福建省永春重点中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（含答案）

这是一份福建省永春重点中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为（ ）
A.3B.C.5D.4
2.图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，且，则的值为（ ）
A.4B.2C.3D.1
4.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）.
A.B.C.D.
5.已知椭圆：（）经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ）
A.B.C.D.
6.一束光线从点射出，沿倾斜角为150°的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
7.已知圆：，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A.2B.C.D.4
二、多选题
9.直线过点且斜率为，若与连接两点，的线段有公共点，则的取值可以为（ ）
A.B.1C.2D.4
10.在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.平面B.平面
C.D.点与点到平面的距离相等
11.已知、满足，则（ ）
A.的最小值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最小值为5
12.月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半圆和半椭圆组成.圆的半径、椭圆的短半轴长都为1，椭圆的焦距为2，，是曲线上不同的两点，为坐标原点，的面积为 ，则（ ）
A.线段的最大值为
B.若，在半圆上，则的最大值为
C.当轴时，的最大值为
D.若，在半椭圆上，当时，取得最大值
三、填空题
13.抛物线（）上的点到焦点的距离为10，则______.
14.已知点，，，四点共圆，则______.
15.已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为______.
16.在长方体中，，，分别是棱，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是______.
四、解答题
17.如图，若，是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于16，求点到另一个焦点的距离；
（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
18.已知的三个顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程.
19.如图，在长方体中，，点、分别为、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.
（1）当圆的面积最小时，求圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：
（ⅰ）与直线垂直；
（ⅱ）与圆相切；
（ⅲ）在轴上的截距大于0，若直线与圆交于，两点，求.
21.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一点.
（1）若点的坐标为（），求的面积；
（2）若点的坐标为，且直线（）与交于不同的两点、，求证：为定值，并求出该定值；
（3）如图，设点的坐标为，过坐标原点作圆：（其中为定值，且）的两条切线，分别交于点，，直线，的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆的方程.
高二年级数学科参考答案
1. D 详解：由题得，∴.所以圆的半径为.
2.C 【详解】由图象可得，，
3. A 因为，所以，因为向量，，
所以，解得，所以的值为4，故选：A.
4. A
5. A 由题意可得，，所以，，所以椭圆方程为.
6. D 倾斜角为150°的直线，斜率为，
所以入射光线为，，
令，解得，所以入射光线与轴的交点为，反射光线的斜率为，
设反射光线的方程为，.
7. A 由题意知圆的方程为，设，，
则，所以，又在圆上，所以，
即，即的轨迹方程为.如图所示，
当与圆相切时，取得最大值，
此时，，所以的最大值为.
8. B 设椭圆标准方程为（），双曲线的标准方程为，
则，由，，，
所以，，所以椭圆方程可化为，
由，两式相减得，，，，
则，根据对称性可知，关于原点对称，，关于轴对称.
则，，，直线的方程为.将代入得，
由，解得或，而，，所以，
所以，所以双曲线方程可化为，
由消去并化简得，
设，解得，，所以，
所以，，.
9. AD 要使直线与线段有公共点，则需或，
而，，
所以或，所以的取值可以为或4，
10. AC 对A，因为，分别是和的中点，
故，故平面成立.
对B，建立如图空间直角坐标系，设正方体边长为2，
则，.故.
故，不互相垂直.又属于平面.故平面不成立.
对C，，.，故成立.
对D，点与点到平面的距离相等，则点与点中点在平面上.
连接，易得平面即平面.
又点与点中点在上，故点不在平面上.故D不成立.
11. BCD 方程可变形为，
则方程表示的曲线是以为圆心，以3为半径的圆，
对于A选项，设点，则表示圆上的点到原点的距离的平方，
因为，则原点在圆外，
所以，，
当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，
所以，的最小值为，故A错误；
对于B选项，设，则，
由题意知直线与圆有公共点，则，
即，解得，即的最大值为，故B正确；
对于C选项，设，即，由题意知直线与圆有公共点，
所以，解得，故的最小值为，故C正确；
因为，所以，
代数式表示点到点的距离，因为，
所以，，
当且仅当点为线段与圆的交点时，取最小值，
所以，的最小值为，故D正确.
12. ABD 由题意得，圆的方程为：（），
椭圆方程为（），
当，在轴上时，线段的最大值为，故A正确；
设，则，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
当轴时，设直线的方程为，，，
，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误；
当，在半椭圆上，直线斜率存在时，
设直线：，，，
由，得，
得，，，，
则，
点到直线的距离，
由，
解得，
则，
，
，
所以.
当直线的斜率不存在时，设：（），，
由，解得，则
，，，故D正确.
13. 6 抛物线（）的准线方程为，由抛物线的定义可知，
抛物线（）上的点到焦点的距离为，解得.
14. 1 设过，，的圆的方程为，（），
则，解得，
所以过，，的圆的方程为，
又点在此圆上，所以，即，所以，
15. 30 的几何意义为点，到直线的距离之和，
根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍，由题可知，圆：的圆心，半径为2，，则，所以的中点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，故点到直线的最大距离，所以的最大值为，则的最大值为30.
16. 设（），延长到，使得，
则，，则，
于是，而长方体的对角面是矩形，则有，
又平面，平面，于是平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，由等体积法可知，
，
又，
故，所以.
17.解：（1），是双曲线的两个焦点，则，，，点到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为10或22；
（2）是双曲线左支上的点，则，则，
而，所以，即，
所以为直角三角形，，所以.
18.（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率，
所以，所以，故所求直线方程为，即.
（2）由题意得，，所以，
则为等腰三角形，的中点为，故，
由等腰三角形的性质知，为的平分线，
故所求直线方程为，即.
19.（1）如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系
则，，，，，
∴，，
∵，∴，，∴，
∵与是平面内两条相交直线，∴平面
（2）由（1）进一步可得，
设平面的法向量为，可取，
设平面的法向量为，
由，可得，取，可得，
∴.
由于二面角为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为
20.（1）依题意，由，解得或，
因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，，
当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程是.
（2）因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，
而直线与圆相切，则有，解得或，
又因为在轴上的截距大于0，即，所以，
即直线的方程为，而圆的圆心，半径，
点到直线：的距离为，
于是得.
21.（1）取的中点，连接，，如图，
由为的中点，得，而平面，平面，则平面，
又，且，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面，
显然，，平面，因此平面平面，
又平面，所以平面.
（2）连接，设该四棱锥的高为，则体积为，，连接，则，，，，平面，于是平面，而平面，则平面平面，在平面内过作，而平面平面，从而平面，显然，，两两垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，设（），
则，点，，
设平面的一个法向量为，则，
取，得，设直线与平面所成的角为，则，
令，则，且，因此，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.
22.（1）由已知条件得，因为，则，又，，
因此的面积为.
（2）设，，由，得，
，又，，
，，于是
，即为定值.
（3）因为直线：与相切，则，即，
同理，由直线：与相切，可得，
于是、是关于的方程的两实根，
注意到，且，故，
因为定值，故不妨设（定值），
于是有，即.
依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，，
设，，由得，同理，
所以
，
当且仅当（）时取等号，因此，解得，
所以的范围为，当或时，直线，关于坐标轴对称，
此时圆心为椭圆顶点，所以圆的方程为或.