陕西省西安市长安区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份陕西省西安市长安区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分100分．考试时间100分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，，C．4，5，6D．12，15，20
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A到x轴距离为（ ）
A．B．5C．D．2
5．已知正比例函数的图象经过点，则正比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．已知函数和，且，，则这两个一次函数图象的交点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．若点，在正比例函数的图象上，且时，则m的值可以是（ ）
A．2B．0C．D．
9．如图，长为的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．化简： ．
12．比较大小：5 ．（填“”“”“”）
13．若y关于x的函数y＝﹣7x＋2＋m是正比例函数，则m＝ ．
14．已知点、、在一次函数的图象上，请用“”连接、、3 ．
15．已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B坐标为 ．
16．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米.

17．若点在函数的图象上，则代数式的值为 ．
18．如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ．
三、解答题（共6小题，计46分．解答应写出过程）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算：
(1)
(2)．
21．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．
22．如图，已知平面直角坐标系中的，点、、．
(1)画出关于x轴的对称图形．
(2)写出点A的对应点的坐标 ；
(3)若对应的线段和交于一点，则交点的坐标为 ；
(4)求的面积．
23．中国羽毛球队在杭州亚运会上，取得了多项冠军，激励着千万中国人们．某校为了增强学生体质，将在甲、乙两家体育用品商店为学生购买部分羽毛球拍和羽毛球．甲、乙两家体育用品商店出售相同品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价3.5元，羽毛球拍每副定价85元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠3个羽毛球；乙店都按九折优惠．学校需购球拍56副，羽毛球x个（一副球拍要配备3个或以上羽毛球）．
(1)若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出，与x的函数关系式；
(2)若学校购买球拍56副，要求购买1000个羽毛球时，在哪家商店购买合算？
24．如图，在中，，，，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止．设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．
（1）当t为多少秒时，是直角三角形？
（2）当t为多少秒时，是等腰三角形？
含答案与解析
1．C
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，，是有理数，
是无理数，
故选C．
2．B
【分析】根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两短边的平方和是否等于长边的平方即可．
【详解】解：、，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
、，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足：，那么这个三角形为直角三角形是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加减计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
4．B
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知到x轴距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值是解题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为，
∴点A到x轴距离为，
故选B．
5．D
【分析】把点代入可得的值，进而可得函数的解析式．
【详解】解：正比例函数的图象经过点．
，
解得：，
这个函数的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查求正比例函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
6．C
【分析】根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得．
【详解】点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了点坐标关于x轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于x轴对称的变换规律是解题关键．
7．C
【分析】由函数解析式，得，求得交点的坐标，根据，，判断交点的坐标特点，确定位置．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴k+2＞0，a+6＜0，a＜0，ak＜0，ak-12＜0，
∴，
∴交点位于第三象限，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的交点坐标的求法，点的坐标与象限的关系，熟练运用二元一次方程组的思想确定交点是解题的关键．
8．D
【分析】一次函数的性质得到，进而即可求解．
【详解】解：∵点，在正比例函数的图象上，且时，
∴y随x的增大而减小，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，先根据三线合一定理得到，再利用勾股定理求出，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴橡皮筋被拉长了，
故选：C．
10．D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
11．6
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的计算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义“如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0”，和立方根定义，“如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根”．
【详解】解：．
故答案为：6．
12．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据得到，进而根据不等式的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．﹣2
【分析】根据正比例函数的定义得到2＋m＝0，然后解方程得m的值．
【详解】解：∵y关于x的函数y＝﹣7x＋2＋m是正比例函数，
∴2＋m＝0，解得m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．形如是正比例函数．
14．
【分析】首先求出函数解析式，再把、代入可得，的值，然后可得答案．
【详解】解：∵在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴函数解析式为，
∵点、在一次函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
15．（﹣4，2）或（6，2）
【分析】由直线轴可确定点B的纵坐标为2，然后分当点B在点A左边和点B在点A右边两种情况，结合解答即可．
【详解】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（1，2），
∴点B的纵坐标为2，
∵AB＝5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1﹣5＝﹣4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5＝6，
∴点B的坐标为（﹣4，2）或（6，2）．
故答案为（﹣4，2）或（6，2）．
【点睛】本题考查了图形与坐标，属于基础题目，正确分类、掌握解答的方法是解题关键．
16．1.5
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
依题意知，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，AB＝2.5米，
则AE＝AB−BE＝2.5−1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝1.5（米）
故答案是：1.5．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
17．11
【分析】本题考查的是一次函数的性质，求解代数式的值，本题把点代入可得，再整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，即，
∴；
故答案为：
18．
【分析】根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，进而得出，根据勾股定理计算，得到答案．此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
由四个全等的直角三角形可得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即正方形的面积为．
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加法计算，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算立方根，再计算减法即可；
（2）先化简二次根式，然后根据二次根式的加法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式和分母有理化，然后计算二次根式的除法，最后计算加法即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解；原式
．
21．（1），（2）见解析．
【分析】（1）依据∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD＝；
（2）依据勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝；
（2）证明：由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42=52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了作图——对称变换、坐标与图形变换、待定系数法求函数解析式及三角形面积问题：
（1）关于x轴的对称点的坐标为：，同理可得：，，依次连接，即可求解；
（2）由（1）即可求解；
（3）设直线的解析式为：，利用待定系数法求得，再当时，得，进而可求解；
（4）利用割补法即可求解；
熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】（1）解：关于x轴的对称点的坐标为：，
同理可得：，，依次连接，
如图所示，即为所求：
（2）由（1）得：点A的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）由图可得：线段和的交点在轴上，
设直线的解析式为：，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
，
当时，，
解得：，
交点的坐标为，
故答案为：．
（4）．
23．(1)，；
(2)买1000个羽毛球时，在乙家商店购买合算，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意，正确的列出函数关系式．
（1）根据两家商店的活动方案，列出函数关系式即可；
（2）将代入（1）中的函数解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即．
，
即；
（2）解：当时，，
．
∵，
∴买1000个羽毛球时，在乙家商店购买合算．
24．（1）t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；（2）t=6.25秒或7.5秒或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【分析】（1）根据速度×时间，得到CD的长，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（2）分①CD=BC时，CD=15；②CD=BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；依此解答．
【详解】（1）CD=2t，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=，
AD=AC-CD=25-2t；
①∠CDB=90°时，AC•BDAB•BC，
即BD=，
∴CD=，
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=25÷2=12.5．
综上所述，t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；
（2）①CD=BC时，CD=15，
t=15÷2=7.5；
②CD=BD时，∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=ADAC=12.5，
∴t=12.5÷2=6.25；
③BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；
则CF=DF，
∵BF=12，
∴CF=，
∴CD=2CF=9×2=18，
∴t=18÷2=9．
综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．