2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试卷及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．
【详解】解：A、该方程中的未知数x的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程不属于整式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】据中心对称图形概念，逐项检验作答．
【详解】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B可以看作是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】考查中心对称图形，容易题，错误原因是不会区分轴对称图形和中心对称图形．
3. 一元二次方程化为一般形式后，，，的值分别是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用移项、合并同类项，即可得出a，b，c的值．
【详解】一元二次方程化一般形式后，
，
则，，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．
4. 一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直接开平方法求解可得答案．
【详解】解：∵，
∴x+6=3或x+6=-3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5. 用配方法解方程时，配方所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即．
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为=2，=-3，
∴2-3=-p，2×（-3）=q，
∴p=1，q=-6，
∴原方程为，
∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
7. 一元二次方程的两个根分别为和，则二次函数 的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为−3和−1，
∴ ＝−4．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
8. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，
C（2，）关于直线x=1对称点是（0，），
∵-3＜-2＜0＜1，
∴＜＜，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A. x（x+1）=28B.
C. D. x（x-1）=28
【答案】D
【解析】
【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：x（x-1）=4×7，
即x（x-1）=28．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（ ）
A. 55°B. 60°C. 65°D. 80°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，
∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1，
∴BB1=AB=AB1，
∴△ABB1是等边三角形，
∴∠BAB1=60°，
∴旋转的角度等于60°．
故选B．
11. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=121，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得
1+x+x（1+x）=121，即，
解方程得=10，=-12（舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 如图所示，正方形ABCD的边长为1．E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为，则S关于的函数图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可知，设为，则，根据勾股定理，进而可求出函数解析式，由此可求出答案．
【详解】解：四边形ABCD是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
（SAS）．
设为，则，
根据勾股定理，得，
即
，
所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线．
由题意可知自变量的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 在平面直角坐标系中，为原点，将点绕点逆时针旋转得点，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用图象法，画出图形解决问题即可．
【详解】解：如图，观察图象可知，A′（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
14. 二次函数的最大值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．
【详解】解：
∵a=-1＜0
∴当时有最大值
即：
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数的最值，根据抛物线的开口方向，在时，函数有最值．
15. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p、q的值，据此可得答案．
【详解】解：∵-6x+1=0，
∴-6x=-1，
∴-6x+9=-1+9，即，
∴p=-3，q=-8，
则p+q=-3-8=-11，
故答案为：-11．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16. 若，则关于的方程的实数根的个数为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴△=
=，
因为，
所以，
故方程有两个不相等的实数根，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
17. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，则2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为______
【答案】10%
【解析】
【分析】设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，根据题意列一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，则


或

经检验：不合题意，舍去，
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握一元二次方程的增长率问题的解答是求解的关键．
18. 若抛物线（为常数）与轴的两个交点都在轴的正半轴上，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，从而 且 ，即可求解．
【详解】解：设x1，x2是抛物线和x轴的交点横坐标，
∵抛物线y＝x2﹣x﹣k与x轴的两个交点都在x轴正半轴上，
∴ 且 ，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的性质和图象，运用数形结合思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）的面积
【解析】
【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A′，点B′，点C′的坐标，然后描出点A′，点B′，点C′，最后顺次连接点A′，点B′，点C′即可；
（2）根据△A′B′C′的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个小三角形面积求解即可．
【小问1详解】
关于原点对称的图形如图所示．
点A的对称点的坐标为；
点的对称点的坐标为；
点的对称点的坐标为．
【小问2详解】
解：由题意可得：
．
【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．
20. 解下列关于的方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：移项，得．
开方得：，
解得，．
【小问2详解】
解：∵
∴，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根
∴，
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若是该方程的一个实数根，求的值；
（2）当时，求该方程的实数根；
（3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2），
（3）的取值范围是
【解析】
【分析】（1）代入x=1可得出关于m的方程，解之即可得出m的值；
（2）代入m=-6，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出方程的实数根；
（3）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【小问1详解】
解：将x=1代入原方程，得：2+1+m=0，
解得：m=-3，
∴m的值为-3；
【小问2详解】
解：当m=-6时，原方程为，
∴（2x-3）（x+2）=0，
解得：=，=-2，
∴该方程得实数根=，=-2；
【小问3详解】
解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴m＜，
∴m的取值范围为m＜．
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）代入x=1求出m值；（2）代入m的值，解一元二次方程；（3）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
22. 已知二次函数的图象为抛物线．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当时，求该二次函数的函数值的取值范围；
（3）将抛物线先向左平移个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式．
【答案】（1）抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）函数值的取值范围是
（3）抛物线对应的函数解析式为；抛物线对应的函数解析式为．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质进行解题即可；
（2）根据二次函数的增减性进行解题即可；
（3）根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减进行解题即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向上．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问2详解】
解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
∵当时，；当时，，x=2时，y=-1，
∴函数值的取值范围是：．
【小问3详解】
解：∵抛物线向左平移个单位长度：，
∴抛物线对应的函数解析式为；
∵再向上平移两个单位：
∴抛物线对应的函数解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的性质和平移．熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．
23. 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F，分别在AC，AB，BC上．设AE的长为x，矩形CDEF的面积为S．
（1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当矩形CDEF的面积为时，求AE的长；
（3）当AE的长为多少时，矩形CDEF的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）AE的长为4或8
（3）当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】（1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含30°角直角三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到，继而解出，最后根据矩形的面积公式解答即可；
（2）由矩形CDEF的面积为，转化为解一元二次方程，再利用直接开平方解题；
（3）利用配方法得到，据此解答．
【小问1详解】
解：解：∵，，点E与点A点B均不重合，
∴，
∵四边形CDEF是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
根据题意得，
，
解得：，，
∴AE的长为4或8；
【小问3详解】
∵
，
∴当时，矩形CDEF的面积最大，
即当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及解一元二次方程、求二次函数的最值、矩形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若， 求的大小（直接写出结果即可）．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）的大小为
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；
（2）结论：AB⊥BE．证明∠DBE+∠DCE=180°，即可解决问题；
（3）连接AF．过点B作BH⊥CD交CD的延长线于H，作BT⊥CE于T，证明△BHD≌△BTE，推出CB是∠DCE的角平分线，得到∠ACD=45°，据此求解即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠CDA，
∴∠CDA=∠CDE，
∴CD平分∠ADE；
【小问2详解】
解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠ACD=∠BCE，
∵CA=CD，CB=CE，
∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠DCE+∠DBE=180°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴BE⊥AB；
【小问3详解】
解：如图，连接AF，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于H，作BT⊥CE于T，
∵∠H=∠BTC=∠HCT=90°，
∴∠HBT=∠DBE=90°，
∴∠DBH=∠EBT，
∵BD=BE，∠H=∠BTE=90°，
∴△BHD≌△BTE（AAS），
∴BH=BT，
∵BH⊥CH，BT⊥CE，
∴CB是∠DCE的角平分线，
∴∠DCB=∠ECB=∠DCE=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠FCD=45°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC==67.5°，
∴∠ABC=90°-∠CAD=22.5°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△BHD≌△BTE．
25. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，交轴于点．
（1）求点的坐标和抛物线的解析式；
（2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标；
（3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的边时，求点的坐标．
【答案】（1）y＝−x2＋5x＋6，C（0，6）；（2）P（3，12）；（3）（，）或（，）
【解析】
【分析】（1）当x＝0时，y＝6，可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出直线AC的解析式，再设D（t，−t＋6）（0＜t＜6），知P（t，−t2＋5t＋6），从而得PD＝−（t−3）2＋9，据此可得答案；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（6，0），B（−1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6，
当x＝0时，y＝6，
∴点C（0，6）；
（2）如图（1），
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝−x＋6，
设D（t，−t＋6）（0＜t＜6），则P（t，−t2＋5t＋6），
∴PD＝−t2＋5t＋6−（−t＋6）＝−t2＋6t＝−（t−3）2＋9，
当t＝3时，PD最大，此时，−t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）；
（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝−x＋6，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x=
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为，
设N的坐标为（m，−m2＋5m＋6），
∴−m2＋5m＋6＝，
∴m＝ 或m＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．