2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中考试数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x- 3y-3=0的倾斜角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘
2.已知点P为椭圆x216+y24=1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|=3，则|PF2|=( )
A. 1B. 5C. 7D. 13
3.已知A，B为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点，若∠ACB=120∘，则△ABC的面积为( )
A. 12B. 32C. 3D. 2
4.几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，底面ABCD为矩形，其中AB=1，AD=2，AA1=3，且∠A1AB=∠A1AD=60∘，则线段AC1的长为( )
A. 14B. 19C. 22D. 23
5.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线，垂足为点T，交双曲线C的左支于点P，若FP=2FT，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
6.已知A(m,0)，B(m+3,0)(m>0)，点P是直线l1:ax+y=0和l2:x-ay+2=0(a∈R)的交点，若存在点P使|PB|=2|PA|，则实数m的取值范围为( )
A. [2,3)B. [2,3]C. [1,3)D. [1,3]
7.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，点E是棱CC1的中点，点O是AC与BD的交点，如果OE=(-1,2,2)，那么三棱锥O-A1B1E的体积为
( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
8.瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点C(0,14)，且AC=BC，则△ABC的欧拉线被椭圆E:x22+y2=1截得的弦长的最大值为( )
A. 794B. 232C. 302D. 1224
9.已知向量e1=(t,2t,2)，e2=(2t-2,-t,-1)，则下列结论正确的是( )
A. 若e1⊥e2，则t=-1B. 若e1//e2，则t=45
C. |e1|的最大值2D. |e1|的最小值 2
10.已知直线l:ax+by-2=0，圆C:(x-a)2+(y-b)2=1，则下列结论正确的有( )
A. 若b=a+1，则直线l恒过定点(-2,2)
B. 若a2+b2=4，则直线l与圆C相切
C. 若圆C关于直线l对称，则a2+b2=2
D. 若直线l与圆C相交于两点，则a2+b2>4
11.已知曲线C的方程为x2m+5+y2m+1=1，则下列说法正确的是( )
A. ∀m∈R，曲线C都不表示圆
B. ∃m∈R，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆
C. ∀m∈R，曲线C都不表示焦点在y轴上的双曲线
D. 当m∈(-5,-1)时，曲线C的焦距为定值
12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=AA1，M，N分别是AB，B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点，Q为线段A1N上的动点(包含线段的端点)，则以下说法正确的是( )
A. Q为线段A1N的中点时，CQ=34AB-14AC+AA1
B. 存在点Q，使得PQ/​/平面A1CM
C. PQ与平面BCC1B1所成的角可能为45∘
D. BC1与A1M所成角的正弦值为 105
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为60∘，则直线l与平面α所成的角为 ．
14.直线l与l1:x+y-1=0，l2:x+y+3=0之间的距离相等，则直线l的方程是 ．
15.与双曲线x216-y24=1有公共渐近线，且过点(2 2,2)的双曲线的标准方程为 ．
16.已知椭圆x24+y23=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点(长轴端点除外)，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆长轴于点T(t,0)，则t的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知圆C经过点(0,1)，(0,3)，(2,1)．
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
18.已知直线l1:ax-2y-2a+4=0，直线l2:a2x+4y-4a2-8=0
(1)若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值;
(2)若l1/​/l2，求直线l2的方程．
19.如图，在几何体P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E为线段PC的中点，且PD=AD，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面DEF⊥平面PBC
(2)若平面DEF与平面PAB所成的角为30∘，求BFFC的值．
20.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线斜率为±12，且经过点(2 2,1)，直线l与圆x2+y2=r2( 2≤r≤ 3)相切于点P．
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C相切于点Q，求|PQ|的取值范围．
21.如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=1.M是AD的中点，E是BM的中点，点F满足AF=3FC．
(1)证明：EF//平面BCD;
(2)若BD与平面BCM所成的角大小为30∘，求CD的长度．
22.已知椭圆C1:x28+y24=1与椭圆C2有相同的离心率，椭圆C2焦点在y轴上且经过点(1, 2).
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设A为椭圆C1的上顶点，经过原点的直线l交椭圆C2于P、Q，直线AP、AQ与椭圆C1的另一个交点分别为点M和N，若△AMN与△APQ的面积分别为S1和S2，求S1S2的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
由直线方程，求出斜率，进而求出倾斜角．
【解答】解：直线 x- 3y-3=0的斜率k= 33，
设直线 x- 3y-3=0的倾斜角为α(0°≤α0，无解，
所以不存在m，使得曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故B错误;
若方程x2m+5+y2m+1=1表示焦点在y轴上的双曲线，
则m+1>0，m+51=tan45∘ ，
所以PQ 与平面BCC1B1 所成的角可能为45∘ ，此时PN=QN ，故C正确；
对于D,B(0,2,0),C1(2,0,2),BC1=(2,-2,2),A1M=(0,1,-2) ，
|cs|=|BC1⋅A1M||BC||A1M|=62 3· 5= 155，
所以BC1 与A1M 所成角的正弦值为 1-35= 105 ，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】30°
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求直线与平面的夹角.属于基础题．
设直线l与平面α所成的角为θ，根据定义，得出θ+60°=90°，即可求出结果．
【解答】
解：设直线l与平面α所成的角为θ，
根据线面角的定义，有θ+60°=90°，
即得直线l与平面α所成的角θ=30°．
故答案为30º．
14.【答案】x+y+1=0
【解析】【分析】
本题考查两平行间距离公式，属于基础题．
设直线l方程为x+y+c=0，利用平行线间的距离公式列方程求解即可．
【解答】
解：根据题意设直线 l的方程为 x+y+c=0，
因为直线l与l1:x+y-1=0，l2:x+y+3=0之间的距离相等，
所以|c+1| 12+12=|c-3| 12+12，解得c=1，
所以直线l方程为x+y+1=0，
故答案为：x+y+1=0．
15.【答案】y22-x28=1
【解析】【分析】
本题考查求双曲线的标准方程，属于基础题．
设所求的双曲线方程为x216-y24=λ(λ≠0)，代入点(2 2,2)求出λ即可．
【解答】
解：设所求的双曲线方程为x216-y24=λ(λ≠0)，
因为双曲线过点(2 2,2)，
所以(2 2)216-224=λ，解得λ=-12，
故所求双曲线方程为x216-y24=-12，即y22-x28=1．
16.【答案】-12,12
【解析】【分析】
本题是椭圆与直线的综合题，关键是利用椭圆的定义及性质进行求解，是中档题．
根据题意，不妨设P(x0,y0)(y0≠0)，结合F1-1,0,F21,0，分别写出直线PF1、PF2的方程；由角平分线的性质可知，点P到∠F1PF2两边的距离相等，结合点到直线的距离公式可得|ty0+y0| y02+(x0+1)2=|ty0-y0| y02+(x0-1)2，结合点P在椭圆C上，对上式进行化简，进而用x0表示出t，结合x0的范围即可求出t的取值范围．
【解答】
解：设 Px0,y0 ( y0≠0 )又 F1-1,0,F21,0 ，
所以直线 PF1,PF2 的方程分别为
lPF1:y0x-(x0+1)y+y0=0 ， lPF2:y0x-x0-1y-y0=0 ，
由题意知 |ty0+y0| y02+(x0+1)2=|ty0-y0| y02+(x0-1)2 ，
由于点 P 在椭圆上，所以 x024+y023=1 ， y02=3(1-x024) ，
所以 |t+1| (12x0+2)2=|t-1| (12x0-2)2 ，因为 -1