2024池州贵池区高一上学期期中考试数学试题含解析

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题单位：池州二中
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集概念求解．
【详解】
故选：A
2. 命题“，有实数解”的否定形式是（ ）
A. ，无实数解B. ，有实数解
C. ，无实数解D. ，无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在性量词命题的否定，直接得出结果.
【详解】由题意知，命题“有实数解”的否定为
“无实数解”.
故选：D
3. 已知幂函数的图象经过，则（ ）
A. 是偶函数，且在上是增函数
B. 是偶函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，且在上是减函数
D. 是非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和幂函数的定义可得，结合幂函数的单调性和奇偶性即可求解.
【详解】设幂函数的解析式为，
则，解得，
所以，定义域为R，且，
所以函数为偶函数，在上单调递增.
故选：A.
4. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”，
但“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.
故选：D.
5. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D.
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD.
【详解】A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意；
B：当时，，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B符合题意；
C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意；
D：，
当且仅当即时等号成立，但无解，故D不符合题意.
故选：B.
6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可.
【详解】对于A：，，A错误；
对于B：，
所以当时，当时，
当时，B错误；
对于C：，
所以，C正确；
对于D：，所以，D错误，
故选：C
7. 关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由不等式在上恒成立，可求出，再用不等式性质，用表示出，即可求解.
【详解】设，因为不等式在上恒成立，所以
令，则，
解得，所以，
故选：B.
8. 已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据函数的单调性可知函数在上单调递减，原不等式可转化为，解之即可.
【详解】由题意知，，
得，设，
则函数在上单调递减，且，
不等式等价于，
即，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题（每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 命题“函数，是偶函数”
B. “，”是“”的充分必要条件
C. 二次函数的零点为和
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇偶函数的定义判断A；根据基本不等式的适用原则和举例说明即可判断B；根据零点的定义即可判断C；举例说明即可判断D.
【详解】A：函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A符合题意；
B：由基本不等式知当时，，当且仅当时等号成立.
当时，满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B符合题意；
C：由，得或3，
所以二次函数的零点为和，故C符合题意；
D：当时，满足，但不成立.
当时，满足，但不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D不符合题意.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数
B. 已知，则最小值为
C. 已知，则当时，单调递减
D. 与是同一函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据函数的定义判断是否为函数，然后根据不等式求出最值，对于绝对值不等式可以根据的取值去掉绝对值，最后判断是否为同一个函数先判断定义域，再判断函数的解析式即可.
【详解】对于A：需满足，即，
所以对，都有唯一确定的值与之对应，
所以可表示自变量为x，因变量为y的函数，A正确；
对于B：因为，所以，即的最小值为，B正确；
对于C：当时，
所以在区间不是单调递减，C错误；
对于D：与定义域相同，解析式也相同，所以同一函数，D正确，
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 函数为偶函数B. 函数的图象关于对称
C. D. 函数的图象关于对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抽象函数的周期性、奇偶性和对称性，依次判断选项即可.
【详解】A：由函数为偶函数，得，
由，得，则，
所以函数的周期为4，由，
得，所以函数为偶函数，故A正确；
B：由函数为偶函数，得，
又，所以，
故函数的图象关于点对称，故B正确；
C：由知，又为偶函数，所以，
所以，得，故C正确；
D：由函数为偶函数，得，
函数的图象关于直线对称，故D错误.
故选：ABC.
12. 若关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以，故的值可以是和，
故选：BC
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分，其中16题第1空2分，第2空3分）
13. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据的定义域得到不等式，然后解不等式，得到定义域即可.
【详解】因为的定义域为，
所以需满足，解得，
故答案为：
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性先得到，再由定义域为求出，最后相加即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
又因为定义域为，
所以，
所以，
故答案为：
15. 已知，若，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，设，求得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，可得，
则，
设，可得且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
16. 设函数的定义域为，满足，当时，，则__________；若对任意，都有，则的最大值为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据已知条件，可得，即可求得的值；同时根据已知条件可以依次得到，时对应函数的解析式，然后按照规律画出函数的图象，可根据不等式恒成立结合函数的图象即可求得的最大值.
【详解】因为，
所以.
同时由可得.
又当时，.
当时，，
.
当时，，
.
当时，
由，解得或.
当时，，
.
显然，当时，，如图：

对任意，都有，必有.
所以的最大值是.
故答案为：，.
四、解答题（共70分，）
17. 已知集合，；
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出;
（2）本题考查的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围．
试题解析：（1）
（2）
当时，
当时，
综上所述：
考点：集合的运算
【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义．
18. （1）已知，，且，证明：；
（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明；
（2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明.
【详解】（1）证明：由，得，
所以，
当且仅当即，时等号成立，
所以；
（2）证明：由题意知，，且，
所以，
即.
同理可得，
所以，
即证.
19. 已知：实数满足，：实数满足（其中）.
（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式后取并集即可，
（2）由充分不必要条件得推出关系后列式求解．
【小问1详解】
：实数满足，解得，
当时，：，解得，
∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，
∴实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵，由，解得，即：，
∵是的充分不必要条件，
∴（等号不同时取），∴，
20. 已知函数是定义域为上的奇函数，且.
（1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；
（2）若实数满足，求实数的范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即有，解可得，设，由作差法分析可得答案；
（2）根据题意，原不等式变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【小问1详解】
根据题意，函数是定义域在上的奇函数，
则，即有，解可得，则，
则，则此时奇函数，
设，则，
又，，则，，则，
故在上是增函数.
【小问2详解】
根据题意，，即，
则有，解可得；
即的取值范围为．
21. 某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】21. ；
22. 当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640.
【解析】
【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可；
（2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知：；
【小问2详解】
根据（1）可知：
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
易知，
当时，，
当且仅当，即时取得等号，
综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640.
22. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，满足，且，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案；
（2）作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论.
【小问1详解】
由题意，，
①，不等式即，
，
②，不等式即，；
综上，.
【小问2详解】
函数大致图象如图，

当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
∴若，满足，则，
由图象知，
①若，则显然；
②若，要证明，则要证，
注意到，，且在递减，
则可证明，
∵，则可证明，
构造函数，，则，
，，
，∵，，，∴，
∴，∴在上单调递减，
∵，∴时，，即，
∴，从而得证．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明；解答时利用函数的图像确定的范围，再结合范围分类讨论。进而构造函数，利用函数的单调性解决问题.