2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高二上学期期中联考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x+ 3y+1=0的倾斜角是
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.如图所示，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，点N在BC上且M是OA中点，N为BC中点，则MN等于( )
A. -12a+12b+12cB. 12a+12b+12c
C. 12a+12b-12cD. 12a-12b+12c
3.抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A. (a4,0)B. (14a,0)C. (0,a4)D. (0,14a)
4.已知P是椭圆x25+y24=1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为( )
A. (- 152,1)B. ( 152,1)C. ( 152,12)D. ( 152,-1)
5.已知空间向量a=3,0,4，b=-3,2,5，则向量b在向量a上的投影向量是
( )
A. 1125-3,2,5B. 1138-3,2,5C. 11253,0,4D. 11383,0,4
6.若方程x2-p+y2q=1表示双曲线，则下列方程表示椭圆时，与双曲线有相同焦点的是( )
A. x22q+p+y2p=-1B. x22q+p+y2q=1
C. x22p+q+y2p=-1D. x22p+q+y2q=1
7.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1与AD1之间的距离是( )
A. 2B. 2 33C. 1D. 2 23
8.如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆。许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性。在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于E、F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球切于C、B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC，由B、C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E、F为焦点的椭圆。如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆，已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA1=3，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 32C. 23D. 35
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图，过焦点F的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列说法正确的是( )
A. |AB|=x1+x2+pB. ∠MON=90∘
C. 以弦AB为直径的圆与准线相切D. A，O，N三点共线
10.已知直线l1:ax-(a+2)y-2=0，l2:(a-2)x+3ay+2=0，则下列说法正确的是( )
A. l1恒过点(-1,-1)B. 若l1//l2，则a=±1
C. 若l1⊥l2，则a=0或a=-4，D. 若l2不经过第三象限，则a<0．
11.若点P(x,y)是圆C:(x-2)2+(y-1)2=1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. (yx)max=43
B. (y-x)min=-1- 2
C. [x2+(y-1)2]max=3
D. 若点Q是直线3x+4y+5=0上的动点，则|PQ|min=2
12.如图，AB是底面圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面且PO=OB=1，BC= 2，点E在线段PB上，则下列说法正确的是( )
A. 当E为PB中点时，PB⊥平面CEO
B. 记直线CE与平面BOP所成角为θ，则tanθ∈[1, 2]
C. 存在点E，使得平面CEO与平面BEC夹角为π6
D. CE+OE的最小值为 6+ 22
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知双曲线的方程是16x2-9y2=-144，则该双曲线的渐近线方程为 ．
14.已知点A(-3,4)，B(2,2)，直线mx+y+m+2=0与线段AB相交，则m的取值范围为 ．
15.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上，并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=43，则新桥BC的长度为 ．
16.已知椭圆x26+y24=1，过点E(0,1)且斜率为k的直线l与x轴相交于点M，与椭圆相交于A，B两点.若MA=BE，则k的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线过点(1,-2)，且直线BH的一个方向向量为(-2,-1)．
(1)求顶点C的坐标;
(2)求直线BC的方程．
18.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱AA'=1，∠ABC=∠A'AD=∠A'AB=120∘．
(1)求AC'的长;
(2)求直线BD'与AC所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知圆C的圆心为(-2,1)，且圆C .在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答
①与直线3x+4y+17=0相切;
②与圆M:(x-2)2+(y-4)2=4相外切;
③经过直线3x+y+2=0与直线x-3y+14=0的交点．
(1)求圆C的方程;
(2)圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0)，是否存在实数m，使得圆N与圆C公共弦的长度为2，若存在，求出实数m的值;若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，点Q在棱PA上，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90∘，AB=2，CD=1，AD= 2，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：MQ/​/平面PCB;
(2)求直线BC与平面MCN所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
(1)当k=0，12(2)当|AB|=43，S=2 23时，求直线AB的方程．
22.(本小题12分)
已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线l:y=kx+m(k≠±ba)有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴与A(x,0)，B(0,y)两点.点P的坐标为(x,y)，当M点的坐标为(-2 2,-4)时，P点坐标为(-10 2,-5)．
(1)求双曲线的标准方程;
(2)当点M运动时，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
先求得直线的斜率，由此求得倾斜角．
本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题．
【解答】
解：依题意，直线x+ 3y+1=0的斜率为-1 3=- 33，
对应的倾斜角为5π6．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，考查空间向量的基本定理及应用，属于基础题．
根据空间向量的加减运算，即可求得答案．
【解答】
解：由题意得：MN=ON-OM=12(OB+OC)-12OA=-12a+12b+12c，
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．
把抛物线y=ax2(a≠0)化为标准方程x2=1ay.进而得到焦点坐标．
【解答】解：由抛物线y=ax2(a≠0)化为x2=1ay．
可得焦点坐标是(0,14a)．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程以及三角形面积公式的应用，属于基础题.根据三角形面积公式可得点P的纵坐标，代入椭圆方程即可求解点P的坐标．
【解答】
解：设P(x0,y0)且是第一象限上的点，
∵a2=5，b2=4，
∴c=1，
∴S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|=1，
∴y0=1．
∵x025+y024=1，且x0>0
∴x0= 152．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查投影向量的坐标运算，考查分析与计算能力，属于中档题．
根据投影向量的性质求解即可．
【解答】
解： 因为向量a=3,0,4，b=-3,2,5，
所以a=5，|b|= 38，a⋅b=11，
所以向量b在向量a上的投影向量为bcsa,ba|a|=b⋅a⋅b|a||b|⋅a|a|= 38×115× 38×a5=1125a=11253,0,4．
故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于中档题．
若方程x2-p+y2q=1表示双曲线则-pq<0即pq>0，①当p>0，q>0时，曲线y2q-x2p=1表示焦点在y轴的双曲线，②当p<0，q<0时，曲线y2q-x2p=1表示焦点在x轴的双曲线，结合选项可判定结果．
【解答】解：若方程x2-p+y2q=1表示双曲线则-pq<0即pq>0，
①当p>0，q>0时，曲线y2q-x2p=1表示焦点在y轴的双曲线，A，C的方程没有意义，
B：由于2q+p>q>0，表示焦点在x轴上的椭圆，
D：由于2p+q>q>0，表示焦点在x轴上的椭圆，
则此情况不符合题意，舍去;
②当p<0，q<0时，曲线y2q-x2p=1表示焦点在x轴的双曲线，
c2=-p-q，
A：由于-(2q+p)>-p>0，表示曲线是焦点在x轴上的椭圆，c2=-2q，
B：由于2q+pC：由于-2p-q>-p>0，表示焦点在x轴上的椭圆，c2=-p-q，
D：由于2p+q综合可得C符合题意，
故答案选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查求异面直线的距离，考查线线距离的向量求法，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求得与A1C1，AD1都垂直的向量 n，直线A1C1与AD1之间的距离是 C1D1·nn，求解即可．
【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0),D1(0,0,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2)，
故A1C1=(-2,2,0)，AD1=(-2,0,2)，C1D1=(0,-2,0)，
设n=(x,y,z)与A1C1，AD1都垂直，
则有n·A1C1=-2x+2y=0n·AD1=-2x+2z=0,
取x=1，则 n=(1,1,1)，
则直线A1C1与AD1之间的距离是 C1D1·nn=-2 3=2 33，
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的离心率的求法．
利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出a,c，得出离心率．
【解答】
解：设球⊙O切A1A2于F，切PA1于E，|PA1|=3，球半径为1，
所以|PE|=2，tan ∠EPO=12，
∴tan ∠A1PA2=2×121-14=43，
又中，|PA1|=3，
∴|A1A2|=|PA1|×43=4，故椭圆长轴长为2a=4，a=2，
根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与A1A2
相切的切点F为椭圆的一个焦点，且|A1F|=1，
∴a-c=1，c=1
椭圆的离心率为e=ca=12．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质以及直线和圆的位置关系.属于中档题．
根据抛物线的定义判断A和C，根据直线和抛物线联立利用韦达定理判断B，根据斜率相等，可以判定D．
【解答】
解：对于A，由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN| =x1+ x2+p，故A正确;
对于B，由题意，设直线AB的方程为：x=my+ p2，
代入抛物线 y2=2px(p>0)，可得 y2-2mpy- p2=0，
设A( x1， y1)，B( x2， y2)，则 y1y2=- p2，y1+y2=2mp，
又因为OM2=p22+y12，ON=p22+y22，
MN2=y1-y22=y12+y22-2y1·y2=y12+y22+2p2，
OM2+ON2=p22+y12+p22+y22=y12+y22+p22，
所以OM2+ON2≠MN2，
所以∠MON≠90°故B错误；
对于C，设线段AB的中点为M，点M到准线的距离为d，
则d=|AM|+|BN|2= |AF|+|BF|2= |AB|2，
∴以AB为直径的圆与准线相切，故C正确；
对于D，由选项B知，kOA=y1x1=y1my1+p2，kON=y2-p2=-2y2p，
则kOA-kON=y1my1+p2+2y2p=p(y1+y2)+2my1y2my1+p2p=2mp2-2mp2my1+p2p=0，
所以kOA=kON，故A，O，N三点共线，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查两直线位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是中档题．
由直线系方程求出直线所过定点判定A；由两直线平行，垂直与系数的关系列式求得a值判断B，C；讨论a的取值，可判断D．
【解答】
解：A选项：a(x-y)-(2y+2)=0，即x-y=02y+2=0，解得x=-1y=-1，所以直线l1过定点(-1,-1)，故选项A正确;
B选项：若l1/​/l2，则a⋅3a+(a+2)(a-2)=0，
解得a=±1，
当a=1时，l1:x-3y-2=0，l2:-x+3y+2=0，两直线重合，舍去;
当a=-1时，l1:-x-y-2=0，l2:-3x-3y+2=0，两直线平行，符合题意．
所以a=-1，故选项B错误;
C选项：若l1⊥l2，则a(a-2)-3a(a+2)=0，解得a=0或者a=-4，故选项C正确;
D选项：当a=0时，直线l2:x=1不过第三象限，满足题意;
当a≠0时，直线l2:y=2-a3ax-23a不过第三象限，则
2-a3a≤0-23a≥0解得a<0，综上a≤0，故选项的错误;
故选：AC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的综合应用，属于中档题．
A选项令yx=k，则kx-y=0，再利用直线与圆有交点求得最值;B选项令y-x=b，则x-y+b=0，再利用直线与圆有交点求得最值;C选项根据P到点(0,1)距离的最大值，即可求出x2+(y-1)2的最大值;D选项根据当PQ与直线3x+4y+5=0垂直时，|PQ|取得最小值进行求解;
【解答】
解：圆C:(x-2)2+(y-1)2=1，圆心C(2,1)，半径r=1
对于A选项，令yx=k，则kx-y=0.因为点P在圆上，所以圆C:(x-2)2+(y-1)2=1与直线kx-y=0相交或相切，
故圆心到直线的距离d1≤r，即|2k-1| k2+1≤1，解得0≤k≤43，故A正确;
对于B选项，令y-x=b，则x-y+b=0.因为点P在圆上，所以圆C:(x-2)2+(y-1)2=1与直线x-y+b=0相交或相切，故圆心C到直线的距离d2≤r，即|1+b| 2≤1，解得- 2-1≤b≤ 2-1，故B正确;
对于C选项，x2+(y-1)2的几何意义是点P到点M(0,1)的距离的平方，
又|PM|max=|CM|+r=3，所以|PM|max2=9，故C错误;
对于D选项，圆心C到直线3x+4y+5=0的距离d4=|6+4+5| 25=3，
当PQ与直线3x+4y+5=0垂直时，|PQ|能取得最小值，|PQ|min=d4-r=2，故D正确．
故选：ABD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线与平面所成的角，考查两平面的夹角，考查翻折问题，属于较难题．
对于A，利用直线与平面垂直的判定定理即可，对于B，找到直线与平面所成的角，求出正切值即可求出其范围，对于C，建立直角坐标系利用向量可判断，对于D，把折线翻折到一个平面上利用两点之间线段最短，通过解三角形可求得．
【解答】
解：对于A，因为OB=OC=1，BC= 2，所以OC⊥OB，又OC⊥OP，OP∩OC=O，且都在平面POB，所以OC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，所以OC⊥PB，因为OP=OB，E是PB的中点，所以OE⊥PB，OE∩OC=O，都在平面CEO上，所以，PB⊥平面CEO，故A正确；
对于B，由A的推导可知，OC⊥平面POB，所以∠OEC就是CE与平面BOP所成的角，tan∠OEC=OCOE，OC=1，因为E是线段PB上的动点，所以 22⩽OE⩽1，所以1⩽tan∠OEC⩽ 2，即tanθ∈[1, 2]，故B正确；
对于C，由前面的推导可得OC，OB，OP两两垂直，以OC为x轴，OB为y轴，，OP为z轴建立直角坐标系，则C(1,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，则平面BCE也就是平面BCP的法向量为n=1,1,1，设E(0,a.1-a)，0⩽a⩽1，则OC=(1,0,0)，OE=(0,a,1-a)，设平面CEO的法向量为m=x,y,z，则x=0ay+1-az=0，可取m=0,a-1,a，若平面CEO与平面BEC夹角为π6，则csm,n=a-1+a 3· a-12+a2= 32，化简得2a2-2a+5=0，无解，故C错误；
对于D，如图，PO⊥底面OCB，则PO⊥OB，PO⊥OC，由PO=OB=1，得PB= 2，
由PO=OC，得PC= 2，又BC= 2，
∴△PBC为等边三角形，则∠PBC=60∘，又∠PBO=45∘，
沿PB翻折平面PBC，使平面PBC'与平面PAB重合，
则∠OBC'=105∘，
CE+OE的最小值OC'，在△OBC'中，
由余弦定理可得：OC'= 12+( 2)2-2×1× 2×cs105∘
= 3+2 2× 6- 24= 3+ 3-1= 2+ 3= 4+2 32= 3+122= 6+ 22故D正确．
13.【答案】y=±43x
【解析】【分析】本题主要考查双曲线的基本性质，考查基础知识的简单应用．
将双曲线转化为标准形式，得到a，b，c的值，即可得到渐近线方程．
【解答】
解：由16x2-9y2=144得x29-y216=1，
∴a=3，b=4，c=5．
焦点坐标F1(-5,0)，F2(5,0)，
渐近线方程为y=±43x．
14.【答案】(-∞,-43]∪[3,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查直线的斜率公式，属中档题．
可知直线经过定点P(-1,-2)，斜率为-m，求出PA的斜率和PB的斜率，再根据直线和线段相交关系，列出关系式即可得m的范围．
【解答】
解：直线mx+y+m+2=0，即m(x+1)+y+2=0，
直线经过定点P(-1,-2)，斜率为-m，
如图，
PA的斜率为4+2-3+1=-3，PB的斜率为2+22+1=43，
∵直线mx+y+m+2=0与线段AB相交，
∴-m≤-3或-m≥43，
即m≥3或m≤-43．
故答案为(-∞,-43]∪[3,+∞).
15.【答案】150m
【解析】【分析】
本题考查直线方程，两直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，属于基础题．
以OC,OA为x,y轴建立直角坐标系，C点坐标为(170,0)，A(0,60)，因此要求BC的长，就要求得B点坐标，已知tan ∠BCO=43说明直线BC斜率为-43，这样直线BC方程可立即写出，又AB⊥BC，故AB斜率也能得出，这样AB方程已知，两条直线的交点B的坐标随之而得；
【解答】
解：
如图，以OC,OA为x,y轴建立直角坐标系，则C(170,0)，A(0,60)，
由题意kBC=-43，直线BC方程为y=-43(x-170)．
又kAB=-1kBC=34，故直线AB方程为y=34x+60，
由y=-43(x-170)y=34x+60，解得x=80y=120，即B(80,120)，
所以|BC|= (80-170)2+1202=150(m)；
故答案为：150m．
16.【答案】± 63
【解析】【分析】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查向量的坐标表示，属于中档题．
设直线l:y=kx+1，k≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=kx+12x2+3y2=12消去y，利用韦达定理以及MA=BE的坐标关系列方程求解即可．
【解答】
解：设直线l:y=kx+1，k≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(-1k,0)，
联立y=kx+12x2+3y2=12，消去y得(2+3k2)x2+6kx-9=0，
∴Δ=36k2+36(2+3k2)>0，
∴x1+x2=-6k2+3k2，x1x2=-92+3k2，
又MA=(x1+1k,y1)，BE=(-x2,1-y2)，MA=BE，
∴x1+1k=-x2，y1=1-y2，
即x1+x2=-1k，y1+y2=1，
∴-6k2+3k2=-1k，解得k=± 63．
17.【答案】解：(1)因为直线BH的一个方向向量为(-2,-1)，
所以直线BH的斜率kBH=12，
由AC⊥BH，则kAC=-2，
直线AC的方程为2x+y-11=0，
则2x+y-11=02x-y-5=0得顶点C的坐标为(4,3)；
(2)设点B(x,y)，则M(x+52,y+12)，M在CM上，即2×x+52-y+12-5=0，即2x-y-1=0，
BH的方程为y+2=12(x-1)，即x-2y-5=0，
则2x-y-1=0x-2y-5=0，得B的坐标为(-1,-3)，
又C(4,3)，
所以直线BC的方程为6x-5y-9=0．
【解析】本题主要考查了求直线方程以及两直线垂直时斜率关系，基础题
(1)根据直线BH的斜率求得直线AC的斜率，进而得到直线AC的方程，联立直线AC和直线CM方程，可求顶点C的坐标；
(2)设出点B坐标，得到AB中点M坐标，代入方程CM中，又点B在直线BH上，从而得到两个方程，解出B坐标，再由(1)中点C的坐标，用两点式求出直线BC方程
18.【答案】解：(1)因为AC'=AB+AD+AA'，
所以|AC'|= (AB+AD+AA')2
= AB2+AD2+AA'2+2(AB⋅AD+AB⋅AA'+AD⋅AA')
= 4+4+1+2×2×2×12+2×2×1×-12+2×2×1×-12
=3；
(2)AB,AD,AA'构成空间的一个基底，用它们表示BD',AC，
BD'=-AB+AD+AA'，
AC=AB+AD
所以|BD'|= (-AB+AD+AA')2= 5
AC= AB+AD2=2 3，
BD'⋅AC=(-AB+AD+AA')⋅(AB+AD)=-AB2-AB·AD+AD·AB+AD2+AA'·AB+AA'·AD
=-4+4+1×2×-12+1×2×-12=-2，
所以cs=BD'⋅AC|BD'||AC|=-2 5×2 3=- 1515，
所以直线BD'与AC所成角的余弦值为 1515．

【解析】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，线段的长，考查向量的加法法则，是中档题．
(1)利用基底表示向量AC'，再利用数量积求模；
(2)转化为利用向量数量积求直线夹角的余弦值．
19.【答案】解：(1)设圆C的半径为r，若选条件 ①，圆C与直线3x+4y+17=0相切，所以圆C
到直线3x+4y+17=0的距离是圆C的半径，则r=|-6+4+17|5=3，
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9，
若选条件 ②，与圆M:(x-2)2+(y-4)2=4相外切，圆M的圆心为(2,4)，半径为2，
所以r+2= (2+2)2+(4-1)2=5，所以r=3，
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9，
若选条件 ③，经过直线3x+y+2=0与直线x-3y+14=0的交点，
3x+y+2=0x-3y+14=0得x=-2y=4，所以r=3，
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9，
(2)圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0)的圆心为(m,0)，半径为m，
两个圆有公共弦，则|m-3|<|CN|即|m-3|< (m+2)2+125，
由(x+2)2+(y-1)2=9(x-m)2+y2=m2，得两圆公共弦所在直线方程为(m+2)x-y-2=0，
又两圆的公共弦长为2，则圆心C到公共弦所在直线的距离为
d=|-2m-4-1-2| (m+2)2+1=|2m+7| m2+4m+5，且2 9-d2=2，
解得m= 10-12或m=- 10-12，
又m>25，所以m= 10-12.经检验符合题意．
故存在实数m= 10-12，使得圆N与圆C公共弦的长度为2．
【解析】本题考查求圆的标准方程和圆的弦长问题，考查两条直线的交点，考查直线与圆与圆的位置关系，属于一般题．
(1)若选条件 ①，利用点C到直线的距离等于半径求出半径，即可得圆方程;
若选条件 ②，利用圆与圆的位置关系求出半径，即可得圆方程;
若选条件 ③，求出交点坐标，求出半径，即可得圆方程;
(2)根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解．
20.【答案】解：(1)证明：以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C( 2,1,0)，P(0,0,4)，Q(0,0,3)，D( 2,0,0)，
∵M，N是PD，PB的中点，∴M( 22,0,2)，N(0,1,2)，
∴MQ=(- 22,0,1)，CN=(- 2,0,2)，
∴MQ //CN，
∴MQ//CN，又MQ⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，
∴MQ//平面PCB．
(2)设平面的MCN的法向量为n=(x,y,z)，又CM=(- 22,-1,2)，
则有：n⊥CM⇒(x,y,z)·(- 22,-1,2)=0⇒- 22x-y+2z=0n⊥CN⇒(x,y,z)·(- 2,0,2)=0⇒- 2x+2z=0
令z=1，则x= 2，y=1，n=( 2,1,1)，又BC=( 2,-1,0)，
∴sinθ=|cs|=n·BC|n|·|BC|=12× 3= 36，
∴求直线BC 与平面MCN所成的角的正弦值为 36
【解析】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．
(1)以A为原点建立坐标系，通过求出MQ和CN的坐标得出MQ/​/CN，从而求的MQ/​/平面PBC；
(2)求出平面CMN的法向量n，∴sinθ=|cs|=n·BC|n|·|BC|=12× 3= 36，可求直线BC 与平面MCN所成的角的正弦值．
21.【答案】解：(1)当k=0，12设点A(x1,b)，B(x2,b)，
由x24+y2=1解得x1,2=±2 1-b2，
所以|AB|=|x1-x2|=4 1-b2，
S=12b×4 1-b2=2b 1-b2=2 b2-b4=2 -b2-122+14，
因为12所以14当b2=12时，Smax=1
所以S∈( 32,1]；
(2)由y=kx+bx24+y2=1，得(1+4k2)x2+8kbx+4(b2-1)=0，
Δ=16(1+4k2-b2)，x1+x2=-8kb1+4k2，x1x2=4(b2-1)1+4k2，
所以|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 16(1+4k2-b2)1+4k2，
点O到直线AB的距离d=|b| 1+k2，
由|AB|=43，S=2 23，得d= 2，
所以b2=2(1+k2)，
|AB|= 1+k2 16(1+4k2-b2)1+4k2=43
所以k2=2，即k=± 2，b=± 6，
所以AB的方程为y= 2x+ 6或y=- 2x+ 6或y= 2x- 6或y=- 2x- 6．

【解析】本题考查椭圆的弦长、直线与椭圆的位置关系及其应用、椭圆中三角形(四边形)的面积、点到直线的距离，属于中档题．
(1)设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用二次函数的性质，即可求出结果；
(2)把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k.则直线的方程可得．
22.【答案】解：(1)设AB:y+4=-1k(x+2 2)，
A(-4k-2 2,0)，B(0,-4-2 2k)，P(-4k-2 2,-4-2 2k)，
则-4k-2 2=-10 2-4-2 2k=-5，可得k=2 2，
又因为直线l:y=kx+m过M，则m=4，
所以l:y=2 2x+4，
又因为l与双曲线相切，
所以由y=2 2x+4x2a2-y2b2=1，得(b2-8a2)x2-16 2a2x-16a2-a2b2=0，
则b2-8a2≠0，且Δ=0，即(-16 2a2)2+4(b2-8a2)(16a2+a2b2)=0，
即8b2-16a2=a2b2①，
又因为点M在双曲线上，
所以8a2-16b2=1②，
由①②式可得a2=4，b2=16，
所以双曲线的标准方程为x24-y216=1；
(2)由y=kx+mx24-y216=1，得(4-k2)x2-2kmx-(m2+16)=0(k≠±2)，
因为M是双曲线与直线l的唯一公共点，
所以(-2km)2+4(4-k2)(m2+16)=0，即m2=4(k2-4)③，
解得M(km4-k2,4m4-k2)，即M(-4km,-16m)，其中km≠0，
于是过点M且与l垂直的直线为y+16m=-1k(x+4km)，
可得A(-20km,0)，B(0,-20m)，P(-20km,-20m)，
所以x=-20kmy=-20m,
将(3)式代入可得：
x2=400k2m2=400m2(m24+4)=100+1600m2=100+4y2，
即x2100-y225=1，其中y≠0，
所以，点P的轨迹方程为x2100-y225=1(y≠0)，
轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线(去掉两个顶点)．

【解析】本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系及其应用、与双曲线有关的轨迹问题，属于较难题．
(1)设AB:y+4=-1k(x+2 2)，求出A(-4k-2 2,0)，B(0,-4-2 2k)，P(-4k-2 2,-4-2 2k)，由-4k-2 2=-10 2-4-2 2k=-5，求出k的值，得出直线l的方程，利用直线l与双曲线相切，求出a2，b2，即可求出结果；
(2)联立l与双曲线，由Δ=0得m2=4(k2-4)，进而有P(-20km,-20m)，即可写出其轨迹方程，并判断轨迹曲线．