广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：李善红 王小勇 刘和阳 张秀敏 审题人：时华
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是（ ）
A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形
2.已知向量，，满足，则的值为（ ）
A.2B.C.D.
3.直线的倾斜角是（ ）
A.B.C.D.
4.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A.1B.3C.9D.81
5.已知直线：，：，：，若且，则的值为（ ）
A.B.10C.D.2
6.已知圆：和：，则两圆的位置关系是（ ）
A.内切B.外切C.相交D.外离
7.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A.B.
C.D.
8.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；
B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面；
C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；
D.若，则是锐角
10.已知直线过直线：和：的交点，且原点到直线的距离为3，则的方程可以为（ ）
A.B.
C.D.
11.在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A.
B.
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点到直线的距离是
12.已知圆：，直线，则下列结论正确的是（ ）
A.圆与曲线恰有三条公切线，则
B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C.直线恒过第二象限
D.当时，上动点作圆的切线，，且，为切点，则经过点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.，，则______.
14.已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为______.
15.已知椭圆：的左焦点为，过原点的直线交椭圆于点，，且，若，则椭圆的离心率是______.
16.在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，______；点的轨迹的长度为______.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。
17.（本题10分）设，向量，，，且，.
（1）求；
（2）求向量与夹角的大小。
18.（本题12分）已知的顶点，.
（1）求直线的方程；
（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标.
19.（本题12分）已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求证：.
20.（本题12分）已知直线：与圆：相交于，不同两点.
（1）求的范围；
（2）设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值.
21.（本题12分）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得如图乙.
甲 乙
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
22.（本题12分）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）设动直线与圆交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
2023-2024第一学期高二数学期中四校联考参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分）
13.614.15.16.4，.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。
17.解：【详解】（1）由题意，，
可得，解得，
则，，所以
故
（2）因为，所以
故向量与的夹角为
18.解：（1）直线的方程为，即
（2）中点的坐礿为，点在上，则解得
即中线所在直线的方程为，
设顶点，所以，
因为，点到直线的距离，
因为，所以，
整理得，所以或，
即或，
由，得，此时顶点
由得，此时顶点，
所以顶点的坐标为或
19.解：（1）由题可知：，，又
所以，
故椭圆的方程为，离心率
（2）设点，，
由点是线段的中点，所以
由①，②
则②①：
由，，三点共线，所以
，
则
即
所以
20.解：（1）∵直线与圆交于两点，∴，
解得，
（2）设，
将代入方程，
整理得，
∴，
，
解得，由（1）知，
所以直线的方程为，
可知圆心在直线上，∴是圆的直径，且，
∵是圆上的一动点（异于，），∴到直线的最大距离即为半径为1，
∴面积的最大值为
21.（1）证明：连接，取线段的中点，连接，，
在中，，
∴，
在中，，，，
由余弦定理可得：，
∴
在中，，∴
又，，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面，
在中，，，∴
∵平面平面，平面，∴平面.
（2）过作的平行线，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，，
∴
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点
22解：（1）圆心到直线的距离，
由圆的性质可得，
所以，圆的方程为
（2）设，，
由得，，
所以，
若直线与直线关于轴对称，则，
即，
即，
化简得，
代入韦达定理，
即
所以当点为时，直线与直线关于轴对称；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
A
C
B
A
A
题号
9
10
11
12
答案
ABC
AC
AC
ACD