2021-2022学年天津市河北区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市河北区九年级上学期数学期中试卷及答案，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 一元二次方程x2＋3x＝0的解是( )
A. x＝3B. x1＝0，x2＝3C. x1＝0，x2＝－3D. x＝－3
【答案】C
【解析】
【详解】分析：分解因式得到x（x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．
详解：x2+3x=0，
x(x+3)=0，
x=0，x+3=0，
x1=0，x2=−3，
故选C.
点睛：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，用因式分解法解方程的一般步骤是：移项、化积、转化、求解.
3. 抛物线，，共有的性质是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是轴
C. 都有最低点D. y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向下，对称轴为y轴，有最高点，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
∴抛物线共有的性质是对称轴为y轴．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质．
4. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是x=-1C. 顶点坐标是(1，2)D. 与x轴有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
5. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 7200（1+x）=8450 B. 7200（1+x）2=8450
C. 7200+x2=8450 D. 8450（1﹣x）2=7200
【答案】B
【解析】
【详解】根据增长后的产量=增长前的产量(1+增长率)n，可列方程为: 7200（1+x）2=8450.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
6. 已知二次函数y＝x2﹣2x+k的最小值是0，则k的值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】在二次函数中，，，，因为，且函数的最小值是0，所以，进行计算即可得．
【详解】解：在二次函数中，，，，
∵，且函数的最小值是0，
∴，
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质．
7. 抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：通过解方程x2﹣2x﹣3=0可得到抛物线与x轴的交点坐标，于是可判断抛物线y=﹣x2+3x﹣2与x轴的交点个数．
解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
8. 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）
A. （﹣3，﹣6）B. （1，﹣4）C. （1，﹣6）D. （﹣3，﹣4）
【答案】C
【解析】
【分析】首先得出二次函数y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，再求出将二次函数y=2（x+1）2-5的图象向右平移2个单位的解析式，再求出向下平移1个单位的解析式即可y=2（x-1）2-6，从而求解．
【详解】解： y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，
∵将二次函数y=2（x+1）2-5的图象向右平移2个单位的解析式，再求出向下平移1个单位，
∴y=2（x-1）2-6，
∴顶点坐标为（1，-6）．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的平移性质．
9. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)是（ ）
A. y=(x-2)2+1B. y=(x+2)2+1
C. y=(x-2)2-3D. y=(x+2)2-3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴B、D选项不符合题意，
将点（0，1）代入A中，得（x-2）2+1=（0-2）2+1=5，故A选项错误，
代入C中，得（x-2）2-3=（0-2）2-3=1，故C选项正确．
故选∶C．
【点睛】本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为
10. 若抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2013的值为（ ）．
A. 2012B. 2013C. 2014D. 2015
【答案】C
【解析】
【详解】将（m，0）代入抛物线解析式，得0=m2﹣m﹣1，
移项得：m2﹣m=1，
所以m2﹣m+2013=1+2013=2014．
故选C．
11. 已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据题意可得当0＜x＜8时，其中有一个x的值满足y=2，
则对称轴所在的位置为0＜h＜4
故选：D
【点睛】本题考查二次函数性质，利用数形结合思想解题是关键．
12. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，则x＝1时，a﹣b+c＜0，则可对②进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b＝2a，而x＝﹣1时，a﹣b+c＝2，则a﹣2a+c＝2，、于是可对③进行判断；利用抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），可得到抛物线与直线y＝2只有一个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝﹣1时，y＝2，
即a﹣b+c＝2，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），
即x＝﹣1时，y有最大值2，
∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 点(,2)关于原点对称的点的坐标是__________.
【答案】(1,)
【解析】
【分析】根据关于原点对称的定义，进行解答即可.
【详解】点(,2)关于原点对称的坐标是(1,)
故答案为(1,)
【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键在于掌握其定义.
14. 抛物线的顶点坐标是_______________
【答案】（1，2）
【解析】
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）
15 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°．
【答案】90
【解析】
【详解】根据旋转的性质可知∠CAF=60°，
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得：
∠AFB=∠C+∠CAF
=30°+60°
=90°．
故答案为：90．
16. 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是___________．
【答案】(7，3)
【解析】
【分析】首先根据直线AB求出点A和点B的坐标，结合旋转的性质可知点 B′的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长，进而得出 B′ 的坐标．
【详解】根据题意令x=0，得y=4；令y=0，得 x=3 ．
∴A(3，0)， B(0，4)．
由旋转可知，∠O′AO=∠ B′O′A=90°，OA=O′A，OB=O′B′，如图．
∴点B′ 的纵坐标为OA长，即为3；横坐标为OA+O′B′=OA+OB=3+4=7 ．
故点B′的坐标是(7，3) ．
故答案为：(7，3)．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
17. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_______
【答案】
【解析】
【详解】解：设出抛物线方程y=ax2，
由图象可知该图象经过（-2，-2）点，
故-2=4a，a=-，
故，
故答案为：．
18. 已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连接AD，则线段AD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的解析式分别求出点的坐标、以及对称轴，再根据对称性可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式即可得．
【详解】解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则，
当时，，即，
因为二次函数的对称轴为直线，
所以点关于抛物线对称轴的对称点为的坐标为，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19. 解方程：x2﹣5x﹣6=0；
【答案】x1=6，x2=﹣1.
【解析】
【详解】试题分析：方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
试题解析：解：方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，
解得：x1=6，x2=﹣1.
考点：因式分解法解一元二次方程．
20. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，求点B的对应点的坐标．
【答案】（，3）
【解析】
【分析】过点B和B′作BD⊥x轴和⊥y轴于点D、C，根据题意可得B（3，），根据旋转可得点B的对应点B'的坐标．
【详解】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB＝∠B＝30°，
∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，
∴AD＝1，BD＝，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴B（3，），
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，
∴＝BD＝，OC＝OD＝3，
∴坐标（，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
21. 已知抛物线：
（1）y＝（x﹣2）2﹣14，请确定开口方向，对称轴和顶点坐标及最小（大）值．
（2）直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【答案】（1）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为
（2）对称轴为直线，顶点坐标为
【解析】
【分析】（1）根据二次函数顶点式，当a>0时，开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）即可求出答案；
（2）根据抛物线对称轴公式和顶点坐标公式即可求出答案．
【详解】（1）已知y＝（x﹣2）2﹣14，
可知抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为；
（2）抛物线，a=，b=2，c=，
根据对称轴公式，可得对称轴为，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标为
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
22. 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为xm，如要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？
【答案】
【解析】
【分析】设的长为m，则平行于墙的一边长为：m，该花圃的面积为：，令该面积等于63，求出符合题意的的值，即是所求的长．
【详解】解：设该花圃的一边的长为m，则与相邻的边的长为m，
由题意得：，
即：，
解得：，
当m时，平行于墙的一边长为：，不合题意舍去；
当m时，平行于墙的一边长为：，符合题意，
所以，的长是．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．
23. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线顶点A的横坐标是，且与y轴交于点，点P为抛物线上一点．
求抛物线的表达式；
若将抛物线向下平移4个单位，点P平移后的对应点为如果，求点Q的坐标．
【答案】为；点Q的坐标为或．
【解析】
【分析】依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点B的坐标代入线可求得c的值,即可求得抛物线的表达式；由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此，然后由点，轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．
【详解】抛物线顶点A的横坐标是，
，即，解得．
．
将代入得：，
抛物线的解析式为．
抛物线向下平移了4个单位．
平移后抛物线的解析式为，．
，
点O在PQ的垂直平分线上．
又轴，
点Q与点P关于x轴对称．
点Q的纵坐标为．
将代入得：，解得：或．
点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．
24. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支付20元的各种费用，房价定为多少元时，宾馆利润最大？其最大利润是多少？设每个房间每天的定价增加10x元，宾馆每天的利润为y元．
（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：
（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
【答案】（1），
（2），当房价定为350元时，宾馆利润最大，其最大利润是10890元
【解析】
【分析】（1）先根据“当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲”可得当每个房间每天的定价增加元时，每天的房价为元，会有个房间空闲，再利用50减去即可得出每天居住的房间数；
（2）根据“利润=收入-费用”可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得．
【小问1详解】
解：由题意得：当每个房间每天的定价增加元时，每天的房价为元，会有个房间空闲，
则此时每天居住的房间数为个，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理得：，
因为，且，
所以，
所以由二次函数的性质得：当时，取得最大值，最大值为10890，
此时房价为（元），
答：当房价定为350元时，宾馆利润最大，其最大利润是10890元．
【点睛】本题考查了列代数式、二次函数的应用，较难的是题（2），正确建立函数关系式是解题关键．
25. 已知抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧）．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）用配方法求该抛物线的顶点C的坐标，判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点O、点C、点P为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）
（2）点C的坐标为（1，-2），为等腰直角三角形，理由见解析
（3）点P的坐标为（1，2），，或
【解析】
【分析】（1）把代入到得，，解得，，又因为点A在点B的左侧，即可得；
（2）配方得，即可得点C的坐标为（1，-2），根据点A，B，C的坐标得，，，则AC=BC，又因为，所以，即可得，从而得出是等腰直角三角形；
（3）当点P与点C关于x轴对称时，OC=OP，为等腰三角形，即可得点P的坐标（1，2），当时，，即可得点P的坐标为或，当时，点P在OC的垂直平分线上，设点，点P交x轴于点D，在中，根据勾股定理得，，解得，即可得点P的坐标为，综上，即可得．
【小问1详解】
解：把代入到得，
解得，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）．
【小问2详解】
解：
=
=
=
∴点C的坐标为（1，-2），
为等腰直角三角形，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），
∴，
，
，
∴AC=BC，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【小问3详解】
解：当点P与点C关于x轴对称时，OC=OP，为等腰三角形，
∴点P的坐标为（1，2）；
当时，，
∴点P的坐标为或；
当时，点P在OC的垂直平分线上，设点，
如图所示，点P交x轴于点D，
在中，根据勾股定理得，
，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为（1，2），，或．
【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质．原来
每个房间增加10元
每个房间增加20元
…
每个房间增加10x元
每天的房价（元）
180
190
200
…
每天居住的房间数
50
49
48
…