2023-2024学年安徽省黄山市高二上学期八校联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省黄山市高二上学期八校联考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设点A(2,-3, 5)关于坐标原点的对称点是B，则|AB|等于
A. 6B. 6 3C. 6 2D. 3 6
2.设F1，F2为定点，|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=8，则动点M的轨迹是
A. 线段B. 直线C. 圆D. 椭圆
3.已知直线l的一个方向向量为(-1,2)，直线l的倾斜角为α，则sin 2α-cs2α-1的值为
A. -2B. 0C. -1D. 2
4.设a∈R，则a=1是直线l1：2x+ay+2=0与直线l2：(a+1)x+y+a=0平行的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足OD=3OC-xOA-2yOB，则x2+2y2的最小值为
A. 13B. 23C. 1D. 43
6.已知P是直线l：x-2y+4=0上一动点，过点P作圆C：x2+y2-2x=0的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为
A. 5πB. 5π4C. 5π2D. 4π
7.已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且2|AB|=|BC|，则该椭圆的离心率
A. -1+ 2B. 2- 2C. -1+ 3D. 2- 3
8.《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，PG=λPC，PA=2，AB=1，若AG⊥平面EFC，则λ=
A. 27B. 37C. 47D. 57
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是
( )
A. 点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)
B. 过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
C. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
D. 直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
10.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=90°，D、E分别为A1C1、A1B的中点，则下列结论正确的是
( )
A. DE // B1C
B. 直线DE与平面A1BC所成角的正弦值为13
C. 平面A1BC与平面ABC夹角的余弦值为 33
D. DE与AA1所成角为π3
11.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径，SA=4，SO=2 3，点B为圆O上异于A、C的一点，M为线段SC上的动点(异于端点)，则
A. 直线SB与平面SAM所成角的最大值为π6
B. 圆锥SO内切球的体积为32125 3π
C. 棱长为4 23的正四面体可以放在圆锥SO内
D. 当M为SC的中点时，满足SB⊥AM的点B有2个
12.如图所示．已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是( )
A. P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则PF1+2OQa为定值
B. 直线y=kx与椭圆交于R，S两点，A是椭圆上异与R，S的点，且kAR、kAS均存在，则kAR·kAS=1-e2
C. 若椭圆上存在一点M使∠F1MF2=2π3，则椭圆离心率的取值范围是 32,1
D. 四边形ABCD为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(2,2,1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是__________．
14.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，则点Q(csα,sinα)到P点的距离的最大值为__________．
15.若关于x的不等式kx- 2x-x2≤1的解集是[0,1]，则k值是__________．
16.半径为R的球面上有A、B、C、D四个点，AB=R=2CD，则VA-BCD的最大值为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
如图，三棱锥ABC-A1B1C1中，点D、E分别为B1C1和BB1的中点，设AA1=a，AB=b，AC=c．
(1)试用a，b，c表示向量CD；
(2)若∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=60°，AA1=AB=AC=2，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知直线l：y=kx-2k+1(k∈R).
①若直线l不经过第二象限，求k的取值范围．
②若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为92时(O为坐标原点)，求此时相应的直线l的方程．
19.(本小题12分)
如图，△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形，平面ABD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC且EC= 3．
(1)证明：CD⊥平面ABE
(2)求平面CED与平面BDE的夹角的大小．
20.(本小题12分)
已知定点A(4,2)，动点M(x,y)满足OM⋅AM=0，O为坐标原点．
(1)求动点M的轨迹方程
(2)若点B为直线3x-y+3=0上一点，过点B作动点M的轨迹的切线，切点分别为C、D，若BC⊥BD，求点B的坐标．
21.(本小题12分)
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，侧面CDEF为等腰梯形，二面角E-CD-A为直二面角，AB=2EF=4，AF=3 3．
(1)求点F到平面ABCD的距离；
(2)设P为线段BC的中点，点Q满足AQ=λAE(λ>0)，若直线PQ与平面ADE及平面ABCD所成角相等，求λ的值．
22.(本小题12分)
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，短轴端点分别为A、B.若四边形AF1BF2为正方形，且AF1= 2．
(1)求椭圆标准方程；
(2)若C、D分别是椭圆长轴左、右端点，动点M满足MD⋅MC=MD2，P点在椭圆上，且满足OP=sin2θOC+cs2θOM，求证OM⋅OP定值(O为坐标原点)；
(3)在(2)条件下，试问在x轴上是否存在异于C点的定点N，使PD⊥MN，若存在，求N坐标，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间中点关于点的对称问题，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于基础题．
先求出点A关于原点的对称点B，再利用两点之间的距离公式求解即可．
【解答】
解：因为点A(2,-3, 5)关于坐标原点的对称点是B(-2,3,- 5)，
故|AB|= [2-(-2)]2+(-3-3)2+[ 5-(- 5)]2=6 2．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查轨迹方程，属于基础题．
根据题意可得M在线段F1F2上，从而即可判断为线段．
【解答】
解：对于在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于8，而8正好等于两定点F1、F2的距离，
则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量，直线的倾斜角和斜率，涉及正余弦齐次式的计算，属于中档题．
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出 tanα的值，再利用正余弦齐次式的计算，求出要求式子的值．
【解答】
解;因为直线l的一个方向向量为(-1,2)，所以k=-2，所以tanα=-2，
所以sin 2α-cs2α-1=2sinαcsα-cs2α-sin2α-cs2α=2sinαcsα-sin2α-2cs2α
=2sin αcs α-sin2 α-2cs2 αsin2 α+cs2 α=2tan α-tan2 α-2tan2 α+1=-4-4-24+1=-2．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断问题，直线平行的判定及性质，属于基础题．
求出与“直线l1:2x+ay+2=0与直线l2：(a+1)x+y+a=0平行”等价的条件，由此即可判断出结果．
【解答】
解：由直线2x+ay+2=0与直线l2：(a+1)x+y+a=0平行，
所以aa+1=2×1，解得a=1或a=-2，
当a=1时，l1:2x+y+2=0与l2:2x+y+1=0平行，
当a=-2时，l1:2x-2y-2=0与l2:x-y+2=0平行，
综上，即a=1或a=-2，
因此“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件，
故选B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量共面定理，属于中档题．
根据空间向量共面可得-x-2y+3=1，然后利用二次函数的性质即得．
【解答】
解：因为 OD=-xOA-2yOB+3OC ，
又点D在 △ABC 确定的平面内，所以 -x-2y+3=1 ，即 x=2-2y ，
所以 x2+2y2=(2-2y)2+2y2=6y2-8y+4=6(y-23)2+43⩾43 ，
所以当 y=23 时， x2+2y2 的有最小值 43 ．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．
根据题意可得四边形PACB的外接圆的圆心为CP的中点，直径为PC，求出PCmin，即可求解．
【解答】
解：圆C：x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1，圆心C为(1,0)，半径为1，
根据题意可得四边形PACB的外接圆的圆心为CP的中点，直径为PC，
又PCmin为圆心C到直线x-2y+4=0的距离，
则PCmin=1+4 12+-22= 5，
则四边形PACB的外接圆的半径的最小值为 52，
则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为5π4 ，
故选B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率，属于中档题．
根据条件可得|AB|=2c,|BC|=2b2a，根据2|AB|=|BC|即可建立方程求解．
【解答】
解：由椭圆的方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)可得当x=c时y=±b2a，
所以|AB|=2c,|BC|=2b2a，
因为2|AB|=|BC|，所以4c=2b2a，所以2ac=b2=a2-c2，
所以2e=1-e2，解得e=-1+ 2或e=-1- 2(舍)．
故选A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量解决线面垂直有关问题，属于一般题．
建立空间直角坐标系，求出平面EFC的法向量以及AG，利用AG//m，即可求解．
【解答】
解：以点A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设AD=a，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,a,0)，E(0,a2,1)，F(12,0,1)，
EF=(12,-a2,0)，AP=(0,0,2)，PC=(1,a,-2)，EC=(1,a2,-1)．
设平面EFC的法向量为m=(x,y,z)，则EF·m=0EC·m=0,
则12x-ay2=0,x+ay2-z=0.令x=1，得y=1a，z=32，所以m=(1,1a,32).
AG=AP+λPC=(λ,aλ,2-2λ)，
因为AG⊥平面EFC，所以AG//m，则λ1=aλ1a=2-2λ32，解得λ=47．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法、直线的两点式方程、直线的截距等，为一般题．
利用对称知识判断A的正误；直线的两点式方程判断B的正误，利用截距相等判断C的正误；求出截距得到三角形的面积判断D的正误
【解答】
解：A、点(0,2)与(1,1)的中点坐标(12,32)，
满足直线方程y=x+1，并且两点的斜率为：-1，
所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)，
所以A正确；
B、当x1≠x2，y1≠y2时，
过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，
所以B不正确；
C、当两截距都等于0时直线方程为y=x;
当两截距不等于0时，由题意设所求直线的方程xa+ya=1，
因为点(1,1)满足该方程，
所以1a+1a=1，a=2，
所求直线的方程为x+y-2=0，
所以C错误；
D、直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为：2，-2，
与坐标轴围成的三角形的面积是：12×2×2=2，
所以D正确．
故选：AD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角、直线与平面所成角、平面与平面所成角，考查空间向量的应用，考查线面平行的判定，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线所成的角、直线与平面所成角、平面与平面所成角，利用空间向量判定直线与直线的平行，对各个选项逐一判断即可．
【解答】
解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又∠BAC=90°，
所以AB⊥AC，
则以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=AC=AA1=2，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，D(0,1,2)，E(1,0,1)，
对于A，DE=(1,-1,-1),B1C=(-2,2,-2)，显然不存在实数λ，使得DE=λB1C，所以DE与B1C不平行，故A错误；
对于B，设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅A1B=2x-2z=0n⋅BC=-2x+2y=0,
不妨令x=1，得y=1，z=1，故可取n=(1,1,1)，
所以cs=DE·nDEn=-1 3· 3=-13，所以直线DE与平面A1BC所成角的正弦值为13，故B正确；
对于C，易得平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，结合B选项，
所以cs=m·nmn=11· 3= 33，
所以平面A1BC与平面ABC夹角的余弦值为 33，故C正确；
对于D，由题意DE=(1,-1,-1),AA1=(0,0,2)，
所以cs=DE·AA1DEAA1=-2 3·2=- 33，
所以DE与AA1所成角的余弦值为 33，其角不为π3，故D错误；
故选BC．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面所成的角，圆锥的内切球，圆锥的结构特征，属难题．
利用圆锥的结构特征对选项ABCD一一解析分析判断即可得．
【解答】
解：OA=OC=OB= 42-12=2，
直线SB与平面SAM所成的角即直线SB与平面SAC所成的角，
当B为弧AC中点时，易知∠OSB为所求，tan∠OSB=22 3= 33，
所以∠OSB=π6，故A正确;
圆锥SO的内切球的半径即为△SAC内切圆的半径，
S△SAC=3×12×4×r=12×4×2 3=4 3，r=23 3，V=43πr3=3227 3π，故B错误;
棱长为43 2的正四面体可以从棱长为43的正方体截，
所以该正四面体和正方体的外接球是同一个外接球，2R=43 3，即R=23 3，
所以该正四面体可以放在圆锥SO的内切球内，故C正确;
如图建立空间直角坐标系，A(0,-2,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2 3)，B(x,y,0)，则x2+y2=4，x≠0，
不妨设M为SC的中点，则M(0,1, 3)，AM=(0,3, 3)，SB=(x,y,-2 3)，
设直线AM与直线SB的夹角为θ，csθ=|csAM,SB|=|3y-6|8 3，
因为-2