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2023-2024学年福建省福州市八县（市、区）一中高一上学期11月期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市八县（市、区）一中高一上学期11月期中联考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,B=4,5，则A∪∁UB=( )
A. 1,2,3B. 1,2,3,4,5C. 1,2,4,5D. 2,3,4,5
2.以下选项正确的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若c>a>b>0，则ac-a>bc-bD. 若a>b>c>0，则ab3.设fx=xαα∈-1,12,1,2,3，则“函数fx的图象经过点-1,1”是“函数fx在-∞,0上递减”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知f x-1=-x+ x，则fx的值域是
( )
A. -∞,14B. -∞,0C. -∞,14D. 14,+∞
5.定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1,x2∈0,+∞,x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，且f3=0，则不等式xfx>0的解集是
( )
A. -3,3B. -3,0∪3,+∞
C. -∞,-3∪3,+∞D. -∞,-3∪0,3
6.设函数fx=mx2-x-1m>0，命题“存在1≤x≤2,fx>2”是假命题，则实数m的取值范围是
( )
A. m≥54B. 07.已知函数fx=x+1x2+2，下列推断正确的个数是
( )
①函数图像关于y轴对称；②函数fx与fx+3的值域相同；
③fx在1,2上有最大值23；④fx的图像恒在直线y=1的下方．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3-3x-a>x2+2x成立，则实数a的取值范围是
( )
A. -374,3B. -3,134C. -374,134D. -3,3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列结论中错误的有( )
A. 集合x∈N0≤x<3的真子集有7个
B. 已知命题p:∀x∈R,x2-x+1≥0，则¬p:∃x0∉R,x02-x0+1<0
C. 函数y= x2-4与函数y= x+2⋅ x-2表示同一个函数
D. 若函数f2x的定义域为0,2，则函数f3x+1的定义域为1,5
10.已知a,b为正实数，则下列说法正确的是
( )
A. a2+2+1 a2+2的最小值为2
B. 若a+b=2则 a+ b的最大值是2．
C. 若2a+b=ab则ab的最小值是8.
D. 若1a+2b=1则2a+b的最大值是8．
11.已知fx是定义在R上的奇函数，gx是定义在R上的偶函数，且fx,gx在-∞,0单调递增，则以下结论正确的是
( )
A. ff1C. gf1>gf2D. gg1>gg2
12.已知函数fx= x,x∈0,212fx-2,x∈2,+∞，则以下结论正确的是
( )
A. 当x∈2,4,fx=12 x-2
B. ∀x1,x2∈0,+∞,fx1-fx2< 2
C. 若fx< 24在t,+∞上恒成立，则t的最小值为6
D. 若关于x的方程2afx2+a+2fx+1=0有三个不同的实数根则a∈-4 2,-2 2．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.不等式3x-12-x≥0的解集为______．
14.已知函数fx=x+2,x≤-1-x2+2x,x>-1，若fa=-3，则实数a的值为______．
15.若函数gx=f3x-9x2是奇函数，且f-1=3，则f1=______．
16.已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则实数m的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设U=R，已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1．
(1)当m=4时，求∁U(A∪B)；
(2)若B≠⌀，且B⊆A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=xx2+4,x∈-2,2．
(1)求ff1的值；
(2)用定义证明函数fx在-2,2上为增函数；
(3)若ft+1-f2t-1>0，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
均值不等式a+b2≥ aba>0,b>0可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为： a2+b22≥a+b2≥ ab≥21a+1ba>0,b>0．
(1)证明不等式： a2+b22≥a+b2.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中 a2+b22≥a+b2a>0,b>0指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数(无需证明)
(2)若一个直角三角形的直角边分别为a,b，斜边c=4，求直角三角形周长l的取值范围．
20.(本小题12分)
福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当50≤x≤150时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．
(1)当0≤x≤150时，求函数vx的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)fx=x⋅vx可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)．
21.(本小题12分)
已知函数fx=ax2-2a+3x+6a∈R
(1)若fx>0的解集是x|x<2或x>3，求实数a的值；
(2)当a=1时，若-2≤x≤2时函数fx≤-m+5x+3+2m有解，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
设函数fx,Fx的定义域分别为I,D，且IÜD.若对于任意x∈I，都有Fx=fx，则称Fx为fx在D上的一个延伸函数．给定函数fx=2x2+x-10(1)若Fx是fx在给定-3,3上的延伸函数，且Fx为奇函数，求Fx的解析式；
(2)设gx为fx在0,+∞上的任意一个延伸函数，且hx=gxx是0,+∞上的单调函数．
①证明：当x∈0,3时，hx1+x22≥hx1+hx22．
②判断hx在0,3的单调性(直接给出结论即可)；并证明：∀m>0,n>0都有gm+n>gm+gn．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】应用集合的补集和并集的运算即可．
解：依题得∁UB={1,2,3}，则A∪∁UB=1,2,3．
故选：A
2.【答案】C
【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案．
解：A选项，若a>b，如a=1,b=-1，则1a>1b，所以A选项错误．
B选项，若a>b，c=0，则ac2=bc2，所以B选项错误．
C选项，若c>a>b>0，则c-a>0,c-b>0,a-b>0，
则ac-a-bc-b=ac-b-bc-ac-ac-b=a-bcc-ac-b>0，
所以ac-a>bc-b，所以C选项正确．
D选项，若a>b>c>0，则a-b>0，
ab-a+cb+c=ab+c-ba+cbb+c=a-bcbb+c>0，
所以ab>a+cb+c，所以D选项错误．
故选：C
3.【答案】A
【解析】【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
解：函数fx的图象经过点-1,1，则fx=-1α=1，
因为α∈-1,12,1,2,3，所以α=2，所以fx=x2，
所以fx在-∞,0上递减，
而fx在-∞,0上递减，函数fx的图象不一定经过点-1,1，
如：fx=x-1．
所以“函数fx的图象经过点-1,1”是“函数fx在-∞,0上递减”的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考察求函数的值域，属于中档题．
求出函数fx的表达式即可得出值域．
【解答】
解：由题意，
在f x-1=-x+ x中，
设 x-1=t，即x=t+12，
∴ft=-t+12+t+1=-t2-t即fx=-x2-x，x⩾-1
在fx=-x2-x中，-1<0，开口向下，对称轴x=-b2a=--12×-1=-12，
∴fx≤f-12=-122--12=14，
∴fx 的值域是-∞,14,
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据函数单调性的定义知，fx在0,+∞上单调递减，在-∞,0上单调递增，且f3=0，分x>0与x<0两种情况进行求解，得到答案．
解：因为对任意的x1,x2∈0,+∞,x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，
所以fx在0,+∞上单调递减，又fx为定义在R上的偶函数，
所以fx在-∞,0上单调递增，且f-3=f3=0，
当x>0时，由xfx>0得fx>0=f3，故0当x<0时，由xfx>0得fx<0=f-3，故x<-3，
综上：不等式xfx>0的解集是-∞,-3∪0,3．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得m的取值范围．
解：由于“存在1≤x≤2,fx>2”是假命题，
所以“任意1≤x≤2，fx≤2”是真命题，
即任意1≤x≤2，mx2-x-1≤2，m≤x+3x2=3x2+1x，
令t=1x∈12,1，y=3t2+t的开口向上，对称轴为t=-16，
所以当t=12，即x=2时，3x2+1x取得最小值为34+12=54，
所以0故选：B
7.【答案】D
【解析】【分析】对于①，利用函数奇偶性定义判断出函数为偶函数，①正确；对于②，由两函数图象关系得到值域相同；对于③，变形后，结合对勾函数性质得到最值；对于④，先得到x≥0时，fx=x+1x2+2，换元后结合对勾函数性质得到函数值域，再由函数的奇偶性得到值域为0, 3+14，故④正确．
解：对于①，fx=x+1x2+2的定义域为R，
且f-x=-x+1-x2+2=x+1x2+2=fx，
故fx=x+1x2+2为偶函数，故函数图象关于y轴对称，①正确；
对于②，fx+3是由fx向左平移3个单位得到的，故值域不改变，②正确；
对于④，当x≥0时，fx=x+1x2+2，
令x+1=t≥1，y=tt-12+2=tt2-2t+3=1t+3t-2，
由对勾函数性质可知，gt=t+3t在1, 3上单调递减，在 3,+∞上单调递增，
故gtmin= 3+3 3=2 3，故0由①可知，fx=x+1x2+2为偶函数，
故fx在R上的值域为0, 3+14,
由于 3+14<1，故满足fx的图像恒在直线y=1的下方，④正确；
对于③，因为x∈1,2，则x+1=t∈2,3，
gt=t+3t在2,3上单调递增，
故gt∈g2,g3=3.5,4，
故y=1t+3t-2的值域为12,23，
故fx在1,2上有最大值为23，③正确．
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解．
化简不等式3-3x-a>x2+2x，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a的取值范围．
解：依题意，至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3-3x-a>x2+2x成立，
即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，
画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0．
当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，
由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，
Δ=25+4a+12=0,a=-374．
当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，
由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，
由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，
解得x=12，不符合题意．
当y=-3x+a过0,3时，a=3．
结合图象可知a的取值范围是-374,3．
故选：A
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查集合的子集、真子集及其个数、全称量词命题与存在量词命题的否定、判断两个函数是否为同一函数、抽象函数的定义域，属于基础题．
由集合元素个数与真子集个数间的关系可判断A项；由命题的否定可判断B项；
求出两个函数的定义域可判断C项；根据抽象函数定义域的求法可判断D项．
【解答】
解：对于A项，因为集合{x∈N|0⩽x<3}={0,1,2}，
所以该集合有23-1=7个真子集，所以A项正确；
对于B项，命题p:∀x∈R,x2-x+1⩾0的否定¬p:∃x0∈R,x02-x0+1<0，所以B项错误；
对于C项，由x2-4⩾0得x⩾2或x⩽-2，
所以函数y= x2-4的定义域为(-∞,-2]∪[2,+∞)，
由x+2⩾0x-2⩾0，得x⩾2，所以函数y= x+2⋅ x-2的定义域为[2,+∞),
由于函数y= x2-4与函数y= x+2⋅ x-2定义域不同，
所以不是同一函数，所以C项错误；
对于D项，由于函数f(2x)的定义域为0,2，
所以0⩽2x⩽4，
令0⩽3x+1⩽4得-13⩽x⩽1，
所以函数f(3x+1)的定义域为-13,1，所以D项错误．
故选BCD ．
10.【答案】BC
【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：A选项， a2+2+1 a2+2≥2 a2+2⋅1 a2+2①，
而 a2+2=1 a2+2无实数解，所以①的等式不成立，所以A选项错误．
B选项， a+ b22≤a+b2=1, a+ b≤2，
当且仅当a=b=1时等号成立，所以B选项正确．
C选项，2a+b=ab≥2 2ab,ab-2 2ab= ab ab-2 2≥0，
ab≥2 2,ab≥8，当且仅当2a=b=4时等号成立，所以C选项正确．
D选项，2a+b=2a+b1a+2b=4+ba+4ab≥4+2 ba×4ab=8，
当且仅当ba=4ab,b=2a=4时等号成立，所以D选项错误．
故选：BC
11.【答案】AC
【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案．
解：A选项，fx是奇函数，且在-∞,0单调递增，
则fx在R上单调递增，所以f1则ff1B选项，gx是偶函数，且在-∞,0单调递增，
则gx在0,+∞上单调递减，
所以g-1=g1>g2，所以fg-1>fg2，所以B选项错误．
C选项，0=f0gf2，所以C选项正确．
D选项，g1>g2，但符号无法确定，所以gg1,gg2大小关系不确定，
所以D选项错误．
故选：AC
12.【答案】AB
【解析】【分析】根据题意，作出x∈2n,2n+2,n∈N时，fx=12n x-2n的图像，数形结合逐个判断即可．
解：设x∈2,4时，则x-2∈0,2，所以fx-2= x-2，
又fx=12fx-2，所以当x∈2,4时，fx=12 x-2；
当x∈4,6时，则x-2∈2,4，所以fx-2=12 x-4，
又fx=12fx-2，所以当x∈4,6时，fx=14 x-4；
当x∈6,8时，则x-2∈4,6，所以fx-2=12 x-6，
又fx=12fx-2，所以当x∈6,8时，fx=18 x-6；
所以由此可知x∈2n,2n+2,n∈N时，fx=12n x-2n；作出函数fx的部分图象，如下图所示：
则A正确，
由图象可知，fx∈0, 2，所以∀x1，x2∈0,+∞,fx1-fx2< 2，故 B正确；
在同一坐标系中作出函数fx和函数y= 24的图象，如下图所示：
由图象可知，当x∈4,+∞时，fx< 24恒成立，所以t的最小值为4，故C错误；
令t=fx，则t∈0, 2，则方程2afx2+a+2fx+1=0等价于
2at2+a+2t+1=0a∈R，即at+12t+1=0，所以t=-1a，或t=-12(舍去)，
在同一坐标系中作出函数fx，函数y= 24和函数y= 28的图象，如下图所示：
由图象可知，当-1a∈ 28, 24时，即-4 2≤a<-2 2时，
关于x的方程2afx2+a+2fx+1=0a∈R有三个不同的实根，故 D错误．
故选：AB
13.【答案】13,2
【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可得到答案．
解：不等式3x-12-x≥0，等价于3x-12-x≥02-x≠0,
解得13≤x<2，所以不等式的解集为13,2．
故答案为：13,2
14.【答案】-5或3
【解析】【分析】根据fa=-3列方程，从而求得a的值．
解：当a≤-1时，由a+2=-3解得a=-5；
当a>-1时，由a>-1-a2+2a=-3解得a=3．
所以a的值为-5或3．
故答案为：-5或3
15.【答案】-1
【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求
解：函数gx=f3x-9x2是奇函数，
则g(-x)=-g(x)，
当x=-13时，g-13=f-1-1=2，则g13=f(1)-1=-2，
则f(1)=-1．
故答案为：-1
16.【答案】m>0
【解析】【分析】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解．
先求得p为真命题时a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围．
解：若命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”为真命题，
a=0时，2x+1=0,x=-12，符合题意；
当a<0时，Δ=4-4a>0，且x1+x2=-2a>0,x1x2=1a<0，
则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根，符合题意；
当a>0时，由Δ=4-4a=0，解得a=1，
此时方程为x2+2x+1=x+12=0,x=-1符合题意；
由Δ=4-4a>0解得00，
则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根，符合题意．
综上所述，p为真命题时，a的取值范围是-∞,1．
若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，
则m+1>1,m>0．
故答案为：m>0
17.【答案】解：(1)当 m=4 时， B=x5≤x≤7 ，且 A=x-2≤x≤5 ，则 A∪B=x-2≤x≤7 ，
所以 ∁UA∪B=xx<-2 或 x>7 ；
(2)因为 B≠⌀ ，且 B⊆A ，所以需满足 m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5 ，解得 2≤m≤3 ，
所以实数m的取值范围为 2,3 ．
【解析】本题考查集合的运算，已知集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题．
(1)根据并集和补集的概念即可求出结果；
(2)由题意可得 m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5 ，解不等式组即可求出结果．
18.【答案】解：(1)
f1=15，f15=5101∴ff1=5101
(2)
证明：任取x1,x2，且-2fx1-fx2=x1x12+4-x2x22+4=x1-x24-x1x2x12+4x22+4
∵x12+4>0,x22+4>0,x1-x2<0,4-x1x2<0
∴fx1-fx2<0,∴fx1∴fx在-2,2上为增函数．
(3)
若ft+1-f2t-1>0，则ft+1>f2t-1
由(2)知，fx在-2,2上为增函数
∴-2<2t-1则实数t的取值范围是(-12,1)．
【解析】【分析】(1))先求f(1)的值，再求f(f(1))的值即可；(2)利用定义法证明函数的单调性即可；(3)根据题意，由(2)中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果．
19.【答案】解：(1)
要证 a2+b22≥a+b2即证a2+b22≥a+b22，
∵a2+b22-a+b22=2a2+b2-a+b24=a2+b2-2ab4=a-b24≥0，
∴a2+b22≥a+b22，即 a2+b22≥a+b2当且仅当a=b时等号成立．
三元形式： a2+b2+c23≥a+b+c3a>0,b>0,c>0．
(2)
∵a2+b2=c2=16，
由(1) a2+b22≥a+b2a>0,b>0,∴a+b≤2 a2+b22=4 2，
当且仅当a=b=2 2取“=”，又a+b>c=4，a+b+c>8，
所以三角形周长的取值范围8,4 2+4．
【解析】【分析】(1)利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式．
(2)根据基本不等式求得a+b的范围，进而求得三角形周长的取值范围．
20.【答案】解：(1)
由题意：当0≤x≤50时，vx=50；当50≤x≤150时，设vx=ax+b
再由已知得150a+b=050a+b=50，解得a=-12b=75
故函数vx的表达式为vx=50,0≤x<50-12x+75,50≤x≤150．
(2)
依题并由(1)可得fx=50x,0≤x<50-12x2+75x,50≤x≤150,
当0≤x<50时，fx为增函数，∴fx当50≤x≤150时，f(x)max=f75=7522=56252≈2812，
即当x=75时，fx在区间0,150上取得最大值约为2812，
即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．
【解析】【分析】(1)根据已知条件列方程组求得a,b，进而求得vx．
(2)根据函数的单调性以及二次函数的性质求得fx的最大值以及此时对应的x的值．
21.【答案】解：(1)
依题意，fx=ax2-2a+3x+6a∈R的解集是x|x<2或x>3，则a>0，
且x1=2,x2=3是方程ax2-2a+3x+6=0的两个根，
所以a>02+3=2a+3a2×3=6a，解得a=1．
(2)
a=1时，fx≤-m+5x+3+2m在-2≤x≤2有解，
即x2+mx+3-2m≤0在-2,2有解，
法一：因为y=x2+mx+3-2m的开口向上，对称轴x=-m2
①-m2≤-2即m≥4,x=-2时，函数取得最小值4-2m+3-2m=7-4m≤0,∴m≥4．
②-2<-m2<2即-4解得m≥2 7-4或m≤-2 7-4.又-4③当-m2≥2即m≤-4，当x=2时取得最小值，此时4+2m+3-2m=7≤0不成立，
即m无解．
综上，m≥2 7-4．
法二：x2+3+mx-2≤0 在-2,2有解，
当x=2时x2+3+mx-2≤0不成立，
当x≠2时x2+3+mx-2≤0，即m≥x2+32-x在-2,2有解，m≥x2+32-xmin，
令t=2-x,t∈0,4,x2+32-x=t2-4t+7t=t+7t-4≥2 7-4,
当且仅当t=7t即t= 7取“=”，∴x2+32-xmin=2 7-4，∴m≥2 7-4．
【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得a的值．
(2)化简不等式fx≤-m+5x+3+2m，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得m的取值范围．
22.【答案】解：(1)
依题可知F0=0，
当x∈0,3时Fx=fx=2x2+x-1．∀x∈-3,0则-x∈0,3,
∴F-x=2x2-x-1，
∵Fx为奇函数，∴Fx=-F-x=-2x2+x+1，
∴Fx=2x2+x-1,0(2)
①证明：∵当x∈0,3时hx=gxx=2x-1x+1，
∴hx1+x22-hx1+hx22=x1+x2-2x1+x2+1-2x1+x2-1x1+1x2+22
=1x1+1x22-2x1+x2=x1+x22x1x2-2x1+x2=x1+x22-4x1x22x1x2x1+x2=x1-x222x1x2x1+x2≥0，
∴hx1+x22≥hx1+hx22．
②∵当x∈0,3时hx=gxx=2x-1x+1且单调递增，
∴hx在0,+∞上单调递增，
∵m>0,n>0∴m+n>m>0∴hm+n>hm，
即gm+nm+n>gmm，即mgm+n>m+ngm，
同理可得ngm+n>m+ngn，
将上述两个不等式相加可得gm+n>gm+gn．
∴原不等式成立．
【解析】【分析】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题．
(1)根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得Fx的解析式；
(2)①通过差比较法证得不等式成立；
②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立．
1.设全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,B=4,5，则A∪∁UB=( )
A. 1,2,3B. 1,2,3,4,5C. 1,2,4,5D. 2,3,4,5
2.以下选项正确的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若c>a>b>0，则ac-a>bc-bD. 若a>b>c>0，则ab
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知f x-1=-x+ x，则fx的值域是
( )
A. -∞,14B. -∞,0C. -∞,14D. 14,+∞
5.定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1,x2∈0,+∞,x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，且f3=0，则不等式xfx>0的解集是
( )
A. -3,3B. -3,0∪3,+∞
C. -∞,-3∪3,+∞D. -∞,-3∪0,3
6.设函数fx=mx2-x-1m>0，命题“存在1≤x≤2,fx>2”是假命题，则实数m的取值范围是
( )
A. m≥54B. 0
( )
①函数图像关于y轴对称；②函数fx与fx+3的值域相同；
③fx在1,2上有最大值23；④fx的图像恒在直线y=1的下方．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3-3x-a>x2+2x成立，则实数a的取值范围是
( )
A. -374,3B. -3,134C. -374,134D. -3,3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列结论中错误的有( )
A. 集合x∈N0≤x<3的真子集有7个
B. 已知命题p:∀x∈R,x2-x+1≥0，则¬p:∃x0∉R,x02-x0+1<0
C. 函数y= x2-4与函数y= x+2⋅ x-2表示同一个函数
D. 若函数f2x的定义域为0,2，则函数f3x+1的定义域为1,5
10.已知a,b为正实数，则下列说法正确的是
( )
A. a2+2+1 a2+2的最小值为2
B. 若a+b=2则 a+ b的最大值是2．
C. 若2a+b=ab则ab的最小值是8.
D. 若1a+2b=1则2a+b的最大值是8．
11.已知fx是定义在R上的奇函数，gx是定义在R上的偶函数，且fx,gx在-∞,0单调递增，则以下结论正确的是
( )
A. ff1
12.已知函数fx= x,x∈0,212fx-2,x∈2,+∞，则以下结论正确的是
( )
A. 当x∈2,4,fx=12 x-2
B. ∀x1,x2∈0,+∞,fx1-fx2< 2
C. 若fx< 24在t,+∞上恒成立，则t的最小值为6
D. 若关于x的方程2afx2+a+2fx+1=0有三个不同的实数根则a∈-4 2,-2 2．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.不等式3x-12-x≥0的解集为______．
14.已知函数fx=x+2,x≤-1-x2+2x,x>-1，若fa=-3，则实数a的值为______．
15.若函数gx=f3x-9x2是奇函数，且f-1=3，则f1=______．
16.已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则实数m的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设U=R，已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1．
(1)当m=4时，求∁U(A∪B)；
(2)若B≠⌀，且B⊆A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=xx2+4,x∈-2,2．
(1)求ff1的值；
(2)用定义证明函数fx在-2,2上为增函数；
(3)若ft+1-f2t-1>0，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
均值不等式a+b2≥ aba>0,b>0可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为： a2+b22≥a+b2≥ ab≥21a+1ba>0,b>0．
(1)证明不等式： a2+b22≥a+b2.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中 a2+b22≥a+b2a>0,b>0指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数(无需证明)
(2)若一个直角三角形的直角边分别为a,b，斜边c=4，求直角三角形周长l的取值范围．
20.(本小题12分)
福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当50≤x≤150时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．
(1)当0≤x≤150时，求函数vx的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)fx=x⋅vx可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)．
21.(本小题12分)
已知函数fx=ax2-2a+3x+6a∈R
(1)若fx>0的解集是x|x<2或x>3，求实数a的值；
(2)当a=1时，若-2≤x≤2时函数fx≤-m+5x+3+2m有解，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
设函数fx,Fx的定义域分别为I,D，且IÜD.若对于任意x∈I，都有Fx=fx，则称Fx为fx在D上的一个延伸函数．给定函数fx=2x2+x-10
(2)设gx为fx在0,+∞上的任意一个延伸函数，且hx=gxx是0,+∞上的单调函数．
①证明：当x∈0,3时，hx1+x22≥hx1+hx22．
②判断hx在0,3的单调性(直接给出结论即可)；并证明：∀m>0,n>0都有gm+n>gm+gn．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】应用集合的补集和并集的运算即可．
解：依题得∁UB={1,2,3}，则A∪∁UB=1,2,3．
故选：A
2.【答案】C
【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案．
解：A选项，若a>b，如a=1,b=-1，则1a>1b，所以A选项错误．
B选项，若a>b，c=0，则ac2=bc2，所以B选项错误．
C选项，若c>a>b>0，则c-a>0,c-b>0,a-b>0，
则ac-a-bc-b=ac-b-bc-ac-ac-b=a-bcc-ac-b>0，
所以ac-a>bc-b，所以C选项正确．
D选项，若a>b>c>0，则a-b>0，
ab-a+cb+c=ab+c-ba+cbb+c=a-bcbb+c>0，
所以ab>a+cb+c，所以D选项错误．
故选：C
3.【答案】A
【解析】【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
解：函数fx的图象经过点-1,1，则fx=-1α=1，
因为α∈-1,12,1,2,3，所以α=2，所以fx=x2，
所以fx在-∞,0上递减，
而fx在-∞,0上递减，函数fx的图象不一定经过点-1,1，
如：fx=x-1．
所以“函数fx的图象经过点-1,1”是“函数fx在-∞,0上递减”的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考察求函数的值域，属于中档题．
求出函数fx的表达式即可得出值域．
【解答】
解：由题意，
在f x-1=-x+ x中，
设 x-1=t，即x=t+12，
∴ft=-t+12+t+1=-t2-t即fx=-x2-x，x⩾-1
在fx=-x2-x中，-1<0，开口向下，对称轴x=-b2a=--12×-1=-12，
∴fx≤f-12=-122--12=14，
∴fx 的值域是-∞,14,
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据函数单调性的定义知，fx在0,+∞上单调递减，在-∞,0上单调递增，且f3=0，分x>0与x<0两种情况进行求解，得到答案．
解：因为对任意的x1,x2∈0,+∞,x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，
所以fx在0,+∞上单调递减，又fx为定义在R上的偶函数，
所以fx在-∞,0上单调递增，且f-3=f3=0，
当x>0时，由xfx>0得fx>0=f3，故0
综上：不等式xfx>0的解集是-∞,-3∪0,3．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得m的取值范围．
解：由于“存在1≤x≤2,fx>2”是假命题，
所以“任意1≤x≤2，fx≤2”是真命题，
即任意1≤x≤2，mx2-x-1≤2，m≤x+3x2=3x2+1x，
令t=1x∈12,1，y=3t2+t的开口向上，对称轴为t=-16，
所以当t=12，即x=2时，3x2+1x取得最小值为34+12=54，
所以0
7.【答案】D
【解析】【分析】对于①，利用函数奇偶性定义判断出函数为偶函数，①正确；对于②，由两函数图象关系得到值域相同；对于③，变形后，结合对勾函数性质得到最值；对于④，先得到x≥0时，fx=x+1x2+2，换元后结合对勾函数性质得到函数值域，再由函数的奇偶性得到值域为0, 3+14，故④正确．
解：对于①，fx=x+1x2+2的定义域为R，
且f-x=-x+1-x2+2=x+1x2+2=fx，
故fx=x+1x2+2为偶函数，故函数图象关于y轴对称，①正确；
对于②，fx+3是由fx向左平移3个单位得到的，故值域不改变，②正确；
对于④，当x≥0时，fx=x+1x2+2，
令x+1=t≥1，y=tt-12+2=tt2-2t+3=1t+3t-2，
由对勾函数性质可知，gt=t+3t在1, 3上单调递减，在 3,+∞上单调递增，
故gtmin= 3+3 3=2 3，故0
故fx在R上的值域为0, 3+14,
由于 3+14<1，故满足fx的图像恒在直线y=1的下方，④正确；
对于③，因为x∈1,2，则x+1=t∈2,3，
gt=t+3t在2,3上单调递增，
故gt∈g2,g3=3.5,4，
故y=1t+3t-2的值域为12,23，
故fx在1,2上有最大值为23，③正确．
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解．
化简不等式3-3x-a>x2+2x，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a的取值范围．
解：依题意，至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3-3x-a>x2+2x成立，
即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，
画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0．
当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，
由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，
Δ=25+4a+12=0,a=-374．
当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，
由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，
由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，
解得x=12，不符合题意．
当y=-3x+a过0,3时，a=3．
结合图象可知a的取值范围是-374,3．
故选：A
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查集合的子集、真子集及其个数、全称量词命题与存在量词命题的否定、判断两个函数是否为同一函数、抽象函数的定义域，属于基础题．
由集合元素个数与真子集个数间的关系可判断A项；由命题的否定可判断B项；
求出两个函数的定义域可判断C项；根据抽象函数定义域的求法可判断D项．
【解答】
解：对于A项，因为集合{x∈N|0⩽x<3}={0,1,2}，
所以该集合有23-1=7个真子集，所以A项正确；
对于B项，命题p:∀x∈R,x2-x+1⩾0的否定¬p:∃x0∈R,x02-x0+1<0，所以B项错误；
对于C项，由x2-4⩾0得x⩾2或x⩽-2，
所以函数y= x2-4的定义域为(-∞,-2]∪[2,+∞)，
由x+2⩾0x-2⩾0，得x⩾2，所以函数y= x+2⋅ x-2的定义域为[2,+∞),
由于函数y= x2-4与函数y= x+2⋅ x-2定义域不同，
所以不是同一函数，所以C项错误；
对于D项，由于函数f(2x)的定义域为0,2，
所以0⩽2x⩽4，
令0⩽3x+1⩽4得-13⩽x⩽1，
所以函数f(3x+1)的定义域为-13,1，所以D项错误．
故选BCD ．
10.【答案】BC
【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：A选项， a2+2+1 a2+2≥2 a2+2⋅1 a2+2①，
而 a2+2=1 a2+2无实数解，所以①的等式不成立，所以A选项错误．
B选项， a+ b22≤a+b2=1, a+ b≤2，
当且仅当a=b=1时等号成立，所以B选项正确．
C选项，2a+b=ab≥2 2ab,ab-2 2ab= ab ab-2 2≥0，
ab≥2 2,ab≥8，当且仅当2a=b=4时等号成立，所以C选项正确．
D选项，2a+b=2a+b1a+2b=4+ba+4ab≥4+2 ba×4ab=8，
当且仅当ba=4ab,b=2a=4时等号成立，所以D选项错误．
故选：BC
11.【答案】AC
【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案．
解：A选项，fx是奇函数，且在-∞,0单调递增，
则fx在R上单调递增，所以f1
则gx在0,+∞上单调递减，
所以g-1=g1>g2，所以fg-1>fg2，所以B选项错误．
C选项，0=f0
D选项，g1>g2，但符号无法确定，所以gg1,gg2大小关系不确定，
所以D选项错误．
故选：AC
12.【答案】AB
【解析】【分析】根据题意，作出x∈2n,2n+2,n∈N时，fx=12n x-2n的图像，数形结合逐个判断即可．
解：设x∈2,4时，则x-2∈0,2，所以fx-2= x-2，
又fx=12fx-2，所以当x∈2,4时，fx=12 x-2；
当x∈4,6时，则x-2∈2,4，所以fx-2=12 x-4，
又fx=12fx-2，所以当x∈4,6时，fx=14 x-4；
当x∈6,8时，则x-2∈4,6，所以fx-2=12 x-6，
又fx=12fx-2，所以当x∈6,8时，fx=18 x-6；
所以由此可知x∈2n,2n+2,n∈N时，fx=12n x-2n；作出函数fx的部分图象，如下图所示：
则A正确，
由图象可知，fx∈0, 2，所以∀x1，x2∈0,+∞,fx1-fx2< 2，故 B正确；
在同一坐标系中作出函数fx和函数y= 24的图象，如下图所示：
由图象可知，当x∈4,+∞时，fx< 24恒成立，所以t的最小值为4，故C错误；
令t=fx，则t∈0, 2，则方程2afx2+a+2fx+1=0等价于
2at2+a+2t+1=0a∈R，即at+12t+1=0，所以t=-1a，或t=-12(舍去)，
在同一坐标系中作出函数fx，函数y= 24和函数y= 28的图象，如下图所示：
由图象可知，当-1a∈ 28, 24时，即-4 2≤a<-2 2时，
关于x的方程2afx2+a+2fx+1=0a∈R有三个不同的实根，故 D错误．
故选：AB
13.【答案】13,2
【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可得到答案．
解：不等式3x-12-x≥0，等价于3x-12-x≥02-x≠0,
解得13≤x<2，所以不等式的解集为13,2．
故答案为：13,2
14.【答案】-5或3
【解析】【分析】根据fa=-3列方程，从而求得a的值．
解：当a≤-1时，由a+2=-3解得a=-5；
当a>-1时，由a>-1-a2+2a=-3解得a=3．
所以a的值为-5或3．
故答案为：-5或3
15.【答案】-1
【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求
解：函数gx=f3x-9x2是奇函数，
则g(-x)=-g(x)，
当x=-13时，g-13=f-1-1=2，则g13=f(1)-1=-2，
则f(1)=-1．
故答案为：-1
16.【答案】m>0
【解析】【分析】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解．
先求得p为真命题时a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围．
解：若命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”为真命题，
a=0时，2x+1=0,x=-12，符合题意；
当a<0时，Δ=4-4a>0，且x1+x2=-2a>0,x1x2=1a<0，
则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根，符合题意；
当a>0时，由Δ=4-4a=0，解得a=1，
此时方程为x2+2x+1=x+12=0,x=-1符合题意；
由Δ=4-4a>0解得0
则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根，符合题意．
综上所述，p为真命题时，a的取值范围是-∞,1．
若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，
则m+1>1,m>0．
故答案为：m>0
17.【答案】解：(1)当 m=4 时， B=x5≤x≤7 ，且 A=x-2≤x≤5 ，则 A∪B=x-2≤x≤7 ，
所以 ∁UA∪B=xx<-2 或 x>7 ；
(2)因为 B≠⌀ ，且 B⊆A ，所以需满足 m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5 ，解得 2≤m≤3 ，
所以实数m的取值范围为 2,3 ．
【解析】本题考查集合的运算，已知集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题．
(1)根据并集和补集的概念即可求出结果；
(2)由题意可得 m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5 ，解不等式组即可求出结果．
18.【答案】解：(1)
f1=15，f15=5101∴ff1=5101
(2)
证明：任取x1,x2，且-2
∵x12+4>0,x22+4>0,x1-x2<0,4-x1x2<0
∴fx1-fx2<0,∴fx1
(3)
若ft+1-f2t-1>0，则ft+1>f2t-1
由(2)知，fx在-2,2上为增函数
∴-2<2t-1
【解析】【分析】(1))先求f(1)的值，再求f(f(1))的值即可；(2)利用定义法证明函数的单调性即可；(3)根据题意，由(2)中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果．
19.【答案】解：(1)
要证 a2+b22≥a+b2即证a2+b22≥a+b22，
∵a2+b22-a+b22=2a2+b2-a+b24=a2+b2-2ab4=a-b24≥0，
∴a2+b22≥a+b22，即 a2+b22≥a+b2当且仅当a=b时等号成立．
三元形式： a2+b2+c23≥a+b+c3a>0,b>0,c>0．
(2)
∵a2+b2=c2=16，
由(1) a2+b22≥a+b2a>0,b>0,∴a+b≤2 a2+b22=4 2，
当且仅当a=b=2 2取“=”，又a+b>c=4，a+b+c>8，
所以三角形周长的取值范围8,4 2+4．
【解析】【分析】(1)利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式．
(2)根据基本不等式求得a+b的范围，进而求得三角形周长的取值范围．
20.【答案】解：(1)
由题意：当0≤x≤50时，vx=50；当50≤x≤150时，设vx=ax+b
再由已知得150a+b=050a+b=50，解得a=-12b=75
故函数vx的表达式为vx=50,0≤x<50-12x+75,50≤x≤150．
(2)
依题并由(1)可得fx=50x,0≤x<50-12x2+75x,50≤x≤150,
当0≤x<50时，fx为增函数，∴fx
即当x=75时，fx在区间0,150上取得最大值约为2812，
即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．
【解析】【分析】(1)根据已知条件列方程组求得a,b，进而求得vx．
(2)根据函数的单调性以及二次函数的性质求得fx的最大值以及此时对应的x的值．
21.【答案】解：(1)
依题意，fx=ax2-2a+3x+6a∈R的解集是x|x<2或x>3，则a>0，
且x1=2,x2=3是方程ax2-2a+3x+6=0的两个根，
所以a>02+3=2a+3a2×3=6a，解得a=1．
(2)
a=1时，fx≤-m+5x+3+2m在-2≤x≤2有解，
即x2+mx+3-2m≤0在-2,2有解，
法一：因为y=x2+mx+3-2m的开口向上，对称轴x=-m2
①-m2≤-2即m≥4,x=-2时，函数取得最小值4-2m+3-2m=7-4m≤0,∴m≥4．
②-2<-m2<2即-4
即m无解．
综上，m≥2 7-4．
法二：x2+3+mx-2≤0 在-2,2有解，
当x=2时x2+3+mx-2≤0不成立，
当x≠2时x2+3+mx-2≤0，即m≥x2+32-x在-2,2有解，m≥x2+32-xmin，
令t=2-x,t∈0,4,x2+32-x=t2-4t+7t=t+7t-4≥2 7-4,
当且仅当t=7t即t= 7取“=”，∴x2+32-xmin=2 7-4，∴m≥2 7-4．
【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得a的值．
(2)化简不等式fx≤-m+5x+3+2m，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得m的取值范围．
22.【答案】解：(1)
依题可知F0=0，
当x∈0,3时Fx=fx=2x2+x-1．∀x∈-3,0则-x∈0,3,
∴F-x=2x2-x-1，
∵Fx为奇函数，∴Fx=-F-x=-2x2+x+1，
∴Fx=2x2+x-1,0
①证明：∵当x∈0,3时hx=gxx=2x-1x+1，
∴hx1+x22-hx1+hx22=x1+x2-2x1+x2+1-2x1+x2-1x1+1x2+22
=1x1+1x22-2x1+x2=x1+x22x1x2-2x1+x2=x1+x22-4x1x22x1x2x1+x2=x1-x222x1x2x1+x2≥0，
∴hx1+x22≥hx1+hx22．
②∵当x∈0,3时hx=gxx=2x-1x+1且单调递增，
∴hx在0,+∞上单调递增，
∵m>0,n>0∴m+n>m>0∴hm+n>hm，
即gm+nm+n>gmm，即mgm+n>m+ngm，
同理可得ngm+n>m+ngn，
将上述两个不等式相加可得gm+n>gm+gn．
∴原不等式成立．
【解析】【分析】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题．
(1)根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得Fx的解析式；
(2)①通过差比较法证得不等式成立；
②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立．
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