2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二下学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=42−x+3x22的导数是
．( )
A. 82−x+3x2B. 2−1+6x2
C. 82−x+3x26x−1D. 42−x+3x26x−1
2.已知单位圆上第一象限一点P沿圆周逆时针旋转π3到点Q，若点Q的横坐标为−12，则点P的横坐标为
( )
A. 13B. 12C. 22D. 32
3.准线方程为x=2的抛物线的标准方程为
( )
A. y2=−8xB. y2=−4xC. x2=−8yD. x2=4y
4.若满足∠ABC=π4,AC=6,BC=k的▵ABC恰有一个，则实数k的取值范围是
．( )
A. 0,6B. 0,6∪6 2C. 6,6 2D. 6,6 2
5.将函数f(x)=2sin2x−π3的图象向右平移π6个单位后所得到的函数记为g(x)，则下列结论中正确的是
．( )
A. g(x)的对称中心为kπ2+π6,0(k∈Z)
B. g(x)=2sin2x+π3
C. g(x)在π12,7π12上单调递减
D. g(x)的图象关于x=π12对称
6.已知函数f(x)=4−4x−1,x≤2−3x2+24x−36,x>2，若在区间1,+∞上存在xii=1,2,⋯,n，使得fxixi=k0( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.定义域为R的函数fx,gx满足f1>12,f2<12，且对于任意s,t均有2fsgt=gs+t−gs−t,2gsgt=fs−t−fs+t，则
．( )
A. f0+g0>1B. 12C. f1f21
8.如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为▵ABC和▵ABD的重心，P为线段CM上一点．
( )
A. AP+BP的最小为2
B. 若DP⊥平面ABC，则CP= 64CM
C. 若DP⊥平面ABC，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为9π2
D. 若F为线段EN的中点，且DP//MF，则MP=25MC
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是
．( )
A. AD,CB共线B. AC,BD相等
C. AD,CB模相等，方向相反D. AC,BD模相等
10.若函数f(x)=tan2x的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，那么下列说法正确的是
( )
A. 函数g(x)的定义域为{x|x≠kπ+5π6,k∈Z}
B. 函数g(x)在(−π12,5π12)单调递增
C. 函数g(x)图象的对称中心为(kπ2+π6,0)，k∈Z
D. 函数g(x)≤1的一个充分条件是π611.下列推导过程，正确的为
( )
A. 因为a､b为正实数，所以ba+ab≥2 ba⋅ab=2
B. 因为x∈R，所以1x2+1>1
C. 因为a<0，所以4a+a≥2 4a⋅a=4
D. 因为x､y∈R，xy<0，所以xy+yx=−−xy+−yx≤−2 −xy⋅−yx=−2当且仅当x=−y时，等号成立．
12.下列不等关系正确的是
．( )
A. 3e三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.由变量x与y相对应的一组成对样本数据(1,y1)、(5,y2)、(7,y3)、(13,y4)、(19,y5)得到的经验回归方程为y=2x+45，则y= ．
14.an为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=4a4，则a10= ．
15.设P为直线3x−4y+11=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2−2x−2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为 ．
16.若存在无穷数列an，bn满足：对于任意n∈N+，an+1,bn+1是方程x2−12(an+bn)x+ anbn=0的两根，且a10=1，b1>0，则b1= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
将下列指数式与对数式互化：
(1)ea=16;
(2)64−13=14；
(3)lg39=2;
(4)lgxy=z(x>0且x≠1，y>0).
18.(本小题12分)
根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点2,−6；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+ax2−x−1，a∈R．
(1)若曲线y=f(x)在(−1,f(−1))处的切线过点(0,0)，求a的值；
(2)若f(x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
(1)已知sinπ12−α=35，且−3π2<α<−π2，求sin5π12+α的值；
(2)在▵ABC中，已知sinA+csA=15，求tanA的值．
21.(本小题12分)
四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知
∠ABC = 45°，AB=2，BC=2 2，SA=SB = 3
(1)证明SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小．
22.(本小题12分)
已知等比数列an的公比为λλ>1，且a1=1，数列bn满足bn+1−bn=an+1−λ，
b1=1λ−1．
(1)求数列bn的通项公式．
(2)规定：x表示不超过x的最大整数，如−1.2=−2，2.1=2.若λ=2，cn=1bn+2n−2，记Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cnn≥2求Tn2−2Tn+2Tn−1的值，并指出相应n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查简单复合函数的导数，属于较易题．
根据复合函数的求导法则可求得结果．
【解答】
解： y′=4×22−x+3x2⋅2−x+3x2′
=82−x+3x2−1+6x ．
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的定义，理解任意角的三角函数定义是关键，属于基础题．
根据任意角的三角函数的定义可得 cs∠xOQ=−12 ，从而可得 ∠xOQ=2π3+2kπk∈Z ，进而求出 ∠xOP=π3+2kπk∈Z ，再利用三角函数的定义即可求解．
【解答】
解：由单位圆上第一象限一点 P 沿圆周逆时针旋转 π3 到点 Q ，
点 Q 的横坐标为 −12 ，所以 cs∠xOQ=−12 ，
即 ∠xOQ=2π3+2kπk∈Z ，
所以 ∠xOP=π3+2kπk∈Z ，
设点 P 的横坐标为 a ，
则 ．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程
根据抛物线的准线方程，设出抛物线的标准方程，再根据准线方程的公式求解．
【解答】
解：因为准线方程 x=2 ，所以抛物线的开口向左，
所以设抛物线方程 y2=−2pxp>0 ，则 p2=2⇒p=4 ，
所以抛物线的标准方程为 y2=−8x ．
故选：A
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理判定三角形解的个数，属于较易题．
由已知结合正弦定理先表示出 sinA ，然后结合正弦函数的性质可求 sinA 的范围，进而可求 k 的范围．
【解答】
解：由正弦定理可得 asinA=bsinB ，
故 sinA=asinBb= 22k6= 2k12 ，
由 A∈0,3π4 且 ▵ABC 恰有一个，
故 0所以 0故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求正弦(型)函数的对称轴、对称中心，属于一般题．
根据三角函数图象变换求得 gx ，利用整体代入法求得 gx 的对称中心，结合三角函数单调性、对称性求得正确选项．
【解答】
解：函数 f(x)=2sin2x−π3 的图象向右平移 π6 个单位得到 gx=2sin2x−π6−π3=2sin2x−2π3 ，
gx=2sin2x−2π3=2sin2x+π3−π=−2sin2x+π3 ，B选项错误；
2x+π3=kπ,x=kπ2−π6 ，所以 gx 的对称中心为 kπ2−π6,0(k∈Z) ，A选项错误；
π12gπ12=−2sinπ6+π3=−2sinπ2=−2 ，所以 g(x) 的图象关于 x=π12 对称，D选项正确．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分段函数的图象，函数零点、方程的根的个数
由 f(x) 解析式画出函数图象，将问题转化为 y=fx,y=kx(0【解答】
解：由题设， f(x)=4x,x⩽18−4x,12
作出函数 fx 如图所示，问题转化为 y=fx,y=kx(02相切时，k=24−12 3，
当 k∈(24−12 3,4) 时，交点为1个；
当 k∈{24−12 3} 时，交点为2个；
当 k∈(0,24−12 3) 时，交点为3个；
所以 n 的取值为1，2，3．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考察两角和与差的余弦公式、函数值的计算以及函数值比较大小，属于较难题．
取 fx=csx ， gx=sinx ，验证满足各个条件，再根据三角函数的公式，依次计算每个选项得到答案．
【解答】
解：取 fx=csx ， gx=sinx ，满足 f1=cs1>cs60∘=12 ， f(2)=cs 2<0<12 ，
sins+t−sins−t=2csssint ，即 2fsgt=gs+t−gs−t ；
css+t−css−t=2sinssint ，即 2gsgt=fs−t−fs+t ，
上述函数满足题设要求，
对选项A： f0+g0=cs0+sin0=1 ，错误(排除)；
对选项B： f−1−g−1=cs−1−sin−1= 2sin1+π4> 2sinπ2+π4=1 ，错误(排除)；
对选项C： cs1cs2−sin1sin2=cs1+2=cs3<0 ，
故 f1f2对选项D： cs1cs2+sin1sin2=cs1−2=cs1<1 ，错误(排除)．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了线面垂直，球的表面积，共线定理，属于难题．
A选项由线面垂直证得CM⊥BM，CM⊥AM，进而由点P与点M重合时即可判断；B选项利用内切球求得 DP=34DN 即可判断；C选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；D选项由空间向量的线性运算即可判断．
【解答】
解：易得 DE⊥AB,CE⊥AB ，又 DE∩CE=E ，且DE，CE⊂面 CDE
则 AB⊥ 面 CDE ，又 CM⊂ 面 CDE ，则 AB⊥CM ，同理可得 CM⊥BD ，
AB∩BD=B ，而AB，BD⊂平面ABD，
则CM⊥平面ABD，
又 AM,BM⊂ 平面 ABD ，所以CM⊥BM，CM⊥AM．
则当点P与点M重合时， AP+BP 取得最小值，
又 AM=BM=DM=23DE=23× 22−12=2 33 ，
则最小值为 AM+BM=4 33 ，A错误．
在正四面体ABCD中，因为DP⊥平面ABC，易得 P 在 DN 上，所以 DN∩CM=P ，又点N，M也是 ▵ABC 和 ▵ABD 的内心，
则点P为正四面体ABCD内切球的球心．
CN=23CE=2 33 ， DN= CD2−CN2=2 63 ．
设正四面体ABCD内切球的半径为r，
因为 VD−ABC=VP−ABC+VP−ABD+VP−BCD+VP−ACD ，
所以 13S▵ABC⋅DN=13S▵ABC⋅r+13S▵ABD⋅r+13S▵BCD⋅r+13S▵ACD⋅r ，
解得 r=NP=DN4= 66 ，即 DP=34DN ，故 CP=34CM ，B错误．
设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，半径为R，
易得球心 O 在直线 DN 上，且 ON⊥NC ，
则 R2=OC2=CN2+(OP−NP)2 ，
解得 R=3 64 ，故三棱锥P−ABC外接球的表面积为 4πR2=27π2 ，C错误．
若F为线段EN的中点，则 EF=12EN=16EC ， MF=ME+16EC=13DE+16ED+16DC=16DE+16DC=14DM+16DC ．
设 MP=λMC ，则 DP=DM+λMC=DM+λMD+λDC=1−λDM+λDC ．
因为 DP//MF ，
所以设 MF=μDP ，则 14=1−λμ,16=λμ, 解得 λ=25,μ=512, 故 MP=25MC ，D正确．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属于较易题．
根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键.根据向量的加法和减法的几何意义(平行四边形法则)，结合矩形的判定与性质进行分析可解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC,AC=BD ，
所以 AD,CB 共线， AC,BD 模相等，故A、D正确;
∵矩形的对角线相等，∴|AC|=|BD|，
AC,BD 模相等，但的方向不同，故B不正确;
|AD|=|CB|且AD // CB，所以 AD,CB 的模相等，方向相反，
故C正确．

故选：ACD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查正切函数的性质和图象变换，属于中档题．
根据平移可得 gx 的表达式，然后利用正切函数的定义域，单调性，对称性和值域进行判断即可．
【解答】
解：由题可知： gx=tan2x−π3
令 2x−π3≠π2+kπ,k∈Z ，即 x≠5π12+kπ2,k∈Z
所以函数g(x)的定义域为 xx≠5π12+kπ2,k∈Z ，故A错
令 −π2+kπ<2x−π3<π2+kπ⇒−π12+kπ2所以函数g(x)的单调递增区间为 −π12+kπ2,5π12+kπ2,k∈Z ，
当 k=0 时，可得函数g(x)在(−π12,5π12) 单调递增，故B正确
令 2x−π3=kπ2⇒x=π6+kπ4,k∈Z ，
故函数对称中心为(kπ4+π6,0)，k∈Z，故C错
tan2x−π3≤1⇒−π2+kπ<2x−π3≤π4+kπ,k∈Z
所以 −π12+kπ2所以 π6故选：BD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质和基本不等式，属于中档题．
对于A选项由基本不等式判断；对于B选项由不等式的基本性质判断；对于C选项由基本不等式判断；对于D选项由基本不等式判断．
【解答】
解：对于A选项，因为 a ､ b 为正实数，则 ba ､ ab 为正实数，
由基本不等式可得 ba+ab≥2 ba⋅ab=2 ，当且仅当 a=b 时，等号成立，A选项正确；
对于B选项， ∵x2+1≥1 ，所以， 0<1x2+1≤1 ，B选项错误；
对于C选项，当 a<0 时， 4a+a=−−4a+−a≤−2 −4a⋅−a=−4 ，
当且仅当 a=−2 时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为 x ､ y∈R ， xy<0 ，则 yx ､ xy 均为负数，
由基本不等式可得 xy+yx=−−xy+−yx≤−2 −xy⋅−yx=−2 ，
当且仅当 x=−y 时，等号成立，D选项正确．
故选：AD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于较难题．
解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
(1)判断各个数值所在的区间；
(2)利用函数的单调性直接解答．
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用．
构造函数 fx=lnxx ，利用导数分析函数 fx 的单调性，结合函数 fx 、指数函数、幂函数的单调性逐项判断各选项，可得出合适的选项．
【解答】
解：构造函数 fx=lnxx ，其中 x>0 ，则 f′x=1−lnxx2 ，
当 00 ，此时函数 fx 单调递增，
当 x>e 时， f′x<0 ，此时函数 fx 单调递减，则 fx≤fe=1e ，
对于A选项， f3又因为 e3<33<3π ，所以， 3e对于B选项， fπ在 fx≤1e 中，令 x=e2π ，则 lne2πe2π<1e ，化简得 lnπ>2−eπ ，
故 elnπ>e2−eπ>2.7×2−2.723.1>2.7×2−0.88=3.024>3 ，
所以 elnπ>3 ，即 lnπe>lne3 ，所以， πe>e3 ，故 e3<πe对于C选项，因为 lnπ>2−eπ ，则 3lnπ>6−3eπ>6−e>π ，
故 lnπ3>π ，故 π3>eπ ，C错；
对于D选项，因为 f3>fπ ，即 ln33>lnππ ，则 3lnπ<πln3 ，即 lnπ3所以 π3<3π ，又 3e<πe<π3 ，因此， 3e<π3<3π ，D对．
故选：ABD．
13.【答案】63
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程，属于基础题．
求出 x ，代入 y=2x+45 ，可得 y ．
【解答】
解：由题意， x=1+5+7+13+195=9 ，
代入 y=2x+45 ，可得 y=2×9+45=63 ．
故答案为：63．
14.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质以及相关计算，属于较易题．
根据等差数列的性质及通项公式计算即可得解．
【解答】
解：因为 S3=4a4 ，所以 3a2=4a4 ，即 3a2=4(a2+2d) ，
所以 a2+8d=0 ，所以 a10=a2+8d=0 ．
故答案为：0．
15.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查圆中三角形(四边形)的面积，考查点到直线的距离，属于中档题．
四边形形PACB的面积为2S△APC=2× 12 |PA|r=|PA|= |PC|2−r2 ，进而求出PC|的最小值即可．
【解答】
解：圆的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=1，圆心为C(1,1)，半径r=1，
根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC=2× 12 |PA|r=|PA|= |PC|2−1 ，
要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，
|PC|最小时为圆心到直线l：3x−4y+11=0的距离 d=|3−4+11| 32+−42=2 ．
所以四边形PACB面积的最小值为 |PC|min2−1= 3 ．
故答案为： 3 ．
16.【答案】512
【解析】【分析】
本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的通项公式的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于难题.运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式，以及数列的递推公式，对数列 an ， bn 的各项符号讨论，即可得到所求的值，得到答案．
【解答】
解：由题意知， an+1,bn+1 是方程 x2−12(an+bn)x+ anbn=0 的两根，
可得 an+1+bn+1=12(an+bn),an+1⋅bn+1= anbn ，
即有 an+1+bn+1=12n(a1+b1),an+1⋅bn+1=a1b112n ，
若 a1⋅b1>0 ，可得 an⋅bn>0 ，
由 an+1+bn+1≥2 an+1bn+1 ，可得 12n(a1+b1)≥2(a1b1)12n+1 ，
对于给定的 a1,b1 ，显然是不可能的，对于任意的n都成立，
同样可以证明 an>0,bn>0 ，也不可能同时成立，所以 a10=1 ，可得 b10=0 ，
倒推可得 a1+b1=29(a10+b10),a1b1=(a10b10)29 ，
所以 a1=0,b1=29=512 ．
故答案为： 512 ．
17.【答案】解：(1)由已知等式，两边取对得： lgeea=lge16=ln16 ，即 a=ln16 ．
(2)由已知等式，两边取对得： lg6464−13=lg6414 ，即 lg6414=−13 ．
(3)由已知等式，可得： 3lg39=32 ，即32=9．
(4)由已知等式，可得： xlgxy=xz ，即 xz=y ．

【解析】本题考查指对互化的应用，属于较易题．
根据指对数关系，结合已知等式将指数式化为对数式，或将对数式化成指数式即可．
18.【答案】解：(1)已知椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，
由于长轴长是短轴长的2倍，且过点 2,−6 ，
则有 2b=a4a2+36b2=1 ，解得： a=2 37b= 37 ，
∴椭圆方程为 x2148+y237=1 ;
(2)已知椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，
将椭圆的一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，如图：
A1,A2 为椭圆的短轴的端点， F 为椭圆的一个焦点，
则 ▵A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 上的中线(高)，
且 OF=c,A1A2=2b ，所以 b=c ，
又因为半焦距为6，则 c=6 ，
所以b=c=6 ，所以 a2=b2+c2=72 ，
即所求的椭圆方程为 x272+y236=1 ．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，属于一般题．
(1)根据题意，设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，结合条件得出 2b=a ，将点 2,−6 代入椭圆方程，从而求出 a,b ，即可得到椭圆的标准方程；
(2)根据题意，设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，结合椭圆的对称性得出 b=c ，由半焦距得出 c=6 ，最后根据 a2=b2+c2 求出 a2 ，从而得出椭圆的标准方程．
19.【答案】解：(1)函数 f(x)=ex+ax2−x−1 ，
所以 f(−1)=1e+a ，
故切点为 −1,1e+a ，
又 f′(x)=ex+2ax−1 ，
则 f′(−1)=1e−2a−1 ，
故切线方程为 y−1e+a=1e−2a−1(x+1) ，
又切线过点 (0,0) ，
故 −1e+a=1e−2a−1 ，
所以 a=2e−1 ；
(2)函数 f(x)=ex+ax2−x−1 ，
则 f′(x)=ex+2ax−1 ，设g(x)=ex+2ax−1
所以 g′(x)=ex+2a ，
因为 f(x) 在 x=0 处取得极小值，
则 f​′(0)=0 ，
当 g′(x)>0 时，则 f ′(x) 单调递增，
故当 x<0 时， f​′(x)<0 ，则 f(x) 单调递减，
当 x>0 时， f′(x)>0 ，则 f(x) 单调递增，
此时 f(x) 在 x=0 处取得极小值，
则 g′(0)=1+2a>0 ，解得 a>−12 ，
故实数a的取值范围为 (−12,+∞) ．

【解析】本题考察已知切线(斜率、倾斜角)求参数、利用导数根据极值或极值点求参，属于一般题．
(1)根据导数求出切线的斜率得出切线方程，再由过点 (0,0) 求解；
(2)根据函数在 x=0 处取得极小值，利用导数建立不等式求解即可．
20.【答案】解：(1) ∵−3π2<α<−π2 ， ∴7π12<π12−α<19π12 ，
即 π12−α 可能在第二，三，四象限，
又 sinπ12−α=35>0 ， ∴π12−α 在第二象限，
∴csπ12−α=− 1−sin2π12−α=−45 ，
∴sin5π12+α=sinπ2−π12−α=csπ12−α=−45 ；
(2) ∵sinA+csA=15 ①，
∴sinA+csA2=1+2sinAcsA=125 ，
∴sinAcsA=−1225 ②，
由①②得 sinA=45csA=−35 或 sinA=−35csA=45 ，
又在 ▵ABC 中必有 sinA>0 ，
∴sinA=45csA=−35 ，
∴tanA=sinAcsA=−43 ．

【解析】本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式的而应用，属于中档题．
(1)先通过角的范围求出 csπ12−α ，在利用诱导公式变形 sin5π12+α=sinπ2−π12−α 后，即可利用 csπ12−α 求值；
(2)将 sinA+csA=15 两边同时平方可得 sinAcsA 的值，再结合 sinA+csA 可求出 sinA,csA ，进而可求出 tanA 的值．
21.【答案】解：(1)作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，SO⊂侧面SBC，得SO⊥底面ABCD．
AO⊂ 底面ABCD，所以SO⊥AO，因为SA=SB，所以 SA2−SO2=SB2−SO2 ，即AO=BO．
又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，又 SO∩AO=O ，SO,AO⊂平面SOA，所以BC⊥平面SOA，又 SA⊂ 平面SOA，所以SA⊥BC．
(2)由(1)知，OS，OA，OB两两垂直，如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，OB为y轴正向，OS为z轴正向建立空间直角坐标系O—xyz，
其中 A 2,0,0 ， B0, 2,0 ， C0,− 2,0 ， S0,0,1 ， D 2,−2 2,0
设平面SAB的法向量为 m=x,y,z ，则 m⋅AB=− 2x+ 2y=0m⋅SB= 2y−z=0 ，令 y=1 得： x=1,z= 2 ，则 m=1,1, 2 ，设直线SD与平面SAB所成的角为 θ ，则 sin θ=|cs ⟨SD,m⟩|=|SD⋅m||SD|⋅|m|=|( 2,−2 2,−1)⋅(1,1, 2)| 2+8+1⋅ 1+1+2= 2211 ，
所以，直线SD与平面SAB所成的角为 arcsin 2211

【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的性质，属于难题．
(1)作出辅助线，由面面垂直得线面垂直，进而得到线线垂直，再证明出线面垂直，得到线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角．
22.【答案】解：(1)由题意得 an=λn−1λ>1 ，则 bn+1−bn=λn−λλ>1 ，
当 n≥2 时， bn=bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋅⋅⋅+b2−b1+b1 ，
=λn−1−λ+λn−2−λ+⋅⋅⋅+λ1−λ+1λ−1
=λn−1+λn−2+⋅⋅⋅+λ1−n−1λ+1λ−1 =λnλ−1−nλ+λ−1 ，
又由 b1=1λ−1 ，符合上式，
因此 bn=λnλ−1−nλ+λ−1 ， n∈N* ．
(2)由(1)知，当 λ=2 时， cn=1bn+2n−2=12n−1>0 ．
易知 n=2 时， T2=c1+c2=43 ，此时 Tn2−2Tn+2Tn−1=103=3 ；
n=3 时， T3=c1+c2+c3=3121 ，此时 Tn2−2Tn+2Tn−1=1021+110+2=2 ；
当 n≥3 时， Tn≥T3 ，因为 n≥2 时， cn=12n−1<32n+1 ，
所以 Tn<1+3123+124+⋅⋅⋅+12n+1=1+3×181−12n−11−12=1+341−12n−1<74 ，
因此 T3≤Tn<74 ，
令 x=Tn−1 ，则 x∈1021,34 ， Tn2−2Tn+2Tn−1=Tn−1+1Tn−1=x+1x ，
利用对勾函数的单调性，得 x+1x∈2512,A (其中 A=1021+110+2 )，
从而 Tn2−2Tn+2Tn−1=2 ．
综上，当 n=2 时， Tn2−2Tn+2Tn−1=3 ；当 n≥3 时， Tn2−2Tn+2Tn−1=2 ．

【解析】本题考查数列与不等式，数列的新定义问题，根据数列的递推公式求通项公式
(1)由等比数列的通项公式得 an ，即可得 bn+1−bn ，然后利用累加法求 bn 即可；(2)由(1)得 cn ，可求出 T2 ， T3 ，得到 n=2 和 n=3 时 Tn2−2Tn+2Tn−1 的值，然后对 cn 进行放缩，可得当 n≥3 时， Tn<74 ，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求解即可．