重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了考试时间120分钟 2等内容，欢迎下载使用。

考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数3页
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）
1. 设全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定运算结果，求出集合，再逐项判断即得.
【详解】全集，由，得，
所以，ABD错误， C正确.
故选：C
2. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
A. B. 0C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象，得，由数表得，
所以.
故选：D
3. “为有理数”是“为有理数”的（ ）条件
A. 充要B. 充分不必要
C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意易知充分性成立，不妨取，满足为有理数，但为无理数，即必要性不成立，可得结论.
【详解】易知当“为有理数”时，可得“为有理数”，所以充分性成立；
但若“为有理数”时，例如，此时不满足“为有理数”，即必要性不成立，
所以可知“为有理数”是“为有理数”充分不必要条件.
故选：B
4. 若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围.
【详解】由题意，不等式有解.
即不等式有解.
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，
解得，或.
故选：D.
5. 已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.
【详解】根据函数的图象可知，
再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB，
且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确；
故选：C
6. 设，则大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数幂的运算可得，即可得，再利用指数函数单调性可得，即可得结论.
【详解】易知均大于零，
又，显然，可得；
又，，所以，可知.
故选：C
7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为R，令函数，则
显然，
函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，
不等式化为，
即，于是，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
8. 定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A. 10B. 18
C. 22D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知函数关于成轴对称且又关于成中心对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图象，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和为.
【详解】根据题意由可知，函数关于成轴对称，由可知函数关于成中心对称，
由可得；
分别画出函数与函数的图象如下图所示：

显然两函数图象都过，且都关于成中心对称，
易知当时，，
所以两函数图象在两侧各有4个交点，关于对称的两根之和为4，
所以可得所有的根之和为.
故选：B
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这比外国早了近千年．事实上，无理数．如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记．设函数的定义域为，值域为，则关于函数，下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定信息求出函数的定义域、值域，再逐项判断即得.
【详解】依题意，，，
显然，，，AD正确，C错误；
而小数点后第8位上的数字为5，因此，B正确.
故选：ABD
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A项由不等式同乘正数性质可得；B项作差比较法或特值验证法可得；C项，特值验证；D项，由同向不等式可加性可得.
【详解】选项A，若，由，
则有，故A正确；
选项B，法一：当时，
，故B错误；
法二：由，则，
由，
则，故B错误；
选项C，当时，
，，故C错误；
选项D，由，得，
则，故D正确.
故选：AD.
11. 已知为正实数，，则（ ）
A.
B. 的最大值为
C.
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断AB；利用基本不等式，结合指数运算判断C；利用基本不等式“1”的妙用判断D.
【详解】为正实数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误；
，当且仅当时取等号，B正确；
，当且仅当时取等号，C正确；
，
当且仅当，即时取等号，由，得，
所以当时，取得最大值，D正确.
故选：BCD
12. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A. 函数为偶函数
B. 不等式的解集为
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．
【详解】作出函数的图象，如图实线部分．
由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；
当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，.
，再计算得，
根据图得解集为，B错；
当时，即为，恒成立；
当，即时，即，
即，解得，故此时范围为，
当，即，则，
即为，解得，故此时的范围为，
综上，，则，反过来同样成立，故C正确；
对D，由B选项知时，，则，
则成立，D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合指数运算法则求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
14. 写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数：______．
（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性，即可直接写出.
【详解】函数的定义域为，
显然，即函数是偶函数，
由于，因此函数的值域是；
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是同时具有给定三个性质的一个幂函数.
故答案为：
15. 已知函数满足对于任意实数且，都有成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递减，再由分段函数在R上单调的性质列式求解即得.
【详解】依题意，函数f(x)定义域是R，
因对任意，都有成立，则有函数在R上单调递减，
于是得，解得：，
所以a的取值范围是：.
故答案为：.
16. 对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，不存在非“不动点”的“稳定点”，则由有解，但方程组无解，求解即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
因此方程有解，但方程组无解，
由，得有解，则有，解得，
由，得，两式相减得，
而，于是，从而，
显然方程无解或仅有两个相等的实根，因此，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（共70分．17题10分，其余各题12分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）根据定义域即可求解；
（2）根据得到即可求解.
【小问1详解】
由题意得，所以，
所以；
【小问2详解】
若，所以，
①当集合不为空集时，，
解得；
②当集合为空集时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围.
18. 已知关于的不等式的解集为．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理代入即可解出不等式；
（2）减少变量，将式子转化为，再利用基本不等式即可.
【小问1详解】
由题意得是方程的两实数根，且，
则有，即，，即，
由，得，解得或，
则不等式解集为.
【小问2详解】
因为，且由（1）得
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值为16.
19. 已知二次函数满足：且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得.
（2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得.
【小问1详解】
设二次函数，
则，
由，得，解得，又，
即，于是，
所以的解析式是.
【小问2详解】
由（1）得，
当时，的单调递增区间为，依题意，，则；
当时，的单调递增区间为，依题意，，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若，都有，求实数的取值范围，
【答案】（1）
（2）在是减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数在有定义，则，又已知，代入解析式可待定系数；
（2）函数在是减函数，利用定义证明即可；
（3）由函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，将条件转化为恒成立问题，分离参数即可求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因，则，解得，
则，
对于，都有，满足题意.
故；
【小问2详解】
由（1）知，在是减函数.
证明：任取，且，
所以
，
因为，所以，
则，
所以，
故在是减函数.
【小问3详解】
由，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因为在是减函数，
则有，
由已知，，即恒成立，
所以对恒成立，
即恒成立，
设，则在单调递减，
则，要使恒成立，则；
设，则在单调递减，
则，要使恒成立，则；
所以.
故要使，都有，
则的取值范围为.
21. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
（1）求用户每月缴纳水费（单位：元）与每月用水量（单位：）的函数关系式；
（2）随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内时，若随性用水，用水量增加，生活越方便；若时刻想着节约用水，生活也会麻烦．数据表明，人们的“幸福感指数”与缴纳水费及“生活麻烦系数”存在以下关系：（其中），当某居民用水量超过时，求该居民“幸福感指数”的最大值及此时的用水量
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时的用水量为.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，分段求解函数关系式即可；
（2）根据题意写出与的关系式，再求其最大值即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，；
当时，；
可知与的函数关系式为．
【小问2详解】
由题意可知：
当时，
，
当且仅当，即（负舍）时等号成立，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故居民“幸福感指数”的最大值为，此时用水量为．
22. 已知分别是定义在上的奇函数、偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）记，且存在唯一，使，求实数的取值范围．
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；
（2）通过换元将问题转化为方程在有唯一解.再分离参数转化为两函数图象交点问题处理即可.
【小问1详解】
，用代替得，
分别是定义在上的奇函数、偶函数,
则，
则，
解得，.
【小问2详解】
，
则，
则，
存在唯一，使，
即方程有唯一解，
由，
由两增函数的和为增函数，知函数在单调递增，则，
令，则方程在有唯一解.
方程可化为，即函数与函数的图象在内有唯一交点.
设，
由，当且仅当时，等号成立，
又在单调递减，在单调递增，
且,
作出函数在的大致图象，如图.
要使函数与其图象有唯一交点，
则有，或.
故实数的取值范围为．
1
2
3
4
3
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
8元