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    重庆市渝北区松树桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(Word版附解析)

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    这是一份重庆市渝北区松树桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(Word版附解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1. 已知集合,,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】解方程求得集合,由并集定义可得结果.
    【详解】,.
    故选:C.
    2. 已知函数,则=( )
    A 2B. 12C. 7D. 17
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用解析式直接求解即可.
    【详解】,
    .
    故选:D.
    3. 设,则“”是“”成立的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由包含关系判断即可.
    【详解】不等式:,所对集合为,不等式化为:,于是得“”所对集合为,显然是的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.
    故选:B
    4. 若非零实数,满足,则下列不等式中一定成立的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据不等式的性质,再举出反例即可得出答案.
    【详解】解:因为,
    所以,即,所以,故B正确;
    当时,
    ,故A错误;
    ,故C错误;
    ,故D错误.
    故选:B
    5. 下列四组函数中,与表示同一函数的是( )
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据函数的定义:判断定义域是否相同,定义域相同时,对应法则是否相同,由此可得结论.
    【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集,AC选项中函数的定义域是,
    D选项迥函数定义域是,定义域不相同,不是同一函数,
    B选项定义域是,根据绝对值定义知对应法则也相同,是同一函数.
    故选:B.
    6. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据函数的定义域求出的范围,结合分母不为0求出函数的定义域即可.
    【详解】由题意得:,解得:,
    由,解得:,
    故函数的定义域是,
    故选:B.
    7. 是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则实数a的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据奇函数的性质,结合基本不等式进行求解即可.
    【详解】因为是定义在R上奇函数,
    所以当时,,此时,解得,
    当时,,
    (当且仅当时取等号,即时取等号),
    即当时,,要想若对一切成立,
    只需,综上所述:,
    故选:B
    8. 设定义在上的函数是偶函数,且在为增函数.若对于,且,则有 ( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】函数是偶函数,且在为增函数,可以得到函数在为减函数,根据单调性以及的大小关系,分别判断各选项中函数的大小即可
    【详解】因为函数是偶函数,且在为增函数,所以函数在为减函数
    A选项中,因为,且,则,因为函数在减函数,所以选项A错误
    B选项中,因为函数为偶函数,所以等价于,因为,所以,在为增函数,所以,即,所以B选项错误
    同理,C选项错误
    D选项中,等价于,所以D选项正确
    故选:D
    二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
    9. 已知正数x,y满足,若恒成立,则实数m的值可能是( )
    A. B. 1C. D. 2
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】将问题转化为求解的最小值,利用基本不等式求解最值,然后再利用一元二次不等式的解法求解即可.
    【详解】已知正数x,y满足,则
    ,当且仅当,即时取等号,所以,因为恒成立,则
    ,解得:.
    所以实数m的取值范围为:.
    故选:BC.
    10. 下列说法正确是( )
    A. 若幂函数过点,则
    B. 函数表示幂函数
    C. 若表示递增的幂函数,则
    D. 幂函数的图像都过点,
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】利用幂函数的定义、性质,逐项分析判断作答.
    【详解】对于A,设,则,即,解得,,A正确;
    对于B,函数不是幂函数,B错误;
    对于C,是幂函数,则,解得或,
    当时,在上单调递减,不符合题意,
    当时,是R上的增函数,符合题意,因此,C正确;
    对于D,幂函数不过点,D错误.
    故选:AC
    11. 下列说法正确的有( )
    A. “,”的否定是“,”
    B. 若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是
    C. 若,,,则“”的充要条件是“”
    D. “”是“”的充分不必要条件
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A;由命题为假命题可得方程无解,则,即可判断B;根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.
    【详解】解:对于A,因为存在量词命题的否定为全称量词命题,
    所以“,”的否定是“,”,故A正确;
    对于B,若命题“,”为假命题,
    则方程无解,
    所以,解得,
    所以实数的取值范围是,故B正确;
    对于C,当时,,则由不能推出,
    所以“”的充要条件不是“”,故C错误;
    对于D,若,则,
    故由可以推出,
    若当时,,则由不可以推出,
    所以“”是“”的充分不必要条件,故D正确.
    故选:ABD.
    12. 定义域和值域均为(常数)的函数和图象如图所示.给出下列四个命题,那么,其中正确命题是( )
    A. 方程有且仅有三个解B. 方程有且仅有三个解
    C. 方程有且仅有九个解D. 方程有且仅有九个解
    【答案】A
    【解析】
    【分析】求得方程解的个数判断选项A;求得方程解的个数判断选项B;求得方程解的个数判断选项C;求得方程解的个数判断选项D.
    【详解】选项A:函数与x轴有3个交点,
    则由,可得有3个可能的取值,
    又为单调递减函数,则方程有且仅有三个解.
    则选项A判断正确;
    选项B:由函数为上单调递减函数,
    则由方程,可得有1个可能的取值,且,
    则方程有且仅有2个解. 则选项B判断错误;
    选项C:选项C:函数与x轴有3个交点,
    则方程有3个可能的取值,,
    三个方程分别有3,3,1个根,
    则方程有且仅有7个解. 则选项C判断错误;
    选项D:函数为上单调递减函数,
    则由方程,可得有且仅有1个取值,
    则方程有且仅有1个解. 则选项D判断错误.
    故选:A
    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知集合,若,则实数的值为______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据元素与集合的关系,分类讨论,即可求得结果.
    【详解】当,即时,集合,不满足互异性,故舍去;
    当,即(舍)或,此时,集合满足题意.
    综上所述,实数的值为.
    故答案为:.
    14. 已知,则函数的解析式为____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用配凑法求函数解析式.
    【详解】解:因为
    所以.
    故答案为:
    15. 若关于的不等式的解集为R,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】分为和考虑,当时,根据题意列出不等式组,求出的取值范围.
    【详解】当得:,满足题意;当时,要想保证关于的不等式的解集为R,则要满足:,解得:,综上:的取值范围为
    故答案为:
    16. 已知函数,对任意,有,则实数的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题意可得函数在上单调递增,化简函数为,利用反比例函数的单调性,即得解
    【详解】由题意,对任意,有
    故函数在上单调递增,
    又,
    由反比例函数的单调性,可得只需即.
    故答案为:
    四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17. 计算化简:
    (1);
    (2).
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解.
    【小问1详解】
    .
    【小问2详解】
    .
    18. 已知,.
    (1)若,求的取值范围;
    (2)若,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)先解出集合A,由,得到,列不等式,即可求出的取值范围;
    (2)由,得到,分、,列不等式,即可求出的取值范围.
    【小问1详解】
    ,,
    因为,则,所以,解得,
    则的取值范围为.
    【小问2详解】

    当时,则,解得 ;
    当时, ,此时无解,
    综上,实数的取值范围是.
    19. 已知函数.
    (1)若函数在上是减函数,求的取值范围;
    (2)当时,设函数的最小值为,求函数的表达式.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据单调区间与对称轴的关系求解;
    (2)分对称轴与区间的关系求函数最小值.
    【小问1详解】
    函数对称轴为,开口向上,
    又函数在上是减函数,所以.
    【小问2详解】
    函数对称轴为,开口向上,
    ①当时,函数在上单调递增,所以;
    ②当时,函数在上先单调递减后单调递增,
    所以;
    ③当时,函数在上单调递减,所以.
    故;
    20. 已知函数
    (1)求关于x的不等式的解集;
    (2)若在区间上恒成立,求实数a的范围.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)因式分解,再讨论二次方程两根的大小关系求解即可;
    (2)参变分离可得在区间上恒成立,再换元令,根据基本不等式求解最值即可.
    【小问1详解】
    即,故:
    当时,解集为;
    当时,解集为;
    当时,解集为.
    【小问2详解】
    在区间上恒成立,即,
    即在区间上恒成立.
    令,则在区间上恒成立.
    又,当且仅当,即,时取等号.
    故,故实数a的范围是
    21. 已知函数是定义在上的奇函数,且.
    (1)求的解析式;
    (2)先判断函数在上的单调性,并证明;
    (3)求使成立的实数m的取值范围.
    【答案】(1);(2)在上为增函数,证明见详解;(3).
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,由奇函数的性质可得,解可得的值,又由可得的值,将、的值代入函数的解析式即可得答案;
    (2)设,用作差法分析可得,由函数单调性的定义即可得证明;
    (3)由奇函数的性质可以将变形为,结合函数的定义域与单调性可得的取值范围.
    【详解】(1)根据题意,是奇函数,
    则有,
    则有,
    解可得;



    解可得.

    (2)在上为增函数;
    证明如下:设,
    则,

    则有,,,,
    则有,
    即.
    在上为增函数;
    (3),

    又是定义在上的奇函数,

    则有,
    解可得:;
    故不等式的解集为.
    【点睛】关键点睛:利用函数单调性定义证明时,需要严格按照步骤格式,注意取值的任意性,作差后注意变形,变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.
    22. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入,投入90万元安装了一套新的生产设备,预计使用该设备后前年的支出成本为万元,每年的销售收入95万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
    (1)写出关于的函数关系式,并估计该设备从第几年开始盈利;
    (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种:
    方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以20万元的价格处理;
    方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以60万元的价格处理;
    问哪种方案较为合理?并说明理由.
    【答案】(1),该设备从第2年开始实现总盈利;
    (2)方案二更合适,理由见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,直接求得,令,结合的取值范围,即可求得结果;
    (2)分别求得两种方案下的总利润,结合使用年限,即可判断.
    【小问1详解】
    由题意可得,
    由得,又,所以该设备从第2年开始实现总盈利.
    【小问2详解】
    方案二更合理,理由如下:
    方案一:由(1)知,总盈利额,
    当时,取得最大值160,
    此时处理掉设备,则总利润为万元;
    方案二:由(1)可得,
    平均盈利额为

    当且仅当,即时等号成立;
    即时,平均盈利额最大,此时,
    此时处理掉设备,总利润为万元.
    综上,两种方案获利都是180万元,但方案二仅需要三年即可,故方案二更合适.

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