2023维吾尔自治区喀什地区疏勒县一中等3校高一上学期期末数学试题含解析

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考试时间：120分钟； 试卷满分：150分 命题人：刘爽
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据并集的定义直接计算即可.
【详解】，，
.
故选：A.
2. 设、、且，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，且，则，A对；
对于B选项，取，，则，但，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
3. 函数的零点所在的区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数的零点即为函数的交点的横坐标，作出函数的图象，根据函数图象可得函数零点的个数，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】令，则，
则函数的零点即为函数的交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点
即函数的零点大于零，且只有一个零点，
又，
所以函数的零点所在的区间可以是.
故选：C.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用绝对值不等式的解法求出的解，然后根据充分条件与必要条件的定义即可求解.
【详解】若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
6. 已知，，，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】，
，
（当且仅当时等号成立），
故选：C
7. 函数和都是减函数的区间是
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】y=sinx是减函数的区间是,y=csx是减函数的区间是[2k，2k+]，,∴同时成立的区间为
故选A.
8. 二次函数y＝－x2－4x(x>－2)与指数函数y＝的交点有（ ）
A. 3个B. 2个
C. 1个D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】
同一坐标系中画出二次函数和指数函数的图象，即可数形结合得到结论.
【详解】因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x>－2)，
且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，y＝＝2，
当x＝－2时，y＝－x2－4x＝4，y＝＝4，
在坐标系中画出y＝－x2－4x(x>－2)与y＝的大致图象，
由图可得，两个函数图象的交点个数是1，
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数图象的应用，涉及二次函数图象的应用，属基础题.
9. 若α∈，且sin2(3π＋α)＋cs 2α＝，则tan α的值等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式和余弦的二倍公式化简求得cs α的值，继而求得角，可得选项.
【详解】∵sin2(3π＋α)＋cs 2α＝，∴sin2α＋(cs2α－sin2α)＝，即cs2α＝．
又α∈，∴cs α＝，则α＝，∴tan α＝tan ＝．
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的运用，同角三角函数间的关系，余弦的二倍角公式，属于基础题.
10. 函数y＝1－2sin2（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式和诱导公式可得y＝sin 2x，即可得到答案.
【详解】y＝1－2sin2＝cs2＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数，
故选：A.
【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式进行化简，考查正弦函数性质，属中档题.
11. 已知，b=lg，c=lg2，则（ ）
A. a>b>cB. b>c>a
C. c>b>aD. b>a>c
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的性质和指数的性质对化简后与中间量“0”，“1”比较大小即可
【详解】解：因为a=>1，0故a>b>c，
故选：A.
【点睛】此题考查对数式和指数式比较大小问题，考查对数的运算性质，属于基础题
12. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
（1）对，都有；
（2）对，且，都有．
①；②；③；④以上四个函数中，“优美函数”的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】依据函数的性质逐项讨论即可.
【详解】①若，则为上的奇函数，但在上不单调，故不是优美函数；
②若，则为上的奇函数，且在上为减函数，所以，它是优美函数；
③若，因，故它不是上的奇函数，故它不是优美函数；
④若，考虑函数在上的单调性，因在为增函数，在为增函数，所以在上为增函数且恒正，故在上为增函数，所以当时，总有，所以也不是优美函数，
故选：B.
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，对于较为复杂函数的单调性，因依据同增异减的判断方法来考虑，本题属于中档题.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是________．
【答案】∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
【解析】
【分析】把特称量词改为全称量词，把结论否定即可求得结果.
【详解】把特称量词“∃”改为全称量词“∀”，把“＝”变为“≠”，
即∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
故答案为：∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
【点睛】本题考查特称命题的否定的求解，属简单题.
14. 已知2sin θ＋3cs θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得正切值，再结合诱导公式和正切的倍角公式，即可求得结果.
【详解】由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，
从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝
故答案为：.
【点睛】本题考查利用诱导公式和正切的倍角公式化简求值，属综合基础题.
15. 若，且，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：5.
16. 已知 ，＋＝，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】＋＝通分后可得，再用来实现和与积的转换，构建关于的方程，最终可求解
【详解】＋＝
解得或
又
故答案为：.
二、计算题（本大题共6小题，17题每题10分，18-22题每题12分，答题时，要求有必要的文字说明）
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2．
【答案】（1）；（2）52.
【解析】
【分析】（1）直接利用指数幂的运算性质即可求解；
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）
.
（2）
=52.
18. 已知集合，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据列不等式组，解不等式组即可求解；
（2）由已知可得，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，解得：，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
因为，所以，所以或，解得：或，
所以的取值范围是或．
19. 已知是定义在上的奇函数．
（1）用定义证明在上是增函数；
（2）解不等式．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）用定义法证明函数单调性即可；
（2）由函数的奇偶性结合（1）的结论得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可.
【详解】（1）证明：对于任意的，且 ，则：

，
，，.
，即.
函数在上是增函数.
（2）由函数的解析式及（1）知，是奇函数且在上递增，
，即：，
结合函数的定义域和单调性可得关于实数的不等式：
，求解关于实数的不等式组可得：，
则不等式的解集.
【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，考查逻辑思维能力，属于中档题.
20. 已知把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象．
（1）求的最小值及取最小值时的取值集合；
（2）求在时的值域．
【答案】（1）；；（2）．
【解析】
【分析】（1）首先根据三角函数的平移变换得到，再根据三角函数的性质即可得到的最小值及取最小值时的取值集合.
（2）首先根据已知条件得到，再利用正弦函数的图象即可得到值域.
【详解】（1）函数的图象向右平移个单位长度
得到.
再向上平移1个单位长度得到.
当时，，
此时，，即，.
故取最小值时的取值集合为.
（2）当时，，所以，
所以，即的值域为．
【点睛】本题主要考查三角函数的最值和值域问题，同时考查三角函数的平移变换，属于中档题.
21. （1）已知不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题运算求解；
（2）先求的最大值，再根据恒成立问题分析求解.
【详解】（1）当时，不等式恒成立，所以符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数k的取值范围；
（2）因为，
当时，取到最大值4，
可得，解得或，
所以实数a的取值范围.
22. 已知函数f(x)＝sin 2x－cs 2x＋1.
（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由辅助角公式化简函数f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得答案.
（2）由（1）求得sin＝－，再由角的范围求得cs，观察角之间的关系凑角sin 2α＝sin，再运用正弦的和角公式可得答案.
【详解】（1）f(x)＝sin 2x－cs 2x＋1＝sin＋1，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
（2）由（1）知f(x)＝sin＋1，
又∵f(α)＝，∴sin＝－，
∵α∈，∴2α－∈，
∵sin＝－＜0，
∴cs＝－＝－.
∴sin 2α＝sin＝sincs＋cssin＝－×＋×＝.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，同角三角函数间的关系，以及正弦的和角公式，属于中档题.