北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定第三课时达标测试

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能力提升
1. (2021·浙江宁波中考)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3,FH与GE相交于点O.当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时,下列结论一定成立的是( ).
A.S1=S2B.S1=S3
C.AB=ADD.EH=GH
2. 如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,E是BC边上的一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为 cm.
3. 如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连接AE.求证:
(1)BF=DF;
(2)AE∥BD.
创新应用
4. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.
第三课时
知能演练·提升
能力提升
1.A 2.3或32
3.证明: (1)由折叠的性质可知,∠FBD=∠CBD.
因为在矩形ABCD中,AD∥BC,所以∠FDB=∠CBD.
所以∠FBD=∠FDB.所以BF=DF.
(2)因为四边形ABCD是矩形,所以AB=DC,AD=BC.
由折叠的性质可知,ED=DC=AB,BE=BC=AD.
又因为AE=AE,所以△AEB≌△EAD.所以∠AEB=∠EAD.所以∠AEB=12(180°-∠AFE).
由(1)知∠DBF=∠BDF,所以∠DBE=12(180°-∠BFD).而∠AFE=∠BFD,所以∠AEB=∠DBE.所以AE∥BD.
创新应用
4.解: (1)当△CDQ≌△CPQ时,DQ=PQ,CP=CD=5.
在Rt△BCP中,有PB=CP2-BC2=52-32=4,所以AP=1.
在Rt△APQ中,设AQ=x,则PQ=DQ=3-x.
根据勾股定理,知AQ2+AP2=PQ2,
即x2+12=(3-x)2,解得x=43,即AQ=43.
(2)过点M作EF⊥CD于点F,交AB于点E(图略),则EF⊥AB.
因为MD⊥MP,所以∠PMD=90°,所以∠PME+∠DMF=90°.
因为∠FDM+∠DMF=90°,所以∠MDF=∠PME.因为M是QC的中点,所以DM=12QC=PM.
又∠DFM=∠MEP=90°,所以△MDF≌△PME.所以ME=DF,PE=MF.因为EF⊥CD,AD⊥CD,所以EF∥AD.又QM=MC,易知MF是△CQD的中位线,所以DF=12DC=52,所以ME=52,FM=3-52=12,所以DQ=2×12=1.所以AQ=2.