2023-2024学年天津市河东区九年级上学期数学月考试卷及答案

这是一份2023-2024学年天津市河东区九年级上学期数学月考试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. 2x2﹣＝7B. xy＝9
C. x2＝4D. x2+y2＝0
【答案】C
【解析】
【分析】根据是否为整式方程对A进行判断；根据未知数的个数对B、D进行判断；根据一元二次方程的定义对C进行判断．
【详解】解： A、2x2﹣＝7不是整式方程，所以A选项错误；
B、xy＝8含有两个未知数，所以B选项错误；
C、x2＝4是一元二次方程，所以C选项正确；
D、x2+y2＝0含有两个未知数，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程；一元二次方程的一般式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）．
2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全平方公式表示即可．
【详解】解：，
∴，
即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
3. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ）
A. 3B. C. 0D. 0或3
【答案】B
【解析】
【分析】将代入一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
解方程得，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．．
4. 关于x的一元二次方程3x2﹣4x+8＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
△＝（﹣4）2﹣4×3×8
＝16﹣96
＝﹣80＜0，
∴该方程没有实数根，
故选D．
【点睛】考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
5. 已知函数是二次函数，则m的值为（）
A. ±2B. 2C. -2D. m为全体实数
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数定义列式求解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数
∴m-2≠0，，解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
6. 顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的a值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线相同，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x+2）2+3．
故选C．
【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线y=ax2+bx+c中，a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
7. 抛物线y=﹣x2+1的顶点坐标是（ ）
A. （0，1）B. （，1）C. （﹣，﹣1）D. （2，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线解析式写成顶点式即可.
【详解】解：y=﹣x2+1
=，
∴顶点坐标是(0，1).
故选A.
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标.
8. 二次函数y＝3（x﹣1）2+2最小值是（ ）
A. 2B. 1C. ﹣1D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【详解】解：由于（x﹣1）2≥0，
所以当x＝1时，函数取得最小值为2，
故选A．
【点睛】考查了二次函数的性质，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
9. 二次函数y=（x﹣1）2+2的图象可由y=x2的图象（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
【答案】D
【解析】
【详解】y=x2向右平移1个单位得到:y=x-1)2,再向上平移2个单位得到:y=x-1)2+2.所以选D.
10. 抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】因为点A和B的纵坐标都为0，所以可判定A，B是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．
【详解】∵抛物线与x轴的交点为(−1,0),(3,0)，
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x===1.
故答案选C.
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的性质.
11. 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？
这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A. 涨价后每件玩具的售价是元;B. 涨价后每天少售出玩具的数量是件C. 涨价后每天销售玩具的数量是件D. 可列方程为：
【答案】D
【解析】
【详解】A.涨价后每件玩具的售价是元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是件，正确；D.可列方程为：，错误，应为(30+x-20)(300-10x)=3750，故选D.
12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填空题
13. 若关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣7＝0是一元二次方程，则m的取值范围是_____．
【答案】m≠﹣1
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【详解】解：由题意，得m+1≠0．
解得m≠﹣1．
故答案是：m≠﹣1．
【点睛】利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14. 如果抛物线对称轴是y轴，那么m的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称轴公式可得，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15. 已知一元二次方程，则_________．
【答案】####
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16. 若实数a满足a2﹣2a＝3，则3a2﹣6a﹣8的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】先对已知进行变形，所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法即可求解．
【详解】解：∵a2﹣2a＝3，
∴3a2﹣6a﹣8＝3（a2﹣2a）﹣8＝3×3﹣8＝1，
∴3a2﹣6a﹣8的值为1．
故答案是：1.
【点睛】考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．要把a2-2a看作一个整体，整体代入即可求出答案．
17. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
【答案】12
【解析】
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
【详解】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
18. 如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【详解】连接AC,与对称轴交于点P,
此时DE+DF最小，
点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，

在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，
当时，或
即


点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=
DE+DF的最小值为：
故答案为
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
三、解答题
19. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），
【解析】
【分析】（1）方程开方即可求出解；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用配方法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【小问1详解】
解：开方得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：分解因式得：，
解得：，；
【小问3详解】
解：配方得：，
即，
开方得：，
解得：，；
【小问4详解】
解：方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
20. 已知关于x的方程的一个根是1． 求的值和方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根为
【解析】
【分析】将代入，即可求出k的值，再利用因式分解法解方程即得出其另一个根．
【详解】将，代入，得：，
解得：．
∴该方程为
∴，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
21. 已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，3）
（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式；
（2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标．
【答案】（1）， （2）（﹣2，3），（2，3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点（-2，3）代入解析式得到关于a的方程，然后解方程即可；
（2）把y=3代入解析式求出x的值即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（﹣2，3），
∴4a＝3，
∴a=，
∴二次函数的解析式为；
（2）∵抛物线上点的纵坐标为3，
∴3＝x2，
解得x＝±2，
∴此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为（﹣2，3），（2，3）．
【点睛】考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上．
22. 已知二次函数．
（1）求出函数图象顶点坐标；
（2）写出图象的对称轴；
（3）写出图象的开口方向；
（4）写出当自变量x取何值时，y随x的增大而减小．
【答案】（1）
（2）直线
（3）向上 （4）
【解析】
【分析】（1）将解析式化成顶点式求解即可；
（2）根据顶点式求解即可；
（3）根据，判断作答即可；
（4）根据二次函数的图象与性质作答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴函数图象顶点坐标；
【小问2详解】
解：由（1）可知，对称轴为直线；
【小问3详解】
解：由（1）可知，，
∴图象的开口向上；
【小问4详解】
解：由图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 已知，抛物线有经过两点，顶点为，求：
（1）求，的值：
（2）求的面积；
（3）写出抛物线与轴交点坐标
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用交点式得到，然后展开即可得到和的值；
（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可求得面积；
（3）将代入，即可求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
则点坐标为，
∵，
∴，
∴的面积；
【小问3详解】
解：∵
当时，
∴抛物线与轴交点坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，求抛物线与坐标轴交点问题，面积问题，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
24. 某学校计划利用一片空地建一个花面，花面为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米，另三面用总长米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为平方米．设垂直于墙的边长为x米，根据实际情况回答以下问题

（1）平行于墙的边长为____米（用含x代数式填空）
（2）这个花圃的长和宽分别应为多少米?
【答案】（1）
（2）这个花圃的长为米，宽为米．
【解析】
【分析】（1）设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
（2）根据花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解得的值，再结合墙的长度为米，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
故答案为：．
【小问2详解】
依题意，得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个花圃的长为米，宽为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25. 如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）存在，，，
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标．
【小问1详解】
解：将，代入中得
，
．
抛物线解析式为：；
【小问2详解】
存在．理由如下：
由题知、两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与交点即为点，此时周长最小，
，
的坐标为：，
直线解析式为：，
点坐标即为，
解得，
；
【小问3详解】
存在．理由如下：设点，，
，
若有最大值，则就最大，
，
，
当时，最大值，
最大，
当时，，
点坐标为，．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．