内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)

这是一份内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2、( )
A.B.C.D.
3、已知向量，，则( )
A.2B.3C.4D.5
4、若数列的首项为，且满足数列的前4项和( )
A.33B.45C.48D.78
5、设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2B.C.3D.
6、如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆.在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.B.C.D.
7、已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为( )
A.B.C.D.
8、在等差数列中，若是数列的前n项和，则的值为( )
A.48B.54C.60D.66
9、从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是( )
A.甲班数学成绩的中位数比乙班大
B.甲班数学成绩的平均值比乙班小
C.甲乙两班数学成绩的极差相等
D.甲班数学成绩的方差比乙班大
10、若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
11、曲线在点处的切线的斜率为( )
A.B.C.D.
12、已知是定义域为的奇函数，满足.若，则( )
A.-50B.0C.2D.50
二、填空题
13、在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是_________.
14、直线与圆交于A，B两点，则_________.
15、已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数解析式为__________.
16、设函数，则的单调递增区间为__________.
三、解答题
17、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
18、如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，
D是CB延长线上一点，且
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的大小.
19、随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
（1）求y关于t的回归方程.
（2）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.
附：回归方程中，.
20、已知椭圆的一个顶点为，焦距为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值.
21、设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值.
22、已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
23、已知函数.
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：，故，
故选：A.
2、答案：D
解析：解：.
故选：D.
3、答案：D
解析：因为，所以.
故选：D.
4、答案：D
解析：由，得，
故是首项为，公比为2的等比数列，
故，则，
所以数列的前4项和为.
故选：D.
5、答案：B
解析：由题意得，，则，
即点A到准线的距离为2，所以点A的横坐标为，
不妨设点A在x轴上方，代入得，，
所以.
故选：B.
6、答案：C
解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，连接，把下面的阴影部分平均分成两部分，然后利用位移割补法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分面积为：，
所以此点取自阴影部分的概率是：，
故选C.
7、答案：B
解析：依题意圆锥的底面半径，母线，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，
设铜球的半径为R，则，解得，
所以铜球的表面积.
故选：B.
8、答案：B
解析：数列为等差数列，
.
.
故选B.
9、答案：A
解析：甲班的数学成绩中位数为，乙班的数学成绩中位数为，甲班数学成绩的中位数比乙班大，A正确；
甲班的数学成绩的平均数为，
乙班的数学成绩的平均数为，
故甲班数学成绩的平均值比乙班大，B错误；
甲班的数学成绩的极差为，乙班的数学成绩的极差为，
故甲乙两班数学成绩的极差不相等，C错误；
从茎叶图中可以看出甲班的成绩更加的集中在平均数71.4的附近，而乙班的成绩更分散，没有集中到平均数70.6的附近，
故甲班数学成绩的方差比乙班小，D错误.
故选：A.
10、答案：B
解析：，则，，
则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B.
11、答案：B
解析：
把代入得导数值为，即为所求切线的斜率.
故选：B
12、答案：C
解析：是奇函数，且，
，
，
，
即函数是周期为4的周期函数，
，
，，
，，
函数是周期为4的周期函数
则.
故选：C.
13、答案：/0.7
解析：在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生值日，则有种，
其中至少有1名女生的情况有中，
所以至少有1名女生的概率为：.
故答案为：.
14、答案：
解析：［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用
根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，
弦心距，所以.
故答案为：.
［方法二］：距离公式的应用
由解得：或，不妨设，，
所以.
故答案为：.
［方法三］：参数方程的应用
直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，，
所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：由图象得，又，，
所以，
点，代入解析式得：，
，，
因为，所以，所以，
故答案为：.
16、答案：
解析：，则
令，则
的单调递增区间为
故答案为：.
17、答案：(1)证明见解析
(2)的周长为14
解析：(1)证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以.
(2)解：因为，，
由(1)得，
由余弦定理可得，则，
所以，故，
所以的周长为.
18、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），又，
四边形是平行四边形，
又平面，平面，
直线平面
（2）过B作于E，连结，
平面，
是二面角的平面角.
，是的中点，，
在中，，
，即二面角的大小为.
19、
（1）答案：
解析：列表计算如下
这里，，.
又，.
从而，.
故所求回归方程为.
（2）答案：千亿元
解析：将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
20、
（1）答案：
解析：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）答案：
解析：依题意过点的直线为，
设、，
不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
21、答案：（1）函数在上单调递增；在上单调递减
（2）在区间上的最大值为，最小值为
解析：（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.
22、
（1）答案：；
解析：直线的参数方程为，消去t可得；
圆C的参数方程为，两式平方相加可得；
（2）答案：
解析：因为，所以圆心，半径.
由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离.
直线l与圆C有公共点，，即，
解得，即.
23、答案：（1）
（2）
解析：（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上的点到1和-3的距离之和，
则表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6，
当或时所对应的数轴上的点到1，-3所对应的点距离之和等于6，
数轴上到1，-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当时，.
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得.
综上，的解集为.
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以a的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值，
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解.
当时，
则，此时，由得，.
综上，a的取值范围为.
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则.
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10
i
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
15
36
55
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