2023-2024学年江苏省徐州市第一中学高二上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市第一中学高二上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x+ 3y+1=0的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.通过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于
．( )
A. 2 3B. 3C. 3D. 6
3.双曲线x24-y2=1的焦点到渐近线的距离为( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
4.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=( )
A. 303B. 6C. 12D. 7 3
5.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象.上下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20 10米，上底面直径CD=20 2米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为( )
A. 20米B. 10 5米C. 10 3米D. 10米
6.若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为( )
A. 12或2B. 34或43C. 2D. 43
7.已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为
( )
A. 2x-y-1=0B. 2x+y-1=0C. 2x-y+1=0D. 2x+y+1=0
8.已知F-c,0是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，直线y=x+c与该椭圆相交于M,N两点，O是坐标原点，P是线段OF的中点，线段MN的中垂线与x轴的交点在线段PF上．该椭圆离心率的取值范围是
( )
A. 63,1B. 22,1C. 0, 63D. 22, 63
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知a为实数，若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y-10=0和2x-y-10=0不能围成三角形，则a的值为( )
A. 83B. 1C. -1D. -4
10.若方程x22-t-y21-t=1所表示的曲线为C，则下列命题正确的是
( )
A. 若曲线C为双曲线，则t<1或t>2
B. 若曲线C为椭圆，则1C. 曲线C可能是圆
D. 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则111.如图，已知椭圆x24+y22=1的左､右顶点分别是A1,A2，上顶点为B1，在椭圆上任取一点C，连结A1C交直线x=2于点P，连结A2C交OP于点M(O是坐标原点)，则下列结论正确的是( )
A. kCA1kCA2为定值B. kA1P=12kOP
C. OP⊥A2CD. MB1的最大值为 6
12.已知抛物线C:y2=4x，过点P(2,0)的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有
( )
A. 若直线l的斜率为2，则△OAB的面积为12
B. |AB|的最小值为4 2
C. 1|PA|+1|PB|= 24
D. 若M(-2,0)，则|MA|MB=PAPB
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知Sn为等差数列an的前n项和，且满足a2=4，S4=22，则S8=_______．
14.已知直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k= ．
15.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为 ．
16.若正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两个顶点在抛物线y=x2上.则该正方形面积的最小值为________________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5=a4+7且a1+a10=20．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求满足不等式Sn<3an-2的n的值．
18.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|=2|PO|的点P的轨迹方程．
19.(本小题12分)
若椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0过抛物线x2=4y的焦点，且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线l:y=x+m与椭圆E交于A，B两点，当▵OAB的面积为 32时，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px (p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B，且|AB|=4
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不经过坐标原点O的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON.证明直线l过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标．
21.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求k1k2的值．
22.(本小题12分)
已知如图椭圆C1:x24+y2=1的左右顶点为A1、A2，上下顶点为B1、B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2．
(1)求圆C2的标准方程；
(2)已知P为椭圆C1上任意一点，过点P作圆C2的切线分别交椭圆C1于M、N两点，试求三角形PMN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．
把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
【解答】
解：直线x+ 3y+1=0即y=- 33x- 33，
故直线的斜率等于- 33，
设直线的倾斜角等于α，
则0≤α<π，且tanα=- 33，
故α=150°，
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质及弦长，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意可得直线方程，从而即可得到直线l被此椭圆截得的弦长．
【解答】
解：∵椭圆x24+y23=1，即a2=4,b2=3，
∴c2=a2-b2=1，
∴焦点为(±1,0)，
又∵直线l过焦点且垂直于x轴，即直线l的方程为x=±1，
∴(±1)24+y23=1，解得y=±32，
∴直线l被此椭圆截得的弦长为2y=2×32=3，
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．
分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．
【解答】
解：双曲线中，
焦点坐标为(± 5,0)，
渐近线方程为：y=±12x，
∴双曲线x24-y2=1的焦点到渐近线的距离：
d=|± 5| 1+4=1．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，属于中档题．
求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
【解答】
解：由y2=3x得其焦点F(34,0)，准线方程为x=-34，
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为：
y=tan30°(x-34)= 33(x-34)，
代入抛物线方程，消去y，得16x2-168x+9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=16816=212，
所以|AB|=x1+34+x2+34
=34+34+212=12．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的应用，双曲线标准方程的求法，属于中档题．
由题意建立平面直角坐标系，写出点C和点B的坐标，用待定系数法求出双曲线的方程，最细部分处的直径是2a，即可求解．
【解答】
解：如图所示：以最细的部分EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则由题意可知OG=20，
所以点C的坐标为10 2,20，点B的坐标为10 10,-60
设双曲线方程为x2a2-y2b2=1，
则10 22a2-202b2=110 102a2-602b2=1，解得：a=10b=20．
EF=2a=20．
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识．
圆x2+y2-2x-6y+1=0的圆心C(1,3)，半径r=3，由圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，得到圆心C(1,3)到直线y=kx的距离为1，由此能出k的值．
【解答】
解：圆x2+y2-2x-6y+1=0的圆心C(1,3)，
半径r=12 4+36-4=3，
∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，
∴圆心C(1,3)到直线y=kx的距离为1，
即d=|k-3| k2+1=1，
解得k=43．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，属于拔高题．
由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得S四边形PAMB=12|PM|⋅|AB|=2 |PM|2-4，说明要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【解答】
解：化圆M为(x-1)2+(y-1)2=4，
圆心M(1,1)，半径r=2．
∵S四边形PAMB=12|PM|⋅|AB|=2S△PAM=|PA|⋅|AM|=2|PA|=2 |PM|2-4，
∴要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
直线PM的方程为y-1=12(x-1)，即y=12x+12，
联立y=12x+122x+y+2=0，解得P(-1,0)．
则以PM为直径的圆的方程为x2+(y-12)2=54．
联立x2+y2-2x-2y-2=0x2+y2-y-1=0，
可得直线AB的方程为2x+y+1=0．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
(1)根据已知条件，求解得到 a,c 的值或取值范围，由 e=ca 求得结果；
(2)根据已知的等量关系或不等关系，构造关于 a,c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率 e ，从而得到结果．
设 MN 的中点为 B ， MN 中垂线与 x 轴交于点 A ，将 y=x+c 代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出 B 点坐标，由此可得直线 AB 方程，求得 A 点坐标，由 A 在线段 PF 上可构造 a,c 的齐次不等式求得结果．
解：设 MN 的中点为 B ， MN 中垂线与 x 轴交于点 A ，
设 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，
由 y=x+cx2a2+y2b2=1 得： a2+b2x2+2a2cx+a2c2-b2=0 ，
∴x1+x2=-2a2ca2+b2 ， ∴y1+y2=x1+x2+2c=-2a2ca2+b2+2c=2b2ca2+b2 ，
∴B-a2ca2+b2,b2ca2+b2 ，
∵AB⊥MN ， ∴kAB=-1 ， ∴ 直线 AB 方程为： y-b2ca2+b2=-x+a2ca2+b2 ，
令 y=0 ，解得： x=-c3a2+b2 ，即 A-c3a2+b2,0 ，
∵A 在线段 PF 上， ∴-c≤-c3a2+b2≤-c2 ，整理可得： 2a2≤3c22c2≤2a2 ，即 e2≥23e2≤1 ，
又椭圆离心率 e∈0,1 ， ∴ 63≤e<1 ，即椭圆离心率的取值范围为 63,1 ．
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查平面内两直线位置关系，属于中档题．
对三条直线的位置关系进行分类讨论，利用两直线平行的条件和直线的交点坐标的求法进行求解即可．
【解答】
解：当直线ax+2y+8=0，4x+3y-10=0平行时，
3a=4×2⇒a=83;
当直线ax+2y+8=0，2x-y-10=0平行时，
-a=2×2⇒a=-4
当三条直线ax+2y+8=0，4x+3y-10=0和2x-y-10=0中没有任何两条平行，
由它们不能构成三角形
∴直线ax+2y+8=0经过4x+3y=10和2x-y-10=0的交点．
联立方程组4x+3y=102x-y-10=0，解得x=4y=-2,
把(4,-2)代入ax+2y+8=0，得实数a=-1．
故选ACD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】利用方程表示双曲线求解 t 的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解 t 可判断B；方程是否表示圆可判断C；方程表示焦点在 x 轴上的椭圆求解 t 可判断D．
解：对于A，方程表示双曲线，则 2-t1-t>0 ，解得 t<1 或 t>2 ，故A正确；
对于B，方程表示椭圆，则 2-t>0t-1>02-t≠t-1 ，解得 1对于C，当 t=32 时，方程表示圆，故C正确；
对于D，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 2-t>t-1>0 ，解得 1故选：ACD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点 C 的坐标为 (2csθ, 2sinθ) ， θ∈[0,2π] ，然后求出直线 CA1,CA2 的斜率，直线 CA1 的方程，从而可求出点 P,M 的坐标，再分析判断即可，属于中档题设点 C 的坐标为 (2csθ, 2sinθ) ， θ∈[0,2π] ，而 A1(-2,0),A2(2,0) ，从而可求出直线 CA1,CA2 的斜率，进而可得直线 CA1 的方程，令 x=2 ，求出 y 的值，可得点 P 的坐标，然后可求出 OP 的斜率，进而可对选项A，B，C进行判断，求出直线 OP ， A2C 的方程，两方程联立可求出点 M 的坐标，从而可表示出 MB1 的长，进而可判断其最值
解：椭圆的左右顶点分别 A1(-2,0),A2(2,0) ，
因为点 C 在椭圆上，所以设点 C 的坐标为 (2csθ, 2sinθ) ， θ∈[0,2π] ，
对于A， kCA1kCA2= 2sinθ2csθ+2⋅ 2sinθ2csθ-2=2sin2θ4cs2θ-4=sin2θ-2sin2θ=-12 ，所以A正确；
对于B，因为 kA1P=kCA1= 2sinθ2csθ+2 ，
所以直线 AP 为 y= 2sinθ2csθ+2x+2 2sinθ2csθ+2 ，令 x=2 ，得 y=2 2sinθcsθ+1 ，所以点 P 的坐标为 (2,2 2sinθcsθ+1) ，所以 kOP= 2sinθcsθ+1 ，所以 kA1P=12kOP ，所以B正确；
对于C，因为 kCA2= 2sinθ2csθ-2 ，所以 kCA2⋅kOP= 2sinθ2csθ-2⋅ 2sinθcsθ+1=2sin2θ2(cs2θ-1)=-1 ，所以 OP⊥A2C ，所以C正确；
对于D，直线 OP 为 y= 2sinθcsθ+1x ，直线 A2C 为 y= 2sinθ2csθ-2x-2 2sinθ2csθ-2 ，
由两直线的方程联立方程组，解得 x=2(csθ+1)3-csθ,y=2 2sinθ3-csθ ，
所以点 M 的坐标为 2(csθ+1)3-csθ,2 2sinθ3-csθ ，
因为 B1(0, 2) ，
所以 MB12=4(csθ+1)2(3-csθ)2+2 2sinθ3-csθ- 22
当 csθ=45,sinθ=-35 时，
MB12=4(45+1)2(3-45)2+-2 2×353-45- 22=902121>7
所以 MB1 的最大值为 6 错误，
故选：ABC
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长问题、面积问题，属于较难题．
对于A，由题意得直线l的方程为y=2(x-2)，联立抛物线方程，得根与系数的关系，根据三角形面积公式即可求解判断；对于BCD，设直线l的方程为x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立抛物线方程得y1+y2=4m，y1y2=-8，利用弦长公式即可判断B；利用两点距离公式即可判断C；求解kAM+kBM=0，得∠AMP=∠BMP，即可判断D．
【解答】
解：若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y=2(x-2)，即x=y2+2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=y2+2y2=4x，得y2-2y-8=0，所以y1+y2=2，y1y2=-8，
所以△OAB的面积S=12|PO||y1-y2|=|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=6，故A错误;
由题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=my+2y2=4x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8，
所以|AB|= (1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
= (1+m2)(16m2+32)=4 m4+3m2+2=4 (m2+32)2-14≥4 2，
当且仅当m=0时等号成立，故B正确;
|AP|= (x1-2)2+y12= [(my1+2)-2]2+y12= 1+m2|y1|，
同理可得|BP|= 1+m2|y2|，
则1|AP|+1|BP|=1 m2+1|y1|+1 m2+1|y2|=|y2|+|y1| m2+1|y1y2|
=y1-y28 m2+1= 16m2+328 m2+1= m2+22 m2+1≠ 24，故C错误;
kAM+kBM=y1x1+2+y2x2+2=y1(x2+2)+y2(x1+2)(x1+2)(x2+2)=y1(my2+4)+y2(my1+4)(x1+2)(x2+2)=2my1y2+4(y1+y2)(x1+2)(x2+2)
=2m×(-8)+4×4m(x1+2)(x2+2)=0，
所以∠AMP=∠BMP，所以|MA||MB|=|PA||PB|，故D正确．
故选BD．
13.【答案】92
【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列 an 的首项和公差，从而求得 S8 ．
解：设等差数列 an 的公差为 d ，
则 a2=a1+d=4S4=4a1+6d=22 ， a1=1d=3 ，
所以 S8=8a1+28d=92 ．
故答案为： 92
14.【答案】43或0
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，属于中档题．
利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式即求．
【解答】
解：由(x-1)2+(y-1)2=4可知圆心为C1,1，半径为2，
设直线与圆交于A、B两点，又直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，
∴∠ACB=120∘，∴圆心到直线的距离为半径的一半，∴2k-1 1+k2=1，解得k=0或k=43．
故答案为：0或43．
15.【答案】±1
【解析】【分析】
本题主要考察双曲线渐近线斜率，属于中档题．
求得A1(-a,0)，A2(a,0)，B(c,b2a)，C(c,-b2a)，利用A1B⊥A2C，可得
A1B⋅A2C=0，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率．
【解答】
解： 不妨令点B在x轴上方，
因为BC过右焦点F(c,0)，且垂直于x轴，
所以可求得B，C两点的坐标分别为(c,b2a),(c,-b2a)，
又A1，A2的坐标分别为(-a,0)，(a,0)，
所以A1B=(c+a,b2a),A2C=(c-a,-b2a)．
因为A1B⊥A2C，所以A1B⋅A2C=0，
即(c+a)(c-a)-b2a⋅b2a=0，
即c2-a2-b4a2=0，所以b2-b4a2=0，
故b2a2=1，即ba=1，
又双曲线的渐近线的斜率为±ba，
故该双曲线的渐近线的斜率为±1．
故答案为±1．
16.【答案】80
【解析】【分析】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.位于抛物线上的两个顶点坐标为 C(x1,y1) 、 D(x2,y2) ，则CD所在直线 l 的方程 y=2x+b, 联立直线和抛物线得到横坐标， x1,2=1± b+1 ，由点点距公式得到 a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=20(b+1), 根据点线距离公式得到 a=17+b 5 ，联立两式得到a的最值，进而得到面积最值．
解：设正方形的边AB在直线 y=2x-17 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C(x1,y1) 、 D(x2,y2) ，则CD所在直线 l 的方程 y=2x+b, 将直线 l 的方程与抛物线方程联立，得 x2=2x+b⇒x1,2=1± b+1.
令正方形边长为 a, 则 a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1). ①
在 y=2x-17 上任取一点(6,,5)，它到直线 y=2x+b 的距离为 a,∴a=17+b 5 ②．
联立两式解得 b1=3,b2=63.∴a2=80，或 a2=1280.∴amin2=80.
故答案为80．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，
由a3+a5=a4+7，得2a1+6d=a1+3d+7①．
由a1+a10=20，得2a1+9d=20②，
由①②解得a1=1，d=2，
所以an=a1+(n-1)d=2n-1；
(2)因为a1=1，an=2n-1，所以Sn=a1+an2·n=n2，
由不等式Sn<3an-2，得n2<3(2n-1)-2，
所以n2-6n+5<0，解得1因为n∈N*，所以n的值为2，3，4．
【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和不等式的解法，化简运算能力，属于基础题．
(1)设数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程组可得首项和公差，可得所求通项公式；
(2)运用等差数列的求和公式求得Sn，再由二次不等式的解法，可得所求n的值．
18.【答案】解：(1)圆C：x2+y2+2x-4y+m=0可化为(x+1)2+(y-2)2=5-m，
所以圆C的圆心坐标为(-1,2)．
又圆C与y轴相切，所以 5-m=1，即m=4，故圆C的半径为1．
(2)设P(x,y)，则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-1，|PO|2=x2+y2．
由于|PM|=2|PO|，则(x+1)2+(y-2)2-1=4(x2+y2)，整理得点P的轨迹方程为(x-13)2+(y+23)2=179．

【解析】本题主要考查圆的一般方程，与圆有关的轨迹问题，属于中档题．
(1)将圆的一般式方程化为标准方程，然后分析求解即可得到半径．
(2)设出P点坐标，根据题意分析求出长度，列出等式关系化简即可．
19.【答案】解：(1)抛物线 x2=4y 的焦点为 0,1 ，双曲线 x2-y2=1 的焦点为 - 2,0 或 2,0 ，
依题意可得 b=1c= 2 ，又 c2=a2-b2 ，所以 a2=3 ，
所以椭圆方程为 x23+y2=1 ；
(2)根据题意，设点 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
联立直线方程与椭圆方程可得， x2+3y2=3y=x+m ，
消去 y 得4x2+6mx+3m2-3=0 ，即得 x1+x2=-3m2 ， x1x2=3m2-34 ，
由弦长公式可得 AB= 2× -3m22-4×3m2-34= 22 12-3m2 ，
由点到直线距离公式可得，点 O 到直线 AB 的距离即为， d=m 1+1= 22m ，
所以 S▵OAB=12⋅d⋅AB=12× 22×m× 22× 12-3m2=14× -3m2-22+12= 32 ，
当且仅当 m2=2 ，即 m=± 2 时， ▵OAB 面积为 32 ，
此时直线 l 的方程为 y=x± 2 ．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中三角形的面积，考查点到直线的距离，属于中档题．
(1)根据所给的条件，即可求出椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出m．
20.【答案】解：(1)由已知A，B两点所在的直线方程为 x=p2.
则 AB=2p=4 ，故 p=2 ．
∴ 抛物线C的方程为 y2=4x ．
(2)由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为 x=my+nn≠0 ， Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，
联立 x=my+ny2=4x ，消去x，得 y2-4my-4n=0 ．
∴Δ=16m2+16n>0 ， y1+y2=4m ， y1y2=-4n ，
∵OM⊥ON ， ∴x1x2+y1y2=0 ，
又 y12=4x1 ， y22=4x2 ，
∴x1x2=y12y2216
∴x1x2+y1y2=y12y2216+y1y2=n2-4n=0 ，
解得 n=0 或 n=4. 而 n≠0 ，
∴n=4( 此时 Δ=16m2+64>0)
∴ 直线l的方程为 x=my+4 ，
故直线l过定点 Q4,0 ．

【解析】【分析】(1)由题意可得直线AB方程，进而可得 AB=2p ，可求得p值，即可得答案．
(2)设直线l的方程为 x=my+nn≠0 ， Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，联立直线与抛物线，根据韦达定理，可得 y1+y2 ， y1y2 表达式，根据 OM⊥ON ，可得 x1x2+y1y2=0 ，代入计算，即可求得n值，分析即可得答案．
21.【答案】解：(1)∵虚轴长为4，∴2b=4，即b=2，
∵直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线，
∴ba=2，∴a=1，故双曲线C的标准方程为x2-y24=1．
(2)由题意知，A(-1,0)，B(1,0)，
由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线l的方程为x=ny+2，
设M(x1,y1)N(x2,y2)，联立x2-y24=1x=ny+2,
得(4n2-1)y2+16ny+12=0，
∴y1+y2=-16n4n2-1，y1y2=124n2-1，
∴ny1y2=-34(y1+y2)，
∵直线MA的斜率k1=y1x1+1，直线NB的斜率k2=y2x2-1，
∴k1k2=y1x1+1y2x2-1=y1(ny2+1)y2(ny1+3)=ny1y2+y1ny1y2+3y2=-34(y1+y2)+y1-34(y1+y2)+3y2=-13．

【解析】本题考查求双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为 A2 、 B1 分别为椭圆 C1:x24+y2=1 的右顶点和上顶点，
则 A2 ， B1 坐标分别为 (2,0),(0,1) ，可得直线 A2B1 方程为： x+2y=2 ，
则原点O到直线 A2B1 的距离为 d=2 1+22=2 5 ，即圆 C2 的半径 r=d=2 5 ，
故圆 C2 的标准方程为 x2+y2=45 ．
(2)设直线 PM 方程为 mx+ny=1 ，由直线 PM 与圆 C2 相切，可知原点O到直线 PM 距离 d=1 m2+n2=2 5 ，整理可得 m2+n2=54 ，将直线 PM 方程代入椭圆 C1 可得
x24+y2=(mx+ny)2 ，
整理即有 4n2-4yx2+8mnyx+4m2-1=0 ，
则 y1y2x1x2=4m2-14n2-4=4m2-1454-m2-4=-1 ，
即 kOP⋅kOM=-1 ，故 OP⊥OM ．
同理 OP⊥ON ，故M、O、N三点共线，则 S▵PMN=2S▵OPM=|OP||OM| ．
设 OP:y=kx 代入椭圆方程可得 x24+k2x2=1 ，则 x2=41+4k2 ，
故 OP2=x2+y2=1+k2x2=41+k21+4k2 ，
同理 OM2=41+-1k21+4-1k2=4k2+1k2+4 ，则
1OP2+1OM2=1+4k241+k2+k2+441+k2=54 ，
则 54=1OP2+1OM2≥2|OP||OM| ，得 |OP||OM|≥85 ，
则 S▵PMN=OPOM≥85 ，当且仅当 OP=OM=2 105 时等号成立，
故三角形 PMN 面积的最小值为 85 ．

【解析】略