提出用电场线表示电场。(√)
(6)美国物理学家密立根通过油滴实验精确测定了元电荷e的电荷量。(√)
二、教材习题衍生
1．(人教版必修第三册改编)如图所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支撑使它们彼此接触。把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开( )
A．此时A带正电，B带负电
B．此时A带正电，B带正电
C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
C [由静电感应可知，A端带负电，B端带正电，选项A、B错误；若移去C，A、B两端电荷中和，则贴在A、B下部的金属箔都闭合，选项C正确；先把A和B分开，然后移去C，则A、B带的电荷不能中和，故贴在A、B下部的金属箔仍张开，选项D错误。]
2．(人教版必修第三册改编)如图所示，半径相同的两个金属小球A、B带有电荷量大小相等的电荷，相隔一定的距离，两球之间的距离远大于小球的直径，两球之间的相互吸引力大小为F。今用第三个半径相同的不带电的金属小球C先后与A、B两个球接触后移开，这时，A、B两个球之间的相互作用力大小是( )
A．eq \f(1,8)F B．eq \f(1,4)F C．eq \f(3,8)F D．eq \f(3,4)F
A [由于A、B间有吸引力，故A、B带异种电荷。设A、B带的电荷量分别为Q、－Q，则两球之间的相互吸引力即为静电力：F＝keq \f(Q2,r2)。当C球与A球接触后，A、C两球的电荷量都为：q1＝eq \f(Q,2)。当C球再与B球接触后，B、C两球的电荷量绝对值都为：q2＝eq \f(Q－\f(Q,2),2)＝eq \f(Q,4)。所以此时A、B两球之间的相互作用力的大小为F′＝eq \f(k\f(Q,2)·\f(Q,4),r2)＝keq \f(Q2,8r2)＝eq \f(F,8)，故A正确。]
3．(人教版必修第三册改编)(多选)如图所示是某电场区域的电场线分布，A、B、C是电场中的三个点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度最小
B．B点的电场强度最小
C．把一个正点电荷分别放在这三点时，其中放在B点时受到的静电力最大
D．把一个负点电荷放在A点时，所受的静电力方向和A点的电场强度方向一致
AC [电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，A正确，B错误；B点的电场强度最大，由F＝qE知，C正确；负电荷受力方向与电场强度的方向相反，D错误。]
4．(鲁科版必修第三册改编)如图所示，用两根细线把两个带同种电荷的小球悬挂在一点，平衡后两球等高。两球静止时，细线与竖直线的偏角分别为α和β，α>β，则( )
A．mA>mBB．mAC．qA>qBD．qAB [两球之间的库仑力属于作用力和反作用力，它们是大小相等、方向相反的，设其大小为F；对A球受力分析，受重力、拉力和库仑力作用，其受力分析如图所示，根据共点力平衡条件，有：mAg＝eq \f(F,tan α)，同理，对B分析有：mBg＝eq \f(F,tan β)，由于α>β，故mA 库仑定律的理解及应用
1．库仑定律的“四点”理解
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(3)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
甲 乙
①同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；②异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
(4)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
2．两完全相同带电球体电荷分配规律
(1)如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于eq \f(q1＋q2,2)。
(2)如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于eq \f(q1－q2,2)。
[题组突破]
1．(库仑定律与电荷守恒定律的结合问题)三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F。现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变。由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
D [由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷。由库仑定律F＝keq \f(q1q2,r2)知两点电荷间距离不变时，相互间静电力大小与两球所带电荷量的乘积成正比。又由于三小球相同，则接触时平分总电荷量，故有q·nq＝eq \f(nq,2)·eq \f(q＋\f(nq,2),2)，解得n＝6，D正确。]
2．(库仑力的叠加)(2022·湖北宜昌市调研)如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q。则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．eq \f(\r(2)kq2,l2) C．eq \f(kq2,l2) D．eq \f(3kq2,2l2)
D [a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的库仑力为引力，b电荷对a电荷的库仑力为斥力。根据库仑定律，|Fca|＝eq \f(kq2,\r(2)l2)；|Fba|＝|Fda|＝keq \f(q2,l2)；根据力的合成法则，a电荷所受的电场力大小为：F＝eq \f(3kq2,2l2)，故A、B、C错误，D正确。]
3．(库仑力作用下的平衡问题)(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点。用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定。两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m。已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4eq \r(6)×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
ACD [两相同的小球接触后电荷量均分，故两球所带电荷量相等，选项A正确；如图所示，由几何关系可知，两球分开后，悬线与竖直方向的夹角为θ＝37°，A球所受的静电力F＝mgtan 37°＝8.0×10－4×10×0.75 N＝6.0×10－3 N，选项B错误；根据库仑定律得，F＝keq \f(qAqB,l2)＝keq \f(q\\al( 2,B),l2)，解得qB＝eq \r(\f(Fl2,k))＝eq \r(\f(6×10－3×0.122,9×109)) C＝4eq \r(6)×10－8 C，选项C正确；A、B两球带等量的同种电荷，故在A、B两球连线中点处的电场强度为0，选项D正确。]
4．(库仑力作用下的加速问题)(多选)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
BC [根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝eq \f(kq2,l2)，C球对A球的库仑引力为FCA＝eq \f(kqqC,l2)，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcs 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,ml2)，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝eq \f(3\r(3)kq2,l2)，故D错误。]
四步解决库仑力作用的平衡问题
电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
2．电场强度的三个计算公式
点电荷电场强度的计算
[典例1] 真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m。在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
C [由A处试探电荷的F­q图线可得，该处的电场强度为E1＝eq \f(F1,q1)＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的电场强度为E2＝eq \f(F2,q2)＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷电场强度公式可得E1＝keq \f(Q,l2)＝4×105 N/C，E2＝keq \f(Q,0.5－l2)＝eq \f(1,4)×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误。]
非点电荷电场强度的叠加和计算
[典例2] 下列选项中的各eq \f(1,4)圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各eq \f(1,4)圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是( )
A B
C D
B [根据点电荷的电场强度公式E＝eq \f(kq,r2)可得各eq \f(1,4)圆环上的电荷在O点的电场强度大小相等，再根据矢量合成，求出合场强，最后比较它们的大小即可。由于电荷均匀分布，则相当于各eq \f(1,4)圆环上的电荷等效集中于eq \f(1,4)圆环的中心，设圆的半径为r，则A选项中O点处的电场强度大小为EA＝eq \f(kq,r2)；将B选项中正、负电荷产生的电场强度进行叠加，两等效电荷场强方向间的夹角为90°，则在O点的电场强度EB＝eq \f(\r(2)kq,r2)，方向沿x轴负方向；C选项中两正电荷在O点的电场强度为零，则C中的电场强度大小为EC＝eq \f(kq,r2)，D选项中由于完全对称，易得合电场强度ED＝0。故O 处电场强度最大的是B。]
电场强度的叠加
[典例3] (2022·山东卷)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
A．正电荷，q＝eq \f(QΔL,πR) B．正电荷，q＝eq \f(\r(3)QΔL,πR)
C．负电荷， q＝eq \f(2QΔL,πR)D．负电荷，q＝eq \f(2\r(3)QΔL,πR)
C [在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的电场强度为零，而取走的A、B处的电荷的电荷量qA＝qB＝eq \f(Q,2πR)ΔL，qA、qB在O点产生的合电场强度为EAB＝eq \f(k\f(Q,2πR)ΔL,R2)＝eq \f(kQΔL,2πR3)，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的电场强度大小为eq \f(kQΔL,2πR3)，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点电场强度为零，故q在O点产生的电场强度与qA、qB在O点产生的合电场强度相同，所以q为负电荷，即有keq \f(q,2R2)＝keq \f(QΔL,2πR3)，解得q＝eq \f(2QΔL,πR)，C项正确。]
求解非点电荷电场强度的思维方法
[跟进训练]
1．(点电荷电场强度的叠加和计算)直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示。M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零。静电力常量用k表示。若将该正点电荷移到G点，则H点处电场强度的大小和方向分别为( )
A．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴正向B．eq \f(3kQ,4a2)，沿y轴负向
C．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴正向D．eq \f(5kQ,4a2)，沿y轴负向
B [处于O点的正点电荷在G点处产生的电场强度大小E1＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴负向；因为G点处电场强度为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合电场强度大小E2＝E1＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合电场强度大小E3＝E2＝keq \f(Q,a2)，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的电场强度大小E4＝keq \f(Q,2a2)，方向沿y轴正向，所以H点的电场强度大小E＝E3－E4＝eq \f(3kQ,4a2)，方向沿y轴负向。]
2．(非点电荷电场强度的叠加和计算)一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置。如图所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。静电力常量为k，则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4keq \f(Q,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
B [由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝keq \f(Q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))eq \s\up12(2))＋keq \f(Q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3L,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(40kQ,9L2)，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea>Eb，B正确；图中b、c两点的电场强度方向不同，C错误；由于a点的电势大于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。]
电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1)在同一电场内，电场线越密的地方电场强度越大。
(2)电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(3)沿电场线方向电势逐渐降低。
(4)电场线和等势面在相交处互相垂直。
2．两种等量点电荷的电场分析
3．分析电场中运动轨迹问题的方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(即运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(即在初始位置电场线的切线方向)，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况。即轨迹处在力和速度之间。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场强度的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三个方面。若已知其中的任一个，可顺次分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
[典例4] (多选)电场线能直观、方便地反映电场的分布情况。如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则( )
甲 乙
A．E、F两点电场强度相同
B．A、D两点电场强度不同
C．B、O、C三点，O点电场强度最小
D．从E点向O点运动的电子加速度逐渐减小
AC [等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A正确；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相同，由题图看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图看出，B、O、C三点比较，O点的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；从点E到O，电场线分布由稀疏到密集，电场强度逐渐增大，所以电子加速度逐渐增大，故D错误。]
[跟进训练]
1．(电场线的应用)(多选)(2023·福建福州市高三质检)生活在尼罗河的反天刀鱼，它的器官能在其周围产生电场，电场线分布如图所示，M、N、P为电场中的点。下列说法正确的是( )
A．P点电场强度小于M点电场强度
B．P点电势低于N点电势
C．M点电势低于N点电势
D．某带电小颗粒只在电场力作用下从N点沿虚线轨迹运动到M点，其在N点电势能小于在M点电势能
AC [P点位置的电场线要比M点的稀疏，所以P点电场强度小于M点电场强度，故A正确；从P点到无穷远，电势降低，从无穷远到N点，电势降低，所以P点电势高于N点电势，故B错误；从N到M电势降低，所以M点电势低于N点电势，故C正确；带电小颗粒所受电场力指向轨迹内侧，即小颗粒带正电，从N移动到M，电场力做正功，电势能减小，故N点电势能大于M点电势能，故D错误。]
2．(电场线与轨迹的运动分析)(多选)如图所示，实线为三个电荷量相同的带正电的点电荷Q1、Q2、Q3的电场线分布，虚线为某试探电荷从a点运动到b点的轨迹，则下列说法正确的是( )
A．该试探电荷为负电荷
B．b点的电场强度比a点的电场强度大
C．该试探电荷从a点到b点的过程中电势能先增加后减少
D．该试探电荷从a点到b点的过程中动能先增加后减少
BC [电场力方向指向运动轨迹的凹处，所以电场力方向与电场线方向相同，该试探电荷为正电荷，故A错误；根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，b点的电场强度比a点的电场强度大，故B正确；该试探电荷从a点到b点的过程中，电场力提供其做曲线运动的合外力，且电场力方向指向运动轨迹的凹处，与速度方向的夹角先是钝角后变成锐角，而电场力先做负功后做正功，试探电荷的电势能先增加后减少，根据功能关系可知，试探电荷动能先减少后增加，故C正确，D错误。]
真题索引

2022·山东卷·T3 2022·湖南卷·T2 2022·河北卷·T6

图(a) 图(b)
2022·全国乙卷·T21 2021·全国甲卷·T19 2021·全国乙卷·T15

2021·湖南卷·T4 2021·辽宁卷·T6

甲 乙
2021·山东卷·T6 2021·河北卷·T10
考情分析
1．以电场线、等势面为背景，考查电场强度、电势(差)、电场力做功、电势能的变化等知识，以选择题的形式呈现。
2．电容器的动态分析、电容器与平衡条件的综合问题一般以选择题形式呈现。
3．对带电粒子或带电体在电场中的运动的考查，选择题、计算题均有出现，但以计算题形式较多，且题目具有一定的综合性，常与功能关系相结合。
课程标准
1．通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。
2．知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。
3．知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
4．了解生产生活中关于静电的利用与防护。
5．知道静电场中的电荷具有电势能。了解电势能、电势和电势差的含义。知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
6．观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。
矢量性
电场强度E是表示电场力的性质的物理量，规定正电荷受力方向为该点场强的方向
唯一性
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它取决于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性
如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和(如图所示)
方法
条件
示例
等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示
甲 乙
对称法
空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向
补偿法
将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面等
将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2
微元法
将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度
将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝eq \f(Q,n)
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的电场强度
沿连线先变小后变大
O点最小，但不为零
O点为零
中垂线上的电场强度
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度
A与A′、B与B′、C与C′
等大同向
等大反向