山东省济宁市曲阜市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份山东省济宁市曲阜市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．下面由杭州亚运会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．B．
C． D．
2．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．2cm，2cm，4cmB．3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cmD．2cm，3cm，6cm
3．已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（ ）
A．70°B．55°C．40°D．40°或70°
4．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示，△ABC为钝角三角形，则边AC上的高是（ ）
A．ADB．AEC．BFD．CH
6．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互为余角
D．垂线段最短
7．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，那么的值为（ ）
A．B．C．1D．
8．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（ ）
A．6B．5C．5D．4
9．如图是用正n边形地砖铺设小路的局部示意图，若用4块正n边形地砖围成的中间区域是一个小正方形，则n的值为（ ）

A．4B．6C．7D．8
10．如图，，点在线段上，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
11．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2B．5C．8D．11
12．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①平分；②是等边三角形；③垂直平分线段；④是等腰三角形，⑤．其中正确的个数是（ ）

A．5个B．4个C．3个D．2个
第II卷（非选择题共64分）
二．填空题、本大题共6小题，每小题2分，共12分．
13．如图，已知，，则的度数是 ．
14．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是 cm．

15．在中，已知点D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分面积 .

16．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．

17．如图，已知等腰的直角顶点C在y轴的负半轴上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点A在第二象限，若，，则点A的坐标是 ．
18．已知第二象限的点坐标为，进行如下变换：作点关于轴对称点；作点关于轴对称点；作点关于轴对称点；作点关于轴对称点；……如此下去，那么点的坐标为 ．
三、解答题：共7小题，共52分．
19．如图，在中，为边上一点，为中点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证；
(2)若，，求的长．
20．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．

(1)在图中画出关于轴对称的；
(2)直接写出，，三点的坐标；（ ），（ ），（ ）；
(3)如果要使以、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点（除点外）坐标．
22．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测的灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？
23．已知：如图中，，，，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：
(1)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形是一个筝形，其中，，试猜想筝形的对角线有什么性质？然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
(2)知识拓展：如图2，如果为内一点，平分，且，试证明：．
25．【问题引领】
问题1：如图1．在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王祠学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接．先证明，再证明．他得出的正确结论是______．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段，，之间存在的等量关系是______．

含答案与解析
1．B
【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据能否找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，进行判断即可；掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
【详解】解：观察图形，只有选项B能够找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形；
故选B．
2．B
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、2＋2＝4，不能组成三角形，故本选项不合题意；
B、3＋4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、1＋2＝3，不能组成三角形，故本选项不合题意；
D、2＋3＜6，不能组成三角形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．D
【分析】若70°是顶角，则可直接得出答案；若70°是底角，则设顶角是y，根据三角形内角和为180°即可求解．
【详解】若70°是顶角，则顶角为70°；
若70°是底角，则设顶角是y，∴2×70°+y=180°，解得：y=40°．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，关键是注意分类讨论．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，加上，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
添加，则，根据“”判定，故选项A符合题意；
添加，不能判定，故选项B不符合题意；
添加，不能判定，故选项C不符合题意；
添加，不能判定，故选项D不符合题意．
故选：A．
5．C
【分析】根据三角形高线的定义，过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F，则BF为AC边上的高．
【详解】解：∵△ABC为钝角三角形，
∴边AC上的高是BF，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
6．A
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，正确理解概念是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，
．
故选：D．
8．B
【分析】过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，根据题意得到，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，然后根据平行线的性质求解．
【详解】解：过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，
两把直尺为完全相同的长方形，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质．
9．D
【分析】先求出正边形的每个内角的度数，从而可得这个正边形的每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于求解即可得．
【详解】解：这个正边形的每个内角的度数为，
所以这个正边形的每个外角的度数为，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．
10．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．掌握全等三角形的性质，得到，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
11．C
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝3，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【详解】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．
12．A
【分析】由作图可判断①， 由， 可判断②，证明，可判断③，证明，可判断④，由，，，可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：由作图可知平分，故①正确，
∵，
∴，
由作图可得：，
∴是等边三角形，故②正确，
∵平分，
∴是的垂直平分线，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴垂直平分线段，故③正确；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确；
∵，，，
∴，故⑤正确；
正确的个数是个，
故选：A．
【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，等腰三角形与等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质；由图要能得出是作已知角的角平分线，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
13．##110度
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解得．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
14．80
【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案.
【详解】∵O是FG和CD的中点
∴OF=OG，OC=OD
在△OFC和△OGD中
∴△OFC≌△OGD（SAS）
∴CF=DG
又DG=30cm
∴CF=DG=30cm
∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm
故答案为80
【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法.
15．2
【分析】利用中线的性质得到，再利用点是的中点，得到，即可解答．
【详解】解：点是的中点，
，，
，
即，
点是的中点，
，即阴影部分面积，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线将三角形面积分成相等两部分是解题的关键．
16．7
【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到，进而得到的周长，根据，得到当三点共线时，的值最小为的值，进而得到的周长的最小值为，即可．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵垂直平分，点为直线上一动点，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，的值最小为的值，
∴的周长的最小值为；
故答案为：7．
17．
【分析】过点A作轴于点D，根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可得出点的坐标．
【详解】解：过点A作轴于点D，如图所示，
∴，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵A在第二象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
18．
【分析】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，可发现规律，进而得出答案．
【详解】解：∵坐标为，
∴点关于x轴的对称点为是，
点关于y的对称点为是，
点关于x轴的对称点为是，
点关于y的对称点为是，
显然4次为一循环，
∵，
∴点的坐标为．
故答案为：．
19．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用证明；
（）根据，得到，求出，即可得到；
此题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角的定理，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：交于点，
，
平分，
，
，，
，
，，，
，
．
21．(1)见解析；
(2)，，
(3)或或
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，全等三角形的判定等知识，
（1）分别作三个顶点关于y轴的对称点，再连接即可；
（2）根据（1）中的图形得出坐标；
（3）先作出图形，再确定坐标即可.
【详解】（1）如图所示．

（2）根据平面直角坐标系可得，点，，.
故答案为：，，；
（3）以为一边，使另外两边长为，，分别确定点，，，可知这两个三角形全等，
则，，．

22．（1）轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；（2）14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【分析】（1）根据轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上，可以得到BA=BM，从而可以得到答案；
（2）计算出BC的长度，根据∠CBM=60°可以判断△ABM为等边三角形，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意可知BA=28×0.5=14海里，
因为此时灯塔M在北偏东60°的方向上，
根据三角形外角定理可以得到∠BAM=∠M
所以BA=BM=14海里，
即轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（1）
轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，
所以BC=28×05=14海里，
所以BC=BM
又因为∠CBM=60°
所以△ABM为等边三角形
所以CM=14海里
所以灯塔M在轮船的南偏东60°方向
【点睛】本题考查的是等腰三角形判定与性质和等边三角形的判定与性质，能够判断出△BAM为等腰三角形和△BCM为等边三角形是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答.
【详解】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2），，，
，
，，
，
．
24．(1)，，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）证，得，再证，得，，得，即可得出；
（2）过点分别作，，垂足分别为，，证，即可得出．
【详解】（1）猜想，，理由如下：
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）证明：过点分别作，，垂足分别为，，如图2所示：
平分，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25．问题1：；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：．
【分析】问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到；
问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论；
问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论．
【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
故他得到的正确结论是：；
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长到点G．使．连接，

∵ ，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
即；
问题3．结论：，理由如下：
如图3，在上取一点G．使．连接，

∵ ，，
∴，即 ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．