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小学数学四 解决问题达标测试
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这是一份小学数学四 解决问题达标测试，共27页。
【思维导图】
【知识锦囊】
【典例精讲】
【典例一】用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示的规律铺地面，则第6个图形有( )块地砖，第n个图形有( )块白色地砖。
【分析】第1个图形，黑色地砖有1块，白色地砖有2＋4＝6（块）；第2个图形，黑色地砖有2块，白色地砖有2＋4×2＝10（块）；第3个图形，黑色地砖有3块，白色地砖有2＋4×3＝14（块）；……由此发现：第n个图形，黑色地砖有n块，白色地砖有（2＋4n）块。第6个图形有6块黑色地砖，有（2＋4×6）块白色地砖，二者相加可求出一共的地砖块数。
【详解】6＋（2＋4×6）
＝6＋（2＋24）
＝6＋26
＝32（块）
所以，第6个图形有32块地砖，第n个图形有（2＋4n）块白色地砖。
【分析】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
【典例二】如图，用小棒摆三角形。
(1)摆4个这样的三角形，要( )根小棒。
(2)像这样摆下去，摆n个这样的三角形，要( )根小棒。
【分析】第1个图形需要1＋2＝3（根）小棒；第2个图形需要1＋2×2＝5（根）小棒；第3个图形需要1＋2×3＝7（根）小棒；第4个图形需要1＋2×4＝9（根）小棒；……由此发现：第n个图形需要（1＋2n）根小棒。
【详解】（1）1＋2×4
＝1＋8
＝9（根）
所以摆4个这样的三角形，要9根小棒。
（2）通过观察发现：第几个图形就需要1与几个2的和根小棒。所以摆n个这样的三角形，要（1＋2n）根小棒。
【分析】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
【典例三】先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。
前2个奇数的和：（ ）
前3个奇数的和：（ ）
前4个奇数的和：（ ）
前5个奇数的和：（ ）
……
（1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。
（2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。
【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律；
（1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答；
（2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4）
前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9）
前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16）
前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25）
（1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。
（2）前n个奇数的和的规律为：n2
当n＝86，86×86＝7396
【分析】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。
【真题演练】
一、解答题
1．（2023秋·湖南湘西·六年级统考期末）观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。
2．（2022·福建南平·统考小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如：
6×6＝36
5×7＝35
4×8＝32
3×9＝27
(1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。
(2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？
(3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（ ）。
A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1
B．（a＋1）×（a－1）＝a2
C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1
D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2
(4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。
3．（2022秋·贵州遵义·六年级统考期末）像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？
4．（2022秋·陕西渭南·六年级统考期末）画一画，填一填。
（1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。
（2）这样排列下去，第5个图形有（ ）个点，第10个图形的方框里有（ ）个点。
5．（2022秋·福建福州·六年级统考期末）探究与发现。
请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。
（1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。
（2）根据规律把算式补充完整。
①（ ）；
②（ ）。
6．（2021秋·河南漯河·六年级统考期末）下面每个图形中灰色小正方形有多少个？
（1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。
（2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（ ）个灰色小正方形。
7．（2022秋·河南漯河·六年级统考期末）用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
8．（2022春·云南玉溪·六年级统考期末）先观察，再画一画，填一填。
（1）按照上面的规律画出第4个和第5个图形。
（2）照这样的规律：第6个图形中共有（ ）个白色小正方形，第n个图形中共有（ ）个黑色小正方形。
9．（2022春·河北保定·六年级统考期末）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。
（1）找规律画出图形⑤。
（2）根据前面的图形把表格补充完整。
10．（2022春·浙江温州·六年级期末）某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。
■□□□□→1；□■□□□→2；■■■□□→7＝1＋2＋4；■□■□■→21＝1＋4＋16
（1）通过观察比较发现：5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是（ ）。
（2）根据上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果）
□□■■■→（ ）■■□■□→（ ）
（3）根据下面数的大小，涂出相应红灯的位置。
□□□□□→6 □□□□□→13
11．（2022秋·山东菏泽·六年级统考期末）通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。
（1）大正方形的边长可表示出为：（ ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（ ） ；
（2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？
（3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？
12．（2022·宁夏银川·统考小升初真题）观察图，请提出有深度的数学问题或猜想。
……
13．（2022秋·河南南阳·六年级统考期末）笑笑用水果卡片摆成下面的“T”字，照这样摆下去，第10个“T”字要用多少张水果卡片？
14．（2022·河南郑州·校联考小升初真题）下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。
（1）这个相等的和等于______；
（2）在图中将所有的□填完整。
15．（2022·湖北孝感·统考小升初真题）找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
16．（2023秋·云南昆明·六年级校考期末）按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。
17．（2023秋·山东济南·六年级统考期末）回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。
18．（2023秋·湖南益阳·六年级统考期末）先画出第五个图形，再填空：第10个方框里有 个点，第n个方框里有 个点。
19．（2022秋·浙江嘉兴·六年级统考期末）聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：
（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。
（__________＋__________）×（___________－_________）
（2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？
（3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米）
20．（2023秋·浙江杭州·六年级统考期末）李乐用吸管和图钉做三角形图案。（如下图，点表示图钉，线段表示吸管）
（1）请根据做三角形图案时，三角形与吸管、图钉的数量关系填写下表。
（2）照这样做，用36个图钉时做成的图案中有（ ）个三角形，用了（ ）根吸管。
（3）三角形个数、吸管根数、图钉数量之间有什么关系？选择其中两个，试着写出它们的数量关系。
参考答案
1．见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6
【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。
【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下：
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21
【分析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。
2．(1)7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40
(2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
(3)C
(4)4088483
【分析】根据算式的规律，可以发现：
6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1；
6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22；
6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32；
据此结合题意解答即可。
【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式：
7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40（答案不唯一）
（2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
（3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1
故答案为：C
（4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则：
2021×2023
＝2022×2022－1
＝4088484－1
＝4088483
【分析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。
3．21根；（2n＋1）根
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。
【详解】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根
当n＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
4．（1）；1＋4×3
（2）17；37
【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。
（2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。
【详解】由分析可得：
（1）如图：
点子数量关系式：1＋4×3
（2）第n个图形圆点的个数是：
1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝4n－3（个）
n＝5时
4×5－3
＝20－3
＝17（个）
n＝10时
4×10－3
＝40－3
＝37（个）
【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
5．（1）见详解；
（2）①2＋4＋6＋8＋10；
②50×51
【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积；
（2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10；
②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。
【详解】（1）
（2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6；
②50×51。
【分析】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。
6．（1）；；见详解；（2）41
【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。
（2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。
【详解】（1）
（2）2×20＋1
＝40＋1
＝41（个）
第20幅图形中有41个灰色小正方形。
【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．（1）见详解；
（2）50；7n＋1
【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒……
（2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。
【详解】（1）分析可知：
（2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
当n＝7时。
7n＋1
＝7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
【分析】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
8．（1）见详解
（2）6；
【分析】（1）第1个图形一共有（3×3）个小正方形，有1个白色小正方形，有（3×3－1）个黑色小正方形；
第2个图形一共有（3×4）个小正方形，有2个白色小正方形，有（3×4－2）个黑色小正方形；
第3个图形一共有（3×5）个小正方形，有3个白色小正方形，有（3×5－3）个黑色小正方形；
第4个图形一共有（3×6）个小正方形，有4个白色小正方形，有（3×6－4）个黑色小正方形；
第5个图形一共有（3×7）个小正方形，有5个白色小正方形，有（3×7－5）个黑色小正方形；
据此画出第4个和第5个图形。
（2）第6个图形一共有（3×8）个小正方形，有6个白色小正方形，有（3×8－6）个黑色小正方形；
第n个图形一共有3（n＋2）＝（3n＋6）个小正方形，有n个白色小正方形，有3n＋6－n＝（2n＋6）个黑色小正方形。
【详解】（1）3×6－4
＝18－4
＝14（个）
第4个图形有4个白色小正方形，有14个黑色小正方形。
如图：
3×7－5
＝21－5
＝16（个）
第5个图形有5个白色小正方形，有16个黑色小正方形。
如图：
（2）3×8－6
＝24－6
＝18（个）
第6个图形有6个白色小正方形，有18个黑色小正方形；
3（n＋2）＝（3n＋6）个
3n＋6－n＝（2n＋6）个
第n个图形中共有（2n＋6）个黑色小正方形。
【分析】分析图形找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键。
9．（1）见详解
（2）面积：2.5、3.75。
周长：8、10。
【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；
（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。
【详解】（1）图形⑤如图所示：
（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）
周长是：0.5×4×4＝8（厘米）
第⑤图形的面积为：
0.5×0.5×15
＝0.25×15
＝3.75（平方厘米）
0.5×5×4
＝2.5×4
＝10（厘米）
【分析】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。
10．（1）4；（2）28；11；（3）见详解
【分析】（1）由已知的四种情况可知有以下规律：左起第一盏发出红光表示1，后面每一盏灯发出红光时表示的数是前一盏灯的2倍，当几盏灯同时发出红光时表示的数是这几盏灯分别表示的数的和；
（2）根据第（1）题的规律，第1个涂色表示1，第2个涂色表示2，第3个涂色表示4，第4个涂色表示8，第5个涂色表示16，根据此规律按题目要求把已经涂色的红灯表示的数相加即可得解；
（3）根据6＝2＋4，把第2个和第3个涂色，根据13＝1＋4＋8，把第1个、第3个和第4个方框涂色，据此解答即可。
【详解】（1）1×2＝2
2×2＝4
4×2＝8
8×2＝16
所以5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是4。
（2）4＋8＋16＝28
1＋2＋8＝11
所以□□■■■→28，■■□■□→11。
（3）6＝2＋4
13＝1＋4＋8
所以发红光的灯的位置如下：
□■■□□→6
■□■■□→13
【分析】解答此题的关键在于通过已知的例子找出每盏灯发红光时表示的数，再根据规律解答。
11．（1）a＋b；（a＋b）2；
（2）这四个图形的面积和是a2＋b2＋2ab；
（3）我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。
【分析】（1）由图可知大正方形的边长为（a＋b），根据正方形的面积公式S＝a²，即可用字母表示出大正方形的面积；
（2）根据长方形的面积公式S＝a×b，正方形的面积公式S＝a²，分别求出两个小长方形①和②的面积，两个小正方形③和④的面积，再将这四个图形的面积相加即可解答；
（3）通过观察图形，可知大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，用字母表示出来即可。
【详解】（1）大正方形的边长为（a＋b）；用字母表示大正方形的面积是：（a＋b）²。
（2）①的面积a×b＝ab
②的面积a×b＝ab
③的面积a×a＝a²
④的面积b×b＝b²
ab＋ab＋a²＋b²＝a²＋b²＋2ab
答：两个长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是a²＋b²＋2ab。
（3）答：我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：
（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。
【分析】本题主要考查用字母表示数和探索图形的规律。
12．见详解
【分析】观察图形发现，阴影部分越来越少，且都是前一个图阴影部分的一半，用整体的单位“1”，减去空白部分占整体的几分之几求出阴影部分占了整体的几分之几，据此思考并解答。
【详解】1－＝
1－－＝
1－－－＝
……
猜想：1－－－－…－＝
（答案不唯一）
【分析】本题考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律解答。
13．32张
【分析】由图可知，第1个图形有（2＋3）张水果卡片，第2个图形有（2＋3＋3）张水果卡片，第3个图形有（2＋3＋3＋3）张水果卡片……相邻的图片中后面一个图形比前面一个图形多3张水果卡片，第n个图形有（2＋3n）张水果卡片，据此解答。
【详解】
第1个图形水果卡片的张数：2＋3＝5（张）
第2个图形水果卡片的张数：2＋3＋3＝8（张）
第3个图形水果卡片的张数：2＋3＋3＋3＝11（张）
……
第n个图形水果卡片的张数：（2＋3n）张
当n＝10时
2＋3n＝2＋3×10＝2＋30＝32（张）
答：第10个“T”字要用32张水果卡片。
【分析】分析图形找出水果卡片数量变化的规律是解答题目的关键。
14．（1）14
（2）见详解
【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求；
（2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。
【详解】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3
＝21×2÷3
＝14
（2）如图所示：
【分析】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。
15．（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【分析】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
16．28个
【分析】第1个图有：1个；
第2个图有：3个，3＝1＋2；
第3个图有：6个，6＝1＋2＋3；
第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。
当n＝7时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝（1＋7）×7÷2
＝8×7÷2
＝28（个）
答：第七个图有28个。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
17．48个
【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）；
第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）；
第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）；
……
第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2；
【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11，
132－112
＝169－121
＝48（个）
答：第6个图形最外圈有48个小正方形。
【分析】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。
18．见详解；37；1＋4（n－1）
【分析】第1个图形，1个点；
第2个图形，5个点，5＝1＋4＝1＋4×（2－1）；
第3个图形，9个点，9＝1＋4×2＝1＋4×（3－1）；
第4个图形，13个点，13＝1＋4×3＝1＋4×（4－1）；
……
第n个图形的点数是1＋4（n－1）个；
据此规律解答。
【详解】第五个图形有（1＋4×4）个点。
如图：
第n个方框里有1＋4（n－1）个点。
当n＝10时
1＋4（n－1）
＝1＋4×（10－1）
＝1＋4×9
＝1＋36
＝37（个）
第10个方框里有37个点，第n个方框里有1＋4（n－1）个点。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
19．（1）15；5；15；5
（2）见详解
（3）141.3平方厘米
【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。
（2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。
（3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。
【详解】（1）
（2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。
（3）×3.14×14.52－×3.14×5.52
＝×3.14×（14.52－5.52）
＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5）
＝×3.14×20×9
＝3.14×45
＝141.3（平方厘米）
【分析】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。
20．（1）11；7
（2）34；69
（3）见详解
【分析】（1）观察表格中的数据，三角形个数分别是1、2、3、4、……，吸管的根数分别是3、5、7、9、……，图钉的数量分别是3、4、5、6、……；发现规律：三角形的个数每次增加1，则吸管的根数每次增加2，图钉的数量每次增加1；由此规律把表格补充完整。
（2）由上一题的规律推出用36个图钉时做成的图案中三角形的个数、吸管的根数。
（3）从表格中选择任意两组数据，找出三角形个数、吸管根数、图钉数量之间的关系。
【详解】（1）如下表：
（2）用36个图钉时做成的图案中有34个三角形，用了69根吸管。
（3）选择表格中的第二组、第三组数据；
当三角形的个数为2时，吸管的根数为5，5＝2×2＋1；图钉的数量为4，4＝2＋2；
当三角形的个数为3时，吸管的根数为7，7＝2×3＋1；图钉的数量为5，5＝3＋2；
得出规律：
吸管的根数＝三角形个数×2＋1；图钉的数量＝三角形个数＋2。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。……
①2＝1×2
②2＋4＝2×3
③2＋4＋6＝3×4
④2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ）
图形
①
②
③
④
⑤
面积/
0.25
0.75
1.5
（ ）
（ ）
周长/cm
2
4
6
（ ）
（ ）
三角形个数
1
2
3
4
5
…
吸管的根数
3
5
7
9
（ ）
…
图钉的数量
3
4
5
6
（ ）
…
……
①2＝1×2
②2＋4＝2×3
③2＋4＋6＝3×4
④2＋4＋6＋8＝4×5
三角形个数
1
2
3
4
5
…
吸管的根数
3
5
7
9
11
…
图钉的数量
3
4
5
6
7
…
【思维导图】
【知识锦囊】
【典例精讲】
【典例一】用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示的规律铺地面，则第6个图形有( )块地砖，第n个图形有( )块白色地砖。
【分析】第1个图形，黑色地砖有1块，白色地砖有2＋4＝6（块）；第2个图形，黑色地砖有2块，白色地砖有2＋4×2＝10（块）；第3个图形，黑色地砖有3块，白色地砖有2＋4×3＝14（块）；……由此发现：第n个图形，黑色地砖有n块，白色地砖有（2＋4n）块。第6个图形有6块黑色地砖，有（2＋4×6）块白色地砖，二者相加可求出一共的地砖块数。
【详解】6＋（2＋4×6）
＝6＋（2＋24）
＝6＋26
＝32（块）
所以，第6个图形有32块地砖，第n个图形有（2＋4n）块白色地砖。
【分析】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
【典例二】如图，用小棒摆三角形。
(1)摆4个这样的三角形，要( )根小棒。
(2)像这样摆下去，摆n个这样的三角形，要( )根小棒。
【分析】第1个图形需要1＋2＝3（根）小棒；第2个图形需要1＋2×2＝5（根）小棒；第3个图形需要1＋2×3＝7（根）小棒；第4个图形需要1＋2×4＝9（根）小棒；……由此发现：第n个图形需要（1＋2n）根小棒。
【详解】（1）1＋2×4
＝1＋8
＝9（根）
所以摆4个这样的三角形，要9根小棒。
（2）通过观察发现：第几个图形就需要1与几个2的和根小棒。所以摆n个这样的三角形，要（1＋2n）根小棒。
【分析】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
【典例三】先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。
前2个奇数的和：（ ）
前3个奇数的和：（ ）
前4个奇数的和：（ ）
前5个奇数的和：（ ）
……
（1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。
（2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。
【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律；
（1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答；
（2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4）
前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9）
前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16）
前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25）
（1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。
（2）前n个奇数的和的规律为：n2
当n＝86，86×86＝7396
【分析】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。
【真题演练】
一、解答题
1．（2023秋·湖南湘西·六年级统考期末）观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。
2．（2022·福建南平·统考小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如：
6×6＝36
5×7＝35
4×8＝32
3×9＝27
(1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。
(2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？
(3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（ ）。
A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1
B．（a＋1）×（a－1）＝a2
C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1
D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2
(4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。
3．（2022秋·贵州遵义·六年级统考期末）像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？
4．（2022秋·陕西渭南·六年级统考期末）画一画，填一填。
（1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。
（2）这样排列下去，第5个图形有（ ）个点，第10个图形的方框里有（ ）个点。
5．（2022秋·福建福州·六年级统考期末）探究与发现。
请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。
（1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。
（2）根据规律把算式补充完整。
①（ ）；
②（ ）。
6．（2021秋·河南漯河·六年级统考期末）下面每个图形中灰色小正方形有多少个？
（1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。
（2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（ ）个灰色小正方形。
7．（2022秋·河南漯河·六年级统考期末）用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
8．（2022春·云南玉溪·六年级统考期末）先观察，再画一画，填一填。
（1）按照上面的规律画出第4个和第5个图形。
（2）照这样的规律：第6个图形中共有（ ）个白色小正方形，第n个图形中共有（ ）个黑色小正方形。
9．（2022春·河北保定·六年级统考期末）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。
（1）找规律画出图形⑤。
（2）根据前面的图形把表格补充完整。
10．（2022春·浙江温州·六年级期末）某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。
■□□□□→1；□■□□□→2；■■■□□→7＝1＋2＋4；■□■□■→21＝1＋4＋16
（1）通过观察比较发现：5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是（ ）。
（2）根据上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果）
□□■■■→（ ）■■□■□→（ ）
（3）根据下面数的大小，涂出相应红灯的位置。
□□□□□→6 □□□□□→13
11．（2022秋·山东菏泽·六年级统考期末）通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。
（1）大正方形的边长可表示出为：（ ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（ ） ；
（2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？
（3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？
12．（2022·宁夏银川·统考小升初真题）观察图，请提出有深度的数学问题或猜想。
……
13．（2022秋·河南南阳·六年级统考期末）笑笑用水果卡片摆成下面的“T”字，照这样摆下去，第10个“T”字要用多少张水果卡片？
14．（2022·河南郑州·校联考小升初真题）下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。
（1）这个相等的和等于______；
（2）在图中将所有的□填完整。
15．（2022·湖北孝感·统考小升初真题）找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；
②若，则正整数m等于（ ）。
16．（2023秋·云南昆明·六年级校考期末）按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。
17．（2023秋·山东济南·六年级统考期末）回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。
18．（2023秋·湖南益阳·六年级统考期末）先画出第五个图形，再填空：第10个方框里有 个点，第n个方框里有 个点。
19．（2022秋·浙江嘉兴·六年级统考期末）聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：
（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。
（__________＋__________）×（___________－_________）
（2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？
（3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米）
20．（2023秋·浙江杭州·六年级统考期末）李乐用吸管和图钉做三角形图案。（如下图，点表示图钉，线段表示吸管）
（1）请根据做三角形图案时，三角形与吸管、图钉的数量关系填写下表。
（2）照这样做，用36个图钉时做成的图案中有（ ）个三角形，用了（ ）根吸管。
（3）三角形个数、吸管根数、图钉数量之间有什么关系？选择其中两个，试着写出它们的数量关系。
参考答案
1．见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6
【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。
【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下：
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21
【分析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。
2．(1)7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40
(2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
(3)C
(4)4088483
【分析】根据算式的规律，可以发现：
6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1；
6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22；
6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32；
据此结合题意解答即可。
【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式：
7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40（答案不唯一）
（2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
（3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1
故答案为：C
（4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则：
2021×2023
＝2022×2022－1
＝4088484－1
＝4088483
【分析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。
3．21根；（2n＋1）根
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。
【详解】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根
当n＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
4．（1）；1＋4×3
（2）17；37
【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。
（2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。
【详解】由分析可得：
（1）如图：
点子数量关系式：1＋4×3
（2）第n个图形圆点的个数是：
1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝4n－3（个）
n＝5时
4×5－3
＝20－3
＝17（个）
n＝10时
4×10－3
＝40－3
＝37（个）
【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
5．（1）见详解；
（2）①2＋4＋6＋8＋10；
②50×51
【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积；
（2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10；
②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。
【详解】（1）
（2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6；
②50×51。
【分析】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。
6．（1）；；见详解；（2）41
【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。
（2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。
【详解】（1）
（2）2×20＋1
＝40＋1
＝41（个）
第20幅图形中有41个灰色小正方形。
【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．（1）见详解；
（2）50；7n＋1
【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒……
（2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。
【详解】（1）分析可知：
（2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
当n＝7时。
7n＋1
＝7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
【分析】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
8．（1）见详解
（2）6；
【分析】（1）第1个图形一共有（3×3）个小正方形，有1个白色小正方形，有（3×3－1）个黑色小正方形；
第2个图形一共有（3×4）个小正方形，有2个白色小正方形，有（3×4－2）个黑色小正方形；
第3个图形一共有（3×5）个小正方形，有3个白色小正方形，有（3×5－3）个黑色小正方形；
第4个图形一共有（3×6）个小正方形，有4个白色小正方形，有（3×6－4）个黑色小正方形；
第5个图形一共有（3×7）个小正方形，有5个白色小正方形，有（3×7－5）个黑色小正方形；
据此画出第4个和第5个图形。
（2）第6个图形一共有（3×8）个小正方形，有6个白色小正方形，有（3×8－6）个黑色小正方形；
第n个图形一共有3（n＋2）＝（3n＋6）个小正方形，有n个白色小正方形，有3n＋6－n＝（2n＋6）个黑色小正方形。
【详解】（1）3×6－4
＝18－4
＝14（个）
第4个图形有4个白色小正方形，有14个黑色小正方形。
如图：
3×7－5
＝21－5
＝16（个）
第5个图形有5个白色小正方形，有16个黑色小正方形。
如图：
（2）3×8－6
＝24－6
＝18（个）
第6个图形有6个白色小正方形，有18个黑色小正方形；
3（n＋2）＝（3n＋6）个
3n＋6－n＝（2n＋6）个
第n个图形中共有（2n＋6）个黑色小正方形。
【分析】分析图形找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键。
9．（1）见详解
（2）面积：2.5、3.75。
周长：8、10。
【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；
（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。
【详解】（1）图形⑤如图所示：
（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）
周长是：0.5×4×4＝8（厘米）
第⑤图形的面积为：
0.5×0.5×15
＝0.25×15
＝3.75（平方厘米）
0.5×5×4
＝2.5×4
＝10（厘米）
【分析】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。
10．（1）4；（2）28；11；（3）见详解
【分析】（1）由已知的四种情况可知有以下规律：左起第一盏发出红光表示1，后面每一盏灯发出红光时表示的数是前一盏灯的2倍，当几盏灯同时发出红光时表示的数是这几盏灯分别表示的数的和；
（2）根据第（1）题的规律，第1个涂色表示1，第2个涂色表示2，第3个涂色表示4，第4个涂色表示8，第5个涂色表示16，根据此规律按题目要求把已经涂色的红灯表示的数相加即可得解；
（3）根据6＝2＋4，把第2个和第3个涂色，根据13＝1＋4＋8，把第1个、第3个和第4个方框涂色，据此解答即可。
【详解】（1）1×2＝2
2×2＝4
4×2＝8
8×2＝16
所以5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是4。
（2）4＋8＋16＝28
1＋2＋8＝11
所以□□■■■→28，■■□■□→11。
（3）6＝2＋4
13＝1＋4＋8
所以发红光的灯的位置如下：
□■■□□→6
■□■■□→13
【分析】解答此题的关键在于通过已知的例子找出每盏灯发红光时表示的数，再根据规律解答。
11．（1）a＋b；（a＋b）2；
（2）这四个图形的面积和是a2＋b2＋2ab；
（3）我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。
【分析】（1）由图可知大正方形的边长为（a＋b），根据正方形的面积公式S＝a²，即可用字母表示出大正方形的面积；
（2）根据长方形的面积公式S＝a×b，正方形的面积公式S＝a²，分别求出两个小长方形①和②的面积，两个小正方形③和④的面积，再将这四个图形的面积相加即可解答；
（3）通过观察图形，可知大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，用字母表示出来即可。
【详解】（1）大正方形的边长为（a＋b）；用字母表示大正方形的面积是：（a＋b）²。
（2）①的面积a×b＝ab
②的面积a×b＝ab
③的面积a×a＝a²
④的面积b×b＝b²
ab＋ab＋a²＋b²＝a²＋b²＋2ab
答：两个长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是a²＋b²＋2ab。
（3）答：我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：
（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。
【分析】本题主要考查用字母表示数和探索图形的规律。
12．见详解
【分析】观察图形发现，阴影部分越来越少，且都是前一个图阴影部分的一半，用整体的单位“1”，减去空白部分占整体的几分之几求出阴影部分占了整体的几分之几，据此思考并解答。
【详解】1－＝
1－－＝
1－－－＝
……
猜想：1－－－－…－＝
（答案不唯一）
【分析】本题考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律解答。
13．32张
【分析】由图可知，第1个图形有（2＋3）张水果卡片，第2个图形有（2＋3＋3）张水果卡片，第3个图形有（2＋3＋3＋3）张水果卡片……相邻的图片中后面一个图形比前面一个图形多3张水果卡片，第n个图形有（2＋3n）张水果卡片，据此解答。
【详解】
第1个图形水果卡片的张数：2＋3＝5（张）
第2个图形水果卡片的张数：2＋3＋3＝8（张）
第3个图形水果卡片的张数：2＋3＋3＋3＝11（张）
……
第n个图形水果卡片的张数：（2＋3n）张
当n＝10时
2＋3n＝2＋3×10＝2＋30＝32（张）
答：第10个“T”字要用32张水果卡片。
【分析】分析图形找出水果卡片数量变化的规律是解答题目的关键。
14．（1）14
（2）见详解
【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求；
（2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。
【详解】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3
＝21×2÷3
＝14
（2）如图所示：
【分析】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。
15．（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【分析】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
16．28个
【分析】第1个图有：1个；
第2个图有：3个，3＝1＋2；
第3个图有：6个，6＝1＋2＋3；
第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。
当n＝7时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝（1＋7）×7÷2
＝8×7÷2
＝28（个）
答：第七个图有28个。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
17．48个
【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）；
第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）；
第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）；
……
第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2；
【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11，
132－112
＝169－121
＝48（个）
答：第6个图形最外圈有48个小正方形。
【分析】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。
18．见详解；37；1＋4（n－1）
【分析】第1个图形，1个点；
第2个图形，5个点，5＝1＋4＝1＋4×（2－1）；
第3个图形，9个点，9＝1＋4×2＝1＋4×（3－1）；
第4个图形，13个点，13＝1＋4×3＝1＋4×（4－1）；
……
第n个图形的点数是1＋4（n－1）个；
据此规律解答。
【详解】第五个图形有（1＋4×4）个点。
如图：
第n个方框里有1＋4（n－1）个点。
当n＝10时
1＋4（n－1）
＝1＋4×（10－1）
＝1＋4×9
＝1＋36
＝37（个）
第10个方框里有37个点，第n个方框里有1＋4（n－1）个点。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
19．（1）15；5；15；5
（2）见详解
（3）141.3平方厘米
【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。
（2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。
（3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。
【详解】（1）
（2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。
（3）×3.14×14.52－×3.14×5.52
＝×3.14×（14.52－5.52）
＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5）
＝×3.14×20×9
＝3.14×45
＝141.3（平方厘米）
【分析】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。
20．（1）11；7
（2）34；69
（3）见详解
【分析】（1）观察表格中的数据，三角形个数分别是1、2、3、4、……，吸管的根数分别是3、5、7、9、……，图钉的数量分别是3、4、5、6、……；发现规律：三角形的个数每次增加1，则吸管的根数每次增加2，图钉的数量每次增加1；由此规律把表格补充完整。
（2）由上一题的规律推出用36个图钉时做成的图案中三角形的个数、吸管的根数。
（3）从表格中选择任意两组数据，找出三角形个数、吸管根数、图钉数量之间的关系。
【详解】（1）如下表：
（2）用36个图钉时做成的图案中有34个三角形，用了69根吸管。
（3）选择表格中的第二组、第三组数据；
当三角形的个数为2时，吸管的根数为5，5＝2×2＋1；图钉的数量为4，4＝2＋2；
当三角形的个数为3时，吸管的根数为7，7＝2×3＋1；图钉的数量为5，5＝3＋2；
得出规律：
吸管的根数＝三角形个数×2＋1；图钉的数量＝三角形个数＋2。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。……
①2＝1×2
②2＋4＝2×3
③2＋4＋6＝3×4
④2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ）
图形
①
②
③
④
⑤
面积/
0.25
0.75
1.5
（ ）
（ ）
周长/cm
2
4
6
（ ）
（ ）
三角形个数
1
2
3
4
5
…
吸管的根数
3
5
7
9
（ ）
…
图钉的数量
3
4
5
6
（ ）
…
……
①2＝1×2
②2＋4＝2×3
③2＋4＋6＝3×4
④2＋4＋6＋8＝4×5
三角形个数
1
2
3
4
5
…
吸管的根数
3
5
7
9
11
…
图钉的数量
3
4
5
6
7
…
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