哈师大附中2021级高三第三次调研考试数学试题含答案解析

这是一份哈师大附中2021级高三第三次调研考试数学试题含答案解析，共6页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（共8个小题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分）
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A．－2B．－1C．6D．2
2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
3. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则B．
C．若，，，则D． 若，，则
4. 在数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
5. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6. 已知两个非零向量与，定义，其中θ为与的夹角，若，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．2 D．
7. 已知正项等比数列中，，则（ ）
A．1012B．2024C．D．
8. 如图正方体的棱长为1，分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D．
10. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A．面积的最大值是
B．
C．
D．面积的最大值是
12. 在棱长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过三点的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D． 是边的中点，是边的中点，过三点的截面是六边形
三、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）
13. 函数的定义域为 .
14. ，，且，则的夹角为 .
15. 在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
16. 若是公差不为0的等差数列，成等比数列，，为的前项和，则的值为 ．
四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）
17.在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边，
（1）求A的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围.
18．已知数列中，，
（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
19．，是正项等比数列．且， 且，
（1）求的通项公式；
（2） 设，求数列的前n项和
20.如图，四棱锥的底面是矩形，，，M为的中点，
（1）证明：底面
（2）若，求二面角的正弦值．
21．已知双曲线：过点，右焦点为，左顶点为
（1）求双曲线的方程
（2）动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.
22．已知，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）证明存在唯一的极值点
（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
哈师大附中2021级高三第三次调研考试数学试题答案
一、选择题
1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C
二、多选题
9 ABD 10 ABC 11 AB 12 AD
三、填空题
13 14 0 15 16
四、解答题
17.在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边，
（1）求A的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围.
（1）
由余弦定理
（2）
∵△ABC是锐角三角形
∴的取值范围是
18．已知数列中，，
(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
（1）
又∴是首项为，公差为1的等差数列
（2）
19．，是正项等比数列．且， 且，
(1)求的通项公式；
(2) 设，求数列的前n项和
（1），是正项等比数列，设的公比为
又
(2)时，，
时，，
20.如图，四棱锥的底面是矩形，，，M为的中点，
（1）证明：底面
（2）若，求二面角的正弦值．
（1）设交于点，，M为的中点
则
又，
又，
∴底面
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，．
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,
，取；
，取；
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
21．已知双曲线：过点，右焦点为，
(1)求双曲线的方程
(2)双曲线左顶点为，动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.
(1)
(2)设，，则满足
消去得，
由韦达定理，，
过A引的垂线交C于另一点H，则AH的方程为.
代入得，即（舍去）或.
所以点H为.
所以，
故为的垂心，得证.
22．已知，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）证明存在唯一的极值点
（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
（1）， ，
在点处的切线方程是
（2）令
，在上递增
又，有唯一零点t
当时， ，单调递减，
当时， ，单调递增
所以存在唯一的极小值点t
（3）若存在a，使得对任意成立，则
令
若存在a，使得对任意成立，等价于存在t，使得
，，当时， ，单调递减，
当时， ，单调递增
综上所述，实数b的取值范围.