2024省大庆铁人中学高二上学期期中考试数学含答案

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填空题13. 14. 15. 16.
解答题： 【17题】
（1）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为由题意得：
所以
所以直线的方程为
（2）设直线的方程为
因为直线与直线的距离为
所以，解得
所以直线的方程为和
【18题】
（1）以为建立空间直角坐标系
则
所以直线DE的方向向量
所以直线PF的方向向量
所以直线DE和PF所成角的余弦值为
（2）设平面的法向量为，又
因为所以
可解得一组解为
则，又因为
所以点E到平面PBF的距离为
【19题】
（1）已知M是椭圆弦AB的中点，设则
又因为
所以即：
又因为，所以同时除以得：
即
所以直线AB的方程为
即
（2）联立消去得：
；；
【20题】
（1）由
所以
所以双曲线的标准方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为
联立消去y得
由直线l与双曲线C只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交，则直线l与双曲线C的渐进线不平行，所以，即
于是得，则
双曲线C的渐近线为，即
联立消去y得，
，设则
当直线的斜率不存在时，
，
【21题】
（1）以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系
则
设
设为平面的法向量
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
（2）设为平面的法向量
由题意得
解得
经检验，符合题意，所以线段的长为
【22题】
（1）有题意得笔尖留下的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为
由可知，又
把代入抛物线方程得，解得
所以抛物线的方程为
（2）假设存在，使得，设，直线l的方程为
联立消去y得
；
因为，所以
令，
所以，解得
故存在，使得题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
B
D
A
C
A
C
B
CD
ABD
ABC
ACD