2021-2022学年天津市九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市九年级上学期数学期末试卷及答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数满足三个要求：函数关系式右边是整式；自变量的最高次数是2次；二次项系数不等于0，根据要求分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：A、函数右边是分式，不是二次函数，选项不符合题意；
B、函数是反比例函数，不是二次函数，选项不符合题意；
C、函数是二次函数，符合题意；
D、函数是一次函数，选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数识别，牢记相关知识点并能够灵活应用是解题关键．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：利用中心对称图形的概念可知：
A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
3. 已知x=1是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. ﹣4D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】把x=1代入方程，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得：1+m-5=0，
解得：m=4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 80°B. 76°C. 62°D. 52°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=38°，
∴∠BOC=2∠BAC=76°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A. y＝2.4（1+2x）B. y＝2.4（1-x）2
C. y＝2.4（1+x）2D. y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 当x＝2时，y有最小值是3C. 对称轴是D. 顶点坐标是（-2，3）
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，有最大值3，
故、、说法错误，说法正确，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点，当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题分两种情形讨论：当k=0时，判断此时方程是否有根；当k≠0时，根据判断判别式列出不等式求解即可.
【详解】解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为 ，符合题意；
当k≠0时，∵关于的方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
又k≠0，
∴ 且k≠0，
综上所述，当时，关于的方程有实数根.
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及分类讨论数学思想，进行分类讨论是解题的关键.
8. 若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A. 1B. -5C. -1D. -5或-1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】依题意可得
解得a=-5
故选B．
【点睛】此题主要考查二次函数的定义及特点，解题的关键是熟知二次函数二次项系数不为零．
9. 抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A. y2＜y1B. y1＜y2C. y2＜y1＜0D. y1＜y2＜0
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的开口方向，根据与对称轴的远近即可判断．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴直线越远，函数值越大，
∵A（﹣4，y1）与直线距离为，
B（2，y2）与直线的距离为，
∴点A到直线的距离比点B更远，则，
∵原抛物线中待定，则的符号也待定，无法判断正负，
∴只能判断出，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，理解并熟练运用利用二次函数的性质比较函数值大小的方法是解题关键．
10. 如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（ ）
A. 5B. 6C. 10D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理列方程即可．
【详解】解：如图所示，连接OB，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
则的半径长为，
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．
11. 如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点B（x，），构造方程+x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根据正方形的性质即可得到AC．
【详解】设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴AC=BO，+x=6，
解得（舍去），
∴B（2，4），
∴BO==，
∴AC=，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键．
12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，
，故此选项正确；
②当时，，故，错误；
③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且，
即，代入得，得，故此选项错误；
④当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，（其中，故此选项正确．
故①④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：利用根与系数的关系可知：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，，关键是要记住公式．
14. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】用列举法列出全部的等可能结果，共有3种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：随机地抽取一张卡片有，，共有种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的的结果有种，
抽取的卡片数字是负数的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能的结果，并且根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解是解决本题的关键．
15. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用矩形和旋转的性质，推出，，所以．
【详解】解：由题意可知：
，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，关键是利用旋转性质得到，再利用矩形的性质得．
16. 在半径为2的圆中，求内接正三边形的边长为_____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图，△ABC为圆O的内接正三角形，OB=2，
过点O作OD⊥BC于点D，连接OB、OC，则OB=OC，
则∠BOD=∠BOC=×2×∠A=60°，
则OD=OB=1，
则BD==，
则BC=2BD=2.
故答案为2.
17. 一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是 ___cm2．
【答案】
【解析】
【分析】利用底面圆的周长＝侧面半圆的弧长即可求得圆锥的底面半径，进而可求得底面积．
【详解】解：由题意可得：底面圆的周长＝侧面半圆的弧长，
∴＝，
解得：，
∴底面积（cm2），
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与底面圆之间的关系是解决本题的关键．
18. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．
【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝1，x2＝2．
【解析】
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，
则x＝＝＝﹣2，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，
(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，
(x﹣1)(x﹣2)＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程．
20. 如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．
【答案】（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【解析】
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；
（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
21. 如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
【答案】相切
【解析】
【详解】试题分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可
试题解析：
相切，理由如下：
过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
22. 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：
（1）抽到的数字有几种可能的结果？
（2）抽到的数字是1的概率是多少？
（3）抽到的数字会是0吗？
（4）抽到的数字小于6的概率是多少？
（5）抽到的数字不大于4的概率是多少？
【答案】（1）有五种可能的结果
（2）抽到的数字是1的概率是
（3）不可能 （4）抽到的数字小于6的概率是1
（5）抽到的数字不大于4的概率为
【解析】
【分析】（1）根据数字数量可以判断出结果；
（2）据概率公式解答就可求出抽到的数字是1的概率．
（3）纸团中没有数字0，故可得结论；
（4）由数字1，2，3，4，5均小于6可得结论；
（5）根据数字不大于4有4个，故可得结论．
【小问1详解】
解：共有五个数字，每个数字都有可能被抽到，所以有五种可能结果；
【小问2详解】
解：数字1，2，3，4，5中，数字1只有1个，
故抽到的数字是1的概率是；
【小问3详解】
解：数字1，2，3，4，5中，没有数字0，
故不可能抽到数字0；
【小问4详解】
解：∵数字1，2，3，4，5均小于6，
∴抽到的数字小于6的概率是1；
小问5详解】
解：∵数字1，2，3，4，5中，数字不大于4有1，2，3，4，共4个，
∴抽到的数字不大于4的概率是.
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）100；（2）y＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．
【解析】
【分析】（1）根据“实际销量＝原销售量+10×(销售单价－原计划销售单价)”列式计算即可；
（2）根据以上等量关系求函数关系式即可；
（3）根据“每月销售利润＝实际销售量×（实际售价﹣每件成本）”列出方程，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件），
故答案为：100；
（2）依题意得：，
∴y与x的函数关系式为y=－5x+550；
（3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数表达式，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若直径AB＝10，弦AC＝6，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）4．
【解析】
【详解】试题分析：连结OD，∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，得出OD∥AC，得到∠ODE＝90°，从而得证.
在Rt△AFO中，利用勾股定理：AF2＋OF2＝AO2，得出的长，四边形ODEF是矩形，从而得到的长.
试题解析：连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：作OF⊥AC，垂足为F．

在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，
∴32＋OF2＝52，
∴ OF＝4，
∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴DE＝OF＝4．
25. 如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；
（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，
【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．
【解析】
【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，即可求解；
（2）求出点A、C的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解．
【详解】解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，
则函数对称轴为：x＝﹣＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；
（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
AB=4，OC=3，
△ABC的面积为．
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．
【点睛】本题考查了求函数解析式和图象与坐标轴交点坐标，最短路径问题，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用对称性确定点P的位置．