2022-2023学年天津市河北区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市河北区九年级上学期数学期中试卷及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣4，﹣5）B. （﹣4，5）C. （4，﹣5）D. （4，5）
【答案】B
【解析】
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而得出答案．
【详解】解：点（4，﹣5）关于原点对称点的坐标为：（﹣4，5）．
故选B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆心的距离与半径的关系进行判断.
【详解】解：∵点到圆心的距离＞半径，即OP＞r，
∴点P在圆外．
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
4. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象，开口向下，对称轴为，根据二次函数图象的对称性可知，与点对称，进而根据当时，随的增大而减小进行判断即可．
【详解】二次函数的图象，开口向下，对称轴，
与点对称，
当时，随的增大而减小，
，，
．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （1,2）B. （-1,2）C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线解析式整理后，化为顶点形式，即可找出顶点坐标．
【详解】解：抛物线==
则抛物线的顶点坐标为：
【点睛】此题考查了二次函数的性质，将抛物线解析式化为顶点形式是解本题的关键．
6. 已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等的实数解
D. 当时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，．
当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，
当且时，方程有两个不相等的实数解．
综上所述，说法C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
7. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每月降低的百分率为x，根据题意“经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元”列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是,
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为（ ）．
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∵是的弦，交于点，
∴．
∴．
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明.
9. 正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（ ）
A. （－2，2）B. （4，1）C. （3，1）D. （4，0）
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点B对应点的坐标即可得解．
如图，点B的对应点B′的坐标为（4，0）．
考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.正方形的性质．
10. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于x的方程的两个根；③．
其中，错误结论的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，结合的范围，判断③结论．
【详解】二次函数（a，b，c是常数，），
当时，，
当时，，
．
当时，其对应的函数值，
二次函数开口向下，．
，，，
．①结论符合题意；
时，，
是关于x的方程的根．
对称轴，
和3是关于x的方程的两个根．②结论符合题意；
∵
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，
∴；
∵当和时的函数值分别为和，
∴，
∴；故③错误
正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是_____．
【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．
【解析】
【分析】根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；顶点式：y=a（x-h）2+k；交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．
【答案】##90度
【解析】
【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案为90°.
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.
13. 已知△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2．（结果用含的代数式表示）
【答案】25π
【解析】
【详解】试题分析：此三角形是直角三角形，则外接圆的直径就是直角三角形的斜边10cm,故外接圆半径为5cm,所以面积是25πcm2．
14. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】由抛物线的对称性可知点B的坐标（6，0），从而可求得AB的长．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．抛物线的对称轴为x=2，
∴点A与点B关于x=2对称．
∴点B的坐标为（6，0）．
∴AB=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查是二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求得点B的坐标是解题的关键．
15. 当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】先根据二次函数的图象和性质判断出2≤x≤5时的增减性，然后再找最大值即可.
【详解】对称轴为
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
16. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题．
【详解】当AC是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴AB＝BC＝8，
∴AC＝=8，
∵AE＝EB，BD＝DC，
∴DE＝AC＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型．
17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到连接，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连结CC′，A′C交BC于O点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C垂直平分BC'，则，然后利用勾股定理计算出A′O，CO，即可求解．
【详解】解：连结交于点，如图
绕点逆时针旋转得到
，，
为等边三角形，
而
垂直平分
在中，
在中，
故答案为：
【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的性质，解题的关键是证明△BCC′为等边三角形和A′C⊥BC′．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（1）弦AB的长等于_____；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过点A，B的圆的圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【答案】 ①. ②. 90°的圆周角所对的弦是直径
【解析】
【分析】（1）由勾股定理即可得出答案；
（2）取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝；
故答案为：；
（2）如图试所示：取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；
理由如下：
∵∠EAD＝90°，
∴DE为圆O的直径，
∵经过点A，B圆的圆心在边AC上，
∴DE与AC的交点即为点O；
故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程:.
【答案】x1=，x2=
【解析】
【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可求解．
【详解】解:∵，
∴.
∴x=，
∴x1=，x2=．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握求根公式，是解题的关键．
20. 二次函数（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）求m的值；
（Ⅲ）当时，求y的最值（最大值和最小值）及此时x的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）m=5；（Ⅲ）x=1时，y有最小值为-4，x=5时，y有最大值为12
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求函数解析式即可
（Ⅱ）直接将代入函数解析式即可求解
（Ⅲ）利用表格中的数，在结合二次函数的增减性即可解答
【详解】解：（Ⅰ）设，
将代入得，
，
解得，
∴这个二次函数的解析式为．
（Ⅱ）当时，．
（Ⅲ）根据表格可知：函数的对称轴为，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，
自变量，
当时，y有最小值为-4，
当时，y有最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图像和性质是解题关键．
21. 已知是的直径，是的切线，切点为A，交的延长线于点D，连接，．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，，若E是上一点，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先由切线和直径的性质推导得出，，即，，再由同角的余角相等即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和圆的性质推导出，由及三角形内角和定理，可求出，最后由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得的度数．
【小问1详解】
证明：∵AD是的切线，切点为A，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的相关性质，圆周角定理，综合运用以上几何性质推导角的数量关系是解题的关键．
22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元.
(1)分析数量关系填表：
(2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？
【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元.
【解析】
【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；
(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；
(3)根据二次函数的性质求出最值即可.
【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，
所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x，
故答案为180﹣10x；
(2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；
(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数).
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得.
23. 如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），将Rt△AOB绕点B逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°）得到Rt△DCB．
（1）求AB的长；
（2）当旋转角α＝20°时，如图1，AB与CD交于点F，求∠BFC的度数；
（3）当旋转角α＝60°时，如图2，连接OD，求OD的长．
【答案】（1） ；（2）65°；（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，即可求解；
（2）根据旋转的性质，可得∠D=∠OAB=45°，∠ABD=20°，即可求解；
（3）连接AD，OC，设AB与OD交于点M，根据旋转的性质，可得△ABD是等边三角形，从而得到 ，然后设D（x，y），可得x=y，从而得到∠AOD=45°，进而得到AB⊥OD，从而，再由勾股定理，可求出DM，即可求解．
【详解】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
在 中，由勾股定理得：
；
（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠ABO=45°，
∵将Rt△AOB绕点B逆时针方向旋转α得到Rt△DCB，α＝20°，
∴∠D=∠OAB=45°，∠ABD=20°，
∴∠BFC=∠D+∠ABD=45°+20°=65°；
（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，连接AD，OC，设AB与OD交于点M，

∵将Rt△AOB绕点B逆时针方向旋转60°得到Rt△DCB，
∴∠OBC=∠ABD=60°，AB=BD，BC=OB，
∴△ABD是等边三角形，
∴ ，
设D（x，y），
∴ ， ，
∴，解得：x=y，
∴D（x，x），
∴ ，
∴∠AOD=45°，
∵∠OAB=45°，
∴∠AMO=90°，即AB⊥OD，
∵OA=OB，
∴AM=BM= ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的性质和判定定理，等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【解析】
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：（1）把代入中，得

解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得，
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．x
…
0
1
2
…
n
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
m
0
-3
-4
-3
…
每台售价(元)
30
31
32
……
30+x
月销售量(件)
180
170
160
……
_____