(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第05讲 平面向量的数量积（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
【即学即练1】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
反思感悟
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
知识点02 向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?
答案 在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
【即学即练2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于( )
A．－3eq \r(2) B．－6eq \r(2) C．6eq \r(2) D．2
知识点03 投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(——→))，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，eq \(A1B1,\s\up6(——→))叫做向量a在向量b上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
【即学即练3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量．
（2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，则向量在向量方向上的投影向量的长度为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
知识点04 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
【即学即练4】(多选)下列说法正确的是( )
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C．若△ABC是等边三角形，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
能力拓展
考法01 向量的夹角
【典例1】在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
【变式训练】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______．
考法02 求两向量的数量积
【典例2】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为135°，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．12
反思感悟
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cs θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
【变式训练】．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
考法03 投影向量
【典例3】（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 向量上的投影为 SKIPIF 1 < 0
反思感悟 投影向量的求法
(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．
(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θeq \f(b,|b|).
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C．4D．5
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知向量与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为,且,若,且,,则实数的值为
A．B．C．D．
2．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个互相垂直的单位向量，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．如图，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．在四边形ABCD中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
7． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面上的两点，满足 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
8．如图 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __.
9．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
10．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数k的值．
12．如图，在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，求x，y的值，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
题组B 能力提升练
1．若单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．6
4．（多选）对于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中至少有一个为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的范围是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
6．已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________.
7．如图，圆 SKIPIF 1 < 0 是半径为1的圆， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆上的任意2个点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
8．如图，直径 SKIPIF 1 < 0 的半圆， SKIPIF 1 < 0 为圆心，点 SKIPIF 1 < 0 在半圆弧上， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有动点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°．试求：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝ SKIPIF 1 < 0 AB，AF＝ SKIPIF 1 < 0 AD，BG＝ SKIPIF 1 < 0 BC，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若EF⊥EG， SKIPIF 1 < 0 ，求角A的值.
题组C 培优拔尖练
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最大值时， SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
3．（多选）平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 D．若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
4．（多选）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非零平面向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是________.
6．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是__________．
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 成最小值时 SKIPIF 1 < 0 ___________.
平面向量的数量积（二）
目标导航
知识精讲
知识点01 平面向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【即学即练1】 已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
知识点02 平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．
【即学即练2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
能力拓展
考法01 向量的数量积的运算性质
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．8C．10D．14
【变式训练】（多选） SKIPIF 1 < 0 中，点M是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定不是（ ）
A．4B．3C．2D．1
考法02 求向量的模和向量的夹角
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是___________.
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考法03 与垂直有关的问题
【典例3】下列说法中正确的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．对任意两向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相反向量
【变式训练】已知两个单位向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
分层提分
题组A 基础过关练
1．设非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
3．下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同或相反
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的长度相等且方向相同或相反
D．对任意的向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 是与向量 SKIPIF 1 < 0 方向相同的单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（多选）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0
7．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
D．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为_____．
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角是______.
10．设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量的模为_________
11．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若D为BC中点，则 SKIPIF 1 < 0 为_________．
12．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小是_________．
题组B 能力提升练
1．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，与自然科学结合在一起不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列说法不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（多选）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 四点分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则以下表述正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 D．向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值范围是 SKIPIF 1 < 0
5．平面上的向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是_____．
7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，中心为 SKIPIF 1 < 0 ，四个半圆的圆心均为正方形 SKIPIF 1 < 0 各边的中点（如图2），若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
8．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____________．
10．如图，梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，用向量 SKIPIF 1 < 0 表示的向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为大于零的常数），求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并指出相应的实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
题组C 培优拔尖练
1．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 夹角的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D．8
3．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成夹角的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中x、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中，
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③存在x、y，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 .
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（多选）定义： SKIPIF 1 < 0 两个向量的叉乘为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的夹角），则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则它的面积等于 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
6．（多选）已知非零平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
8.在 SKIPIF 1 < 0 中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：点O为三角形的外心；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
课程标准
课标解读
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积．
1、通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2、理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义.
3、在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础.
课程标准
课标解读
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
1、平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用.
2、熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用．
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a