2023-2024学年河北省沧衡八校联盟高一上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧衡八校联盟高一上学期期中数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了若m≥1，则等内容，欢迎下载使用。

A. -∞,3B. 0,3C. 0,1D. 3,4
2.函数fx= 4x-40 的定义域为
( )
A. -∞,10B. -10,10C. 10,+∞D. 10,+∞
3.已知a∈N*，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的
( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为( )
A. 9B. 7C. 13D. 6
5.已知函数fx的对应关系如下表，函数gx的图象如下图所示，则fg0=( )
A. 2B. 6C. 9D. 0
6.已知a>0,b>1,ab-a=1，则a+b的最小值为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
7.已知fx=2-ax+1,x≤-1,ax2+4x+3,x>-1是定义在R上的增函数，则a的取值范围为
( )
A. 0,2B. 0,2C. -∞,2D. 0,2
8.函数fx=x3+2 8-x3的值域为
( )
A. -∞,4 2B. -40,9C. -∞,9D. -∞,8
9.若m≥1，则
( )
A. 1-m≤0B. m3≥1C. m2≤mD. m-1>0
10.已知函数fx=xa-aa∈R的图象可能为
( )
A. B. C. D.
11.位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2v1≠v2，小刚上山和下山的速度都是v1+v22，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则
( )
A. 小明上山和下山所用时间之和为4Lv1+v2
B. 小刚上山和下山所用时间之和为Lv1+v2v1v2
C. 小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少
D. 小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少
12.符号x表示不超过x的最大整数，例如π=3,-2.1=-3，若t=x+32-x2，则t的可能取值为
( )
A. 0B. 1C. 2D. -1
13.“∀x∈0,1,x2> 3”的否定为______．
14.若关于x的不等式16x2-ax+b<0的解集为14,34，则ab=______．
15.定义在R上的奇函数fx满足f1+4x-f1-4x=8x，则f2= ，f4= ．
16.已知函数fx=x2-2ax+4017.已知集合A=x1(1)若m=3，求A∪∁RB；
(2)若A∩B=⌀，求m的取值范围．
18.已知fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2-12x+12．
(1)当x<0时，求fx的解析式；
(2)求fx的单调递减区间．
19.已知幂函数fx=3m2-m+1x9m-2的图象不经过原点．
(1)求m的值；
(2)若a≠0，试比较fa与fa2+1的大小．
20.已知m>0,n>0,m+n=1．
(1)求2m+nm+14n的最小值；
(2)已知a,b∈R，证明：ma+nbna+mb≥ab．
21.某厂家生产并销售某产品，设该产品的产量为xx∈N*件，则每件产品的生产成本为φxx万元，生产该产品的月固定成本为400万元．已知每件该产品的售价为10万元，且该厂家生产的该产品均可售完．当月产量低于600件时，φx=1200x2+6x万元；当月产量不低于600件时，φx=1001100x+4900x-1000万元．
(1)求月利润gx(万元)关于月产量xx∈N*(件)的函数关系式．
(2)当月产量为多少件时，该厂家能获得最大月利润？并求出最大月利润(单位：万元)．
22.已知定义在0,+∞上的函数fx=ax2x+2-2．
(1)若a=1，求方程fx+1=0的解；
(2)若a=1，试判断fx在0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若a>0，集合A=xx=3m+1,m∈Z，且集合B=x∈Afx<0恰有16个子集，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可．
解：因为 M=x0故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】根据根号下大于等于零，建立不等式，解出即可．
解：由 4x-40≥0 ，解得 x≥10 ，故 fx 的定义域为 10,+∞ ．
故选： D ．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据命题的充分性与必要性判断原则即可得出正确答案．
解：若正整数 a 与8的最小公倍数是24，则 a 的可能取值为 3,6,12,24 ，故“ a=3 ”是“ a 与8的最小公倍数是24”的充分不必要条件．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】利用集合交集的性质进行运算．
解：设两个社团都参加的学生人数为 x ，则 22+16=29+x ，解得 x=9 ．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据函数图象求得 g0=4 ，再根据对应关系表即可求解 fg0 的值．
解：由图可知 g0=4 ，
由表格可知 fg0=f4=9 ．
故选： C.
6.【答案】C
【解析】【分析】确定 ab-1=1 ，根据均值不等式 a+b-1≥2 ab-1 得到答案．
解：因为 b>1 ，所以 b-1>0 .因为 ab-a=ab-1=1 ，所以 a+b-1≥2 ab-1=2 ，
当且仅当 a=b-1 ，即 a=1,b=2 时，等号成立，
故 a+b 的最小值为3．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】分 a=0 和 a≠0 两种情况，利用分段函数的单调性得不等关系求解即可．
解：当 a=0 时，函数 y=2x+1 在 -∞,-1 上单调递增， y=4x+3 在 -1,+∞ 上单调递增，
且 2×-1+1≤4×-1+3 ，符合题意；
当 a≠0 时，由 2-a>0a>0-2a≤-12-a×-1+1≤a-4+3 ，解得 0故 a 的取值范围为 0,2 ．
故选：D
8.【答案】C
【解析】【分析】根据换元法以及二次函数的性质求解结果．
解：令 t= 8-x3 ，则 t≥0,x3=8-t2 ．
设函数 gt=8-t2+2t=-t-12+9 ，当 t=1 时， gt 取最大值9．
因为 t≥0 ，所以 gt≤9 ．
函数 fx 的值域为 -∞,9 ．
故选：C．
9.【答案】AB
【解析】【分析】由不等式的基本性质逐一判断各选项即可．
解：对于A，因为 m≥1 ，所以 -m≤-1,1-m≤0 ，故A正确．
对于B，由不等式的乘方性质可得 m3≥1 ，故B正确．
对于C，当 m=2 时， m2>m ，故C错误．
对于D，当 m=1 时， m-1=0 ，故D错误．
故选：AB．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】AD选项，可以看出 a<0 ，从而得到 fx=xa-a>0 在 0,+∞ 上恒成立，A错误，D正确；B选项，当 a=2 时满足要求；C选项，当 a=3 时满足要求．
解：AD选项，可以看出函数为偶函数，且在 0,+∞ 上单调递减，
故 a<0 ，此时 -a>0,fx=xa-a>0 在 0,+∞ 上恒成立，A错误，D正确．
当 a=-2 时， fx=x-2+2 ，选项D符合．
当 a>0 时， -a<0,fx 的定义域为 R ，
B选项，可以看出 a>0 且 a 为偶数，当 a=2 时， fx=x2-2 满足要求，选项B正确．
C选项，当 a=3 时， fx=x3-3 满足，选项C正确．
故选：BCD
11.【答案】BD
【解析】【分析】根据路程与速度的关系表示时间并结合基本不等式比较大小，逐一判断各选项即可．
解：对于A，小明上山和下山所用时间之和为 Lv1+Lv2=Lv1+v2v1v2 ，故A错误；
对于B，小刚上山和下山所用时间之和为 2Lv1+v22=4Lv1+v2 ，故B正确．
对于C、D，因为 v1≠v2 ，所以 Lv1+v2v1v2>2L v1v2v1v2=2L v1v2,4Lv1+v2<4L2 v1v2=2L v1v2 ，
所以 Lv1+v2v1v2>4Lv1+v2 ，所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少．故C错误，D正确．
故选：BD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】设 m 表示整数，分 x=2m 、 x=2m+1 、 2m解：设 m 表示整数．
①当 x=2m 时， x+32=m+1.5=m+1,x2=m=m ，则 t=1 ．
②当 x=2m+1 时， x+32=m+2=m+2,x2=m+0.5=m ，则 t=2 ．
③当 2m则 m④当 2m+1则 m+0.5综上， t∈1,2 ．
故选：BC．
13.【答案】∃x∈0,1,x2≤ 3
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定写出答案．
解：根据全称量词命题的否定得 ∃x∈0,1,x2≤ 3 ．
故答案为： ∃x∈0,1,x2≤ 3 ．
14.【答案】48
【解析】【分析】根据题意可得 x1=14,x2=34 为方程 16x2-ax+b=0 的两根，再根据韦达定理求解即可．
解：根据题意可得 x1=14,x2=34 为方程 16x2-ax+b=0 的两根，
则 14+34=a16,14×34=b16.
解得 a=16,b=3.
所以 ab=48 ．
故答案为：48．
15.【答案】2；4
【解析】【分析】根据奇函数的定义结合赋值法计算得出结果．
解：由 f1+4x-f1-4x=8x ，得 f1+x-f1-x=2x ．
因为 fx 为奇函数，所以 f1+x+fx-1=2x,f0=0 ，
则 fx+2+fx=2x+2 ．
令 x=0 ，得 f2-f0=2 ，则 f2=2 ．
令 x=2 ，得 f4+f2=6 ，则 f4=4 ．
故答案为：2；4．
16.【答案】0,2 55
【解析】【分析】根据三角形三边性质可知两边之和大于第三遍，所以 fxmax≤2fxmin ，且 fxmin>0 ．
解：由题意可得 fxmin=fa=4-a2 ， fxmax则 a>04-a2>03a2+4≤24-a2 ，
解得 0故答案为： 0,2 55 ．
17.【答案】解：(1)当 m=3 时， A=x1因为 B=xx>2 ，所以 ∁RB=xx≤2 ，
所以 A∪∁RB=-∞,3 ．
(2)当 A=⌀ 时， m≤1 ．
当 A≠⌀ 时， A=x12 ，
若 A∩B=⌀ 则 m>1m≤2 得 1综上， m 的取值范围为 -∞,2 ．

【解析】【分析】(1)根据集合的并补运算求解即可．
(2)根据集合的交集为空集，求解参数 m 的取值范围．
18.【答案】解：(1)因为 fx 是定义在 R 上的偶函数，所以 f-x=fx ．
因为当 x≥0 时， fx=x2-12x+12 ，所以当 x<0 时， -x>0 ，
fx=f-x=-x2-12-x+12=x2+12x+12 ．
(2)当 x≥0 时， fx=x2-12x+12=x-62-24,fx 在 0,6 上单调递减；
当 x<0 时， fx=x2+12x+12=x+62-24,fx 在 -∞,-6 上单调递减．
综上， fx 的单调递减区间为 -∞,-6,0,6 ．

【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义进行求解；
(2)根据二次函数的性质在 x≥0 ， x<0 时分别求函数的单调区间．
19.【答案】解：(1)因为 fx 是幂函数，所以 3m2-m+1=1 ，解得 m=0 或 m=13 ．
当 m=0 时， fx=x-2 的图象不经过原点，符合题意，
当 m=13 时， fx=x 的图象经过原点，不符合题意，
所以 m=0 ．
(2)由(1)得 fx=x-2 ，易得 fx 在 0,+∞ 上单调递减．
当 a>0 时，由 a2+1-a=a-122+34>0 ，可得 a2+1>a>0 ．
因为 fx 在 0,+∞ 上为减函数，所以 fa2+1当 a<0 时， -a>0 ，由 a2+1--a=a+122+34>0 ，可得 a2+1>-a>0 ．
因为 f-a=(-a)-2=a-2=fa ，且 fx 在 0,+∞ 上为减函数，
所以 fa2+1综上， fa2+1
【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义以及性质进行求解；
(2)分成 a>0 ， a<0 两种情况，再结合幂函数的单调性得出结果．
20.【答案】解：(1)因为 m>0,n>0,m+n=1 ，
所以 2m+nm+14n=m+1m+14n=1+1m+14n ．
因为 1m+14n=1m+14nm+n=14+1+nm+m4n≥54+2 nm⋅m4n=94 ，
当且仅当 nm=m4n ，即 m=23,n=13 时，等号成立．
故 2m+nm+14n 的最小值为 134 ．
(2)ma+nbna+mb=mna2+abm2+abn2+mnb2=mna2+b2+abm2+n2.
因为 a2+b2≥2ab,m>0,n>0 ，所以
mna2+b2+abm2+n2≥2abmn+abm2+n2=abm2+2mn+n2=abm+n2 ，
当且仅当 a=b 时，等号成立．
因为 m+n=1 ，所以 ma+nbna+mb≥ab ．

【解析】【分析】(1)根据基本不等式“1”的妙用得出结果；
(2)利用重要不等式以及“1”的妙用得出结果．
21.【答案】解：(1)根据题意可得当产量为 xx∈N* 件时，生产总成本为 x⋅φxx+400=φx+400 万元．
当 0当 x≥600 时， gx=10x-1001100x+4900x-1000-400=600-1100x+4900x ．
综上， gx=-1200x2+4x-400,0(2)当 0当 x=400 时， gx 取最大值，最大值为400万元；
当 x≥600 时， gx=600-1100x+4900x≤600-2 1100x⋅4900x=586 ，
当且仅当 1100x=4900x ，即 x=700 时，等号成立．
故当月产量为700件时，该厂家能获得最大月利润，最大月利润为586万元．

【解析】【分析】(1)分 0(2)当 022.【答案】解：(1)令 fx+1=0 ，得 x2x+2-2+1=0 ，即 x2=x+2 ，解得 x=-1 或2．
因为 fx 的定义域为 0,+∞ ，所以方程 fx+1=0 的解为 x=2 ．
(2)fx 在 0,+∞ 上单调递增．
任取 x1,x2∈0,+∞ ，且 x1因为 00,x1+2>0,x2+2>0 ，
所以 fx1-fx2<0 ，即 fx1(3)不等式 fx<0 即 ax2x+2-2<0 ，得 ax2-2x-4<0 ．
因为 Δ=4+16a>0 ，所以方程 ax2-2x-4=0 的两根为 x1=1- 1+4aa,x2=1+ 1+4aa ．
因为 a>0 ，所以 1+4a>1 ，所以 1- 1+4aa<0 ，
则不等式 fx<0 的解集为 0,1+ 1+4aa ．
因为集合 B 恰有16个子集，所以集合 B 中有4个元素，分别为 1,4,7,10 ，
则 10<1+ 1+4aa≤13 ，即 10a-1< 1+4a≤13a-1 ，
由 13a-1>1 得 a>213 ，所以 10a-1>0 ，
将 10a-1< 1+4a≤13a-1 两边平方得 10a-12<1+4a≤13a-12 ，
由 10a-12<1+4a 整理得 25a2-6a<0 ，解得 0解得 30169≤a<625 ，即 a 的取值范围为 30169,625 ．

【解析】【分析】(1)令 fx+1=0 ，结合定义域解一元二次不等式即可；
(2)根据单调性的定义以及证明步骤进行证明即可；
(3)结合函数的定义域解不等式 fx<0 ，再根据子集个数确定根的范围，再解一元二次不等式组得出结果．
x
0
1
4
fx
2
6
9