专题08 一元二次方程 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

这是一份专题08 一元二次方程 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用），文件包含专题08一元二次方程原卷版docx、专题08一元二次方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
技巧1：一元二次方程的解法归类
技巧2：根的判别式的六种常见应用
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【题型】一、一元二次方程的概念
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
【题型】三、解一元二次方程：配方法
【题型】四、解一元二次方程：公式法
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
【考纲要求】
1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．
2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
3、会列一元二次方程解决实际问题.
【考点总结】一、一元二次方程
【注意】
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤
一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
3、三配：
①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；
②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、四解：
①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。
②分别解这两个一元二次方程，求出两根。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择
（1）当b=0时，首选直接开平法
（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法
（3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法
（4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法
一元二次方程根与系数关系的两类应用
（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果
（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程
【技巧归纳】
技巧1：一元二次方程的解法归类
【类型】一、限定方法解一元二次方程
题型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解为( )
A．x＝eq \f(2,5) B．x＝eq \f(5,2) C．x＝±eq \f(5,2) D．x＝±eq \f(2,5)
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( )
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求eq \f(x,y)的值．
题型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2
7．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1.
题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－eq \f(1,4)＝2x，方程的解应是( )
A．x＝eq \f(－2±\r(5),2) B．x＝eq \f(2±\r(5),2) C．x＝eq \f(1±\r(5),2) D．x＝eq \f(1±\r(3),2)
9．用公式法解下列方程．
(1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2.
【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程
10．方程4x2－49＝0的解为( )
A．x＝eq \f(2,7) B．x＝eq \f(7,2) C．x1＝eq \f(7,2)，x2＝－eq \f(7,2) D．x1＝eq \f(2,7)，x2＝－eq \f(2,7)
11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是( )
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－4 C．x1＝3和x2＝－4 D．x1＝3和x2＝4
12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是( )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
13．解下列方程．
(1)3y2－3y－6＝0； (2)2x2－3x＋1＝0.
【类型】三、用特殊方法解一元二次方程
题型1：构造法
14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
题型2：换元法
a．整体换元
16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
17．x2＋eq \f(1,x2)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))－1＝0.
b．降次换元
18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
c．倒数换元
19．解方程：eq \f(x－2,x)－eq \f(3x,x－2)＝2.
题型3：特殊值法
20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.
参考答案
1．C 2.C 3.C
4．解： x2＋4x－2＝0，
x2＋4x ＝2，
(x＋2)2 ＝6，
x＋2 ＝±eq \r(6)，
∴x1＝－2＋eq \r(6)，x2＝－2－eq \r(6).
5．解： x2－10x＋y2－16y＋89＝0，
(x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64) ＝0，
(x－5)2＋(y－8)2 ＝0，
∴x＝5，y＝8.∴eq \f(x,y)＝eq \f(5,8).
6．D
7．解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
(2)16x2－9＝0，(4x＋3)(4x－3)＝0，∴x1＝－eq \f(3,4)，x2＝eq \f(3,4).
(3)4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，
(2x－1)2＝0，∴x1＝x2＝eq \f(1,2).
8．B
9．解：(1)3(x2＋1)－7x＝0，3x2－7x＋3＝0，
∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13.
∴x＝eq \f(7±\r(13),2×3)＝eq \f(7±\r(13),6).
∴x1＝eq \f(7＋\r(13),6)，x2＝eq \f(7－\r(13),6).
(2)4x2－3x－5＝x－2，4x2－4x－3＝0，
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x＝eq \f(4±\r(64),2×4)＝eq \f(1±2,2).
∴x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(1,2).
10．C 11.C 12.B
13．解：(1)3y2－3y－6＝0，y2－y－2＝0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，
y－eq \f(1,2)＝±eq \f(3,2)，∴y1＝2，y2＝－1.
(2)2x2－3x＋1＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，
∴x＝eq \f(3±\r(1),2×2)＝eq \f(3±1,4)，
即x1＝1，x2＝eq \f(1,2).
14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x＝－15或6x＝－4.∴x1＝－eq \f(5,2)，x2＝－eq \f(2,3).
15．解：因为m－n＝8，所以m＝n＋8.
将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.
又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＋4＝0，,p＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝－4，,p＝0.))
所以m＝n＋8＝4.
所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
16．解：原方程可变为[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝eq \f(5＋\r(33),2)，x2＝eq \f(5－\r(33),2)；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－231.
又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k，
∴Δ