四川省成都市青白江区大弯中学2023-—2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省成都市青白江区大弯中学2023-—2024学年九年级上学期期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）实数﹣23的倒数是（ ）
A．23B．﹣23C．D．﹣
2．（4分）国家发展改革委员会印发的《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》中提出，到2025年全国海水淡化总规模达到每日290万吨以上，新增海水淡化规模每日125万吨以上，那么数据290万用科学记数法可表示为（ ）
A．2.9×105B．2.9×106C．0.29×107D．2.9×107
3．（4分）如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2x3﹣x2＝x2B．x3•x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．8x3÷2x2＝4x
5．（4分）已知一组数据：0，6，9，7，0，﹣1，则这组数据的众数，中位数分别是（ ）
A．0、3B．﹣1、0C．0、6D．0、8
6．（4分）如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ ）
A．AB＝ACB．DB＝DCC．∠ADB＝∠ADCD．∠B＝∠C
7．（4分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AO＝MOB．MA∥NB
C．MA＝NBD．AB平分∠MAN
二、填空题：（每空4分，共20分）
9．（4分）因式分解：2m2﹣2＝ ．
10．已知一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ．
11．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 ．
12．（4分）已知a为一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，则以a、a+2、4为三边边长的三角形的周长为 ．
13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10）．将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点B的对应点B′在直线上，则点A与其对应点A′之间的距离为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（6分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿．随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团．
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
16．（8分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当AB＝CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由．
17．（10分）已知一次函数y＝kx+4，一次函数图象经过点（，3）．
（1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积．
（3）当﹣2≤y＜4时，求自变量x的取值范围．
18．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ ．
20．（4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a9…，an，根据上述规律，则第11个正方形的边长a的表达式为 ．
21．（4分）定义新运算，规定．方程（x+1）+的解为 ．
22．（4分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 ．
23．（4分）如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB＝45°，有下列结论：①AC＝BB′；②AC⊥AB；③∠CDA＝90°；④BB′＝AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
二.解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价．9月份的均价为8100元/m2．
（1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；
（2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？
25．（10分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
26．（12分）提出问题：
（1）如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为 ；
问题探究：
（2）如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；
解决问题：
（3）如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年四川省成都市青白江区大弯中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（每题4分，共32分）。各题均有4个选项，只有二项符合题目要求，每小题选出答案后，用2B铅笔把对应的答案涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
1．（4分）实数﹣23的倒数是（ ）
A．23B．﹣23C．D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：实数﹣23的倒数是：﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（4分）国家发展改革委员会印发的《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》中提出，到2025年全国海水淡化总规模达到每日290万吨以上，新增海水淡化规模每日125万吨以上，那么数据290万用科学记数法可表示为（ ）
A．2.9×105B．2.9×106C．0.29×107D．2.9×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：290万＝2900000＝2.9×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在最左边位置一个小正方形，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是注意空间想象，特别上面一层中小正方形的位置．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2x3﹣x2＝x2B．x3•x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．8x3÷2x2＝4x
【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A.2x3和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
B．x3•x2＝x5，故本选项不符合题意；
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
D.8x3÷2x2＝4x，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法等知识点，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．
5．（4分）已知一组数据：0，6，9，7，0，﹣1，则这组数据的众数，中位数分别是（ ）
A．0、3B．﹣1、0C．0、6D．0、8
【分析】将数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为：﹣1，0，0，6，7，9，
∵0出现次数最多，
∴这组数据的众数是0，
中位数是＝3．
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（4分）如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ ）
A．AB＝ACB．DB＝DCC．∠ADB＝∠ADCD．∠B＝∠C
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB＝AC与∠1＝∠2、AD＝AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
B、当DB＝DC时，AD＝AD，∠1＝∠2，
此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；
C、∵∠ADB＝∠ADC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
D、∵∠B＝∠C，
∴，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．
7．（4分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（4分）如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AO＝MOB．MA∥NB
C．MA＝NBD．AB平分∠MAN
【分析】利用作法得到AM＝BM＝AN＝BN，则可判断四边形AMBN为菱形，然后根据正方形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作法得AM＝BM＝AN＝BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴当OA＝OM时，即AB＝MN时，四边形AMNB为正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了正方形的判定．
二、填空题：（每空4分，共20分）
9．（4分）因式分解：2m2﹣2＝ 2（m+1）（m﹣1） ．
【分析】直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2m2﹣2＝2（m2﹣1）
＝2（m+1）（m﹣1）．
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10．已知一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 k＜3 ．
【分析】根据一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，说明常数项小于0，即k﹣3＜0，即可确定k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，
∴k﹣3＜0，
解得k＜3，
故答案为：k＜3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限；
⑤k＞0，b＝0，y＝kx+b的图象在一、三象限；
⑥k＜0，b＝0，y＝kx+b的图象在二、四象限．
11．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 49 ．
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，得到△OAB∽△ODE，求出，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AD＝3：4，
∴OA：OD＝3：7，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△ABC＝9，
∴△DEF的面积为49，
故答案为：49．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（4分）已知a为一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，则以a、a+2、4为三边边长的三角形的周长为 12 ．
【分析】利用因式分解法解出方程，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x1＝1，x2＝3，
由题意得，a＝1或3，
当a＝1时，三边长为1，3，4，
∵1+3＝4，
∴长为1，3，4三条线段不能组成三角形，
当a＝3时，三边长为3，5，4，
∵3+4＞5，
∴长为3，5，4三条线段能组成三角形，三角形的周长＝3+4+5＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法、三角形的三边关系，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10）．将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点B的对应点B′在直线上，则点A与其对应点A′之间的距离为 12 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B′的坐标，结合点B的坐标，可得出点B与其对应点B′之间的距离，结合平移的性质，即可得出点A与其对应点A′之间的距离．
【解答】解：当y＝10时，x＝10，
解得：x＝12，
∴点B′的坐标为（12，10），
∵点B的坐标为（0，10），
∴点B与其对应点B′之间的距离为12，
∵△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A与其对应点A′之间的距离为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣平移，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点B′的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（6分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可；
（2）分别解两个一元一次不等式得到x＞2.5和x≤4，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+1+2
＝2；
（2）解不等式①得x＞2.5，
解不等式②得x≤4，
所以不等式组的解集为2.5＜x≤4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．也考查了解不等式组．
15．（8分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿．随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 36 度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团．
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m的值，然后再计算出扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角即可；
（2）根据（1）中m的值，然后再计算出n的值，即可将条形统计图补充完整，然后再计算出全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团即可；
（3）根据题意，先画出树状图，再求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）m＝40×30%＝12，
扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于：360°×（1﹣10%﹣30%﹣40%﹣10%）
＝360°×10%
＝36°，
故答案为：12，36；
（2）由（1）知：m＝12，
n＝40﹣4﹣12﹣16﹣4＝4，
补全的条形统计图如右图所示；
2400×＝240（名），
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有25种等可能性，其中选择环保类同一社团项目的可能性有5种，
∴选择环保类同一社团项目的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（8分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当AB＝CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由．
【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG＝CD，FG∥CD．HE＝CD，HE∥CD．
∴FG＝EH，FG∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：当AB＝CD时，EF⊥GH，
理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
当AB＝CD时，EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
17．（10分）已知一次函数y＝kx+4，一次函数图象经过点（，3）．
（1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积．
（3）当﹣2≤y＜4时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）将点（，3）代入解析式求出k值即可，根据图像是直线确定两点坐标即可画出函数图象；
（2）根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，依据三角形面积的计算公式计算即可；
（3）分别求出y＝4和y＝﹣2时对应的x值，确定满足﹣2≤y＜4时自变量x的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点（，3）代入解析式y＝kx+4得，
3＝k+4，解得k＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∵一次函数图象是一条直线，且过点（0，4）（1，2）图象如下：
（2）令x＝0时，y＝4，
令y＝0时，x＝2，
∴A（2，0）、B（0，4），即OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝＝4；
（3）当y＝﹣2时，x＝3，
当y＝4时，x＝0，
∴当﹣2≤y＜4时，自变量x的取值范围0＜x≤3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
18．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；
（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；
（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ 8 ．
【分析】由m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，推出m+n＝﹣2，mn＝﹣5，m2+2m﹣5＝0，推出m2＝﹣2m+5，再利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣5，m2+2m﹣5＝0，
∴m2＝﹣2m+5，
∴m2﹣mn+3m+n
＝﹣2m+5﹣mn+3m+n
＝5﹣mn+m+n
＝5﹣（﹣5）+（﹣2）
＝5+5﹣2
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
20．（4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a9…，an，根据上述规律，则第11个正方形的边长a的表达式为 32 ．
【分析】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2＝AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2＝a1，a3＝a2…，an＝an﹣1可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
【解答】解：∵a2＝AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴a2＝a1＝，
同理a3＝a2＝（）2a1＝2，
a4＝a3＝（）3a1＝2；
•••
故找到规律an＝（）n﹣1，
当n＝11时，a11＝（）11﹣1＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
21．（4分）定义新运算，规定．方程（x+1）+的解为 x＝ ．
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算求出解即可．
【解答】解：根据已知得：（x+1）+2x＝，
去分母，得x2+x﹣1＝0，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
故方程的解为x＝．
故答案为：x＝．
【点评】本题考查了新定义和解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是关键．
22．（4分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 2 ．
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用∠ECO＝∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．
【解答】解：∵菱形AECF，AB＝6，
∴假设BE＝x，
∴AE＝6﹣x，
∴CE＝6﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝6﹣x，
解得：x＝2，
∴CE＝4，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
23．（4分）如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB＝45°，有下列结论：①AC＝BB′；②AC⊥AB；③∠CDA＝90°；④BB′＝AB．其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【分析】首先证明四边形ABB′C是矩形，再根据条件一一判断即可．
【解答】解：如图2中，过点D作DE⊥B′B于点E，
由旋转的性质，得DB′＝DB，
∴∠BDE＝∠B′DE＝α＝∠DAB，∠DEB＝90°，
∵BA＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∴DE∥AB．
同理，DE∥CB′，
∴AB∥CB′，
又∵AB＝CB′，
∴四边形ABB′C是平行四边形，
又∵DE∥AB，∠DEB＝90°，
∴∠ABB′＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形ABB′C是矩形，
∴AC＝BB′；AC⊥AB；故①②正确；
∵AD＝CD，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠CDA＝90°；故③正确，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝AB，
∵BB′＝AC，
∴BB′＝AB，故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为①②③．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二.解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价．9月份的均价为8100元/m2．
（1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；
（2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？
【分析】（1）设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，利用该楼盘9月份的均价＝该楼盘7月份的均价×（1﹣该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用该楼盘10月份的均价＝该楼盘9月份的均价×（1﹣该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率），可求出该楼盘10月份的均价，再将其与7000元比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，
根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为10%；
（2）8100×（1﹣10%）＝7290（元），
∵7290＞7000，
∴按这样的月平均下降率，林叔叔不能在10月份买房子．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出按这样的月平均下降率该楼盘10月份的均价．
25．（10分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
26．（12分）提出问题：
（1）如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为 10 ；
问题探究：
（2）如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；
解决问题：
（3）如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用垂线段最短得到点A到BC的距离小于或等于4，所以当A点到BC的距离等于4时，△ABC的面积最大，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积最大值；
（2）证明△DCE∽△DBA，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）求出AD的长，取CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点E作EG⊥AH于G，当E、O、H三点共线时，取等号，此时EG取最大值．证明△ABD∽△OHD，由相似三角形的性质得出，求出OH的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵A为动点，且满足AC＝4，
∴点A到BC的距离小于或等于4，
∴当A点到BC的距离等于4时，△ABC的面积最大，
即△ABC的面积最大值为×5×4＝10．
故答案为：10；
（2）∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴△DCE∽△DBA，
∴，
∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，
∴，
∴EC＝4．
（3）∵点D是BC边上的中点，BC＝800米，
∴BD＝CD＝BC＝400米，
在Rt△ABD 中，AB＝300 米，BD＝400 米，
∴AD＝＝50 （米）．
取CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点E作EG⊥AH于G，如图1．
∵EG≤EO+OH，
∴S△ADE＝AD•EG≤AD•（EO+OH），
如图2，当E、O、H三点共线时，取等号，此时EG取最大值．
在Rt△DEC中，O是CD的中点，
∴OE＝OD＝DC＝×400＝200（米），
∵∠ADB＝∠ODH，∠ABD＝∠DHO＝90°，
∴△ABD∽△OHD，
∴，
即，
∴OH＝120（米），
∴S△ADE＝AD•EG≤AD•（EO+OH）＝×500×（200+120）＝80000（平方米）．
故△ADE的面积存在最大值，其最大值为80000平方米．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．社团名称
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（醇素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
m
16
n
4
社团名称
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（醇素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
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