(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第06讲 平面向量基本定理及坐标表示（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
【即学即练】 （多选）下列结论正确的是（ ）
A．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有两解
C．向量 SKIPIF 1 < 0 能作为所在平面内的一组基底
D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则A，B，P三点共线
【答案】CD
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，根据余弦定理，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三角形无解，故B错误；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然该方程组无解，即 SKIPIF 1 < 0 不共线，故C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则A，B，P三点共线，故D正确.故选：CD.
反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
能力拓展
考法01 平面向量基本定理的理解
【典例1】已知G是 SKIPIF 1 < 0 的重心，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，又因为G是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：A.
考法02 用基底表示向量
【典例2】如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形 SKIPIF 1 < 0 图 SKIPIF 1 < 0 中的正八边形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底
【答案】B
【详解】在正八边形 SKIPIF 1 < 0 中，对于A， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B错误；
对于C，在正八边形 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以向量 SKIPIF 1 < 0 和向量 SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方向与向量 SKIPIF 1 < 0 方向相同，且长度为向量 SKIPIF 1 < 0 长度的 SKIPIF 1 < 0 倍，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C正确；
对于D，由图可知向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为相等向量，所以向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不共线，故 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底，所以选项D正确.
故选：B.
考法03 平面向量基本定理的应用
【典例3】在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E是BC的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．6
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式训练】锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.故选：D
分层提分
题组A 基础过关练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:B.
2．在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【详解】
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:D.
3．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
4．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于A，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，方程组无解，即不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，A不选；
对于B，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，方程组无解，即不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，B不选；
对于C，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，选C；
对于D，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，方程组无解，即不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，D不选；
故选：C
5．如果 SKIPIF 1 < 0 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】根据平面基底的定义知，向量 SKIPIF 1 < 0 为不共线非零向量，即不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A中，向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，可以作为一个基地；
对于B中，向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可以作为基底；
对于C中，向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不可以作为基底；
对于D中，向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可以作为基底；故选：C.
6．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．平面内任意一个向量 SKIPIF 1 < 0 都可以表示成 SKIPIF 1 < 0 ，其中m，n为实数
C．对于m， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在两对以上实数m，n，使 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.
7．（多选）在下列向量组中，可以把向量 SKIPIF 1 < 0 表示出来的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】对于A． SKIPIF 1 < 0 ＝(0，0)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不可以作为平面的基底，不能表示出 SKIPIF 1 < 0 ；
对于B．由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 可以作为平面的基底，能表示出 SKIPIF 1 < 0 ；
对于C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 可以作为平面的基底，能表示出 SKIPIF 1 < 0 ；
对于D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不可以作为平面的基底，不能表示出 SKIPIF 1 < 0 ．故选：BC.
8．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的向量，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3
【答案】AD
【详解】解：因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的向量，所以向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以作为平面内的一组基底，
又向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；故选：AD
9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 不共线，所以可以作为一组基底.
对于B， SKIPIF 1 < 0 不共线，所以可以作为一组基底.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共线，所以不可以作为一组基底.
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共线，所以不可以作为一组基底.
故选：CD.
10．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．如果 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 SKIPIF 1 < 0 ＝________.我们把 SKIPIF 1 < 0 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】平面向量的分解定理：如果 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 SKIPIF 1 < 0 .我们把 SKIPIF 1 < 0 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．已知下列四个命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②设 SKIPIF 1 < 0 是已知的平面向量，则给定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，总存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
③第一象限角小于第二象限角；
④函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 .
正确的有________.
【答案】④
【详解】对于①，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是非零向量，并且它们不共线， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而结论不成立，①不正确；
对于②，若给定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，而已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，则不存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，②不正确；
对于③， SKIPIF 1 < 0 是第一象限角， SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，显然 SKIPIF 1 < 0 ，③不正确；
对于④，函数 SKIPIF 1 < 0 ，而正弦函数 SKIPIF 1 < 0 和余弦函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期都是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，④正确.故答案为：④
题组B 能力提升练
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【详解】对于① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故两向量共线；
对于② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故两向量共线；
对于③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，假设存在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不共线向量，故得到 SKIPIF 1 < 0 无解.故选：A.
2．若 SKIPIF 1 < 0 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】不共线的向量能作为基底，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，故排除A；
假设 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，故排除C；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，故排除D，故选：B
3．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，可得向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内不共线向量，
对于A中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不共线，可以作为平面的一组基底.
共线：B.
4．如果 SKIPIF 1 < 0 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 为不共线向量，可知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 必不共线，都可作为平面向量的基底，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，不能作为该平面所有向量的基底.故选:D.
5．在给出的下列命题中，错误的是（ ）
A．设 SKIPIF 1 < 0 是同一平面上的四个点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 必共线
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 上的两个向量，则平面 SKIPIF 1 < 0 上的任一向量 SKIPIF 1 < 0 都可以表示为 SKIPIF 1 < 0 ，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
D．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
【答案】B
【详解】对A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 共线，故A正确；
对B，根据平面向量基本定理可得若 SKIPIF 1 < 0 共线，则不满足题意，故B错误；
对C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故C正确.
对D，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，故D正确.综上，错误的选项为B.故选：B.
6．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 是已知的平面向量，向量 SKIPIF 1 < 0 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量 SKIPIF 1 < 0 ，总存在向量 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
B．给定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，总存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
C．给定单位向量 SKIPIF 1 < 0 和正数 SKIPIF 1 < 0 ，总存在单位向量 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，存在单位向量 SKIPIF 1 < 0 和正实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】ABD
【详解】对A，给定向量 SKIPIF 1 < 0 ，总存在向量 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然存在 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确.
对B，因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确．
对C，给定单位向量 SKIPIF 1 < 0 和正数 SKIPIF 1 < 0 ，总存在单位向量 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 分解到 SKIPIF 1 < 0 方向的向量长度大于 SKIPIF 1 < 0 时，向量 SKIPIF 1 < 0 没办法按 SKIPIF 1 < 0 分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的模为1，
由三角形的三边关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D成立.故选：ABD
7．（多选）下列说法中正确的为（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
B．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
D．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为30°
【答案】BD
【详解】解：对于A选项， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B选项，向量 SKIPIF 1 < 0 ，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，向量依然不能比较大小，故C错误；
对于D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而向量的夹角范围为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，即为30°，故D项正确.故选：BD
8．（多选）下列命题正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 能作为平面内所有向量的一组基底
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】对于A: SKIPIF 1 < 0 ；
对于B: 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 夹角为平角；对于C: SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共线，不能构成基底；
对于D： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向时， SKIPIF 1 < 0 成立；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向时 SKIPIF 1 < 0 也成立.
故选：AD.
9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若 SKIPIF 1 < 0 是正八边形 SKIPIF 1 < 0 的中心，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】连接BG，CF，由正八边形的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以AH与CF是共线向量，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不能构成一组基底，A项错误；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，B项正确；
由上过程可知 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C项错误；
又正八边形的每一个内角为： SKIPIF 1 < 0 ，
延长 SKIPIF 1 < 0 ,相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D项正确．
故选:BD.

10．设 SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 可以作为一个基底；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为基底，求向量 SKIPIF 1 < 0 的分解式．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）利用反证法，先假设 SKIPIF 1 < 0 共线，推出矛盾，由此证得 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 可以作为一个基底.
（2）利用向量线性运算求得向量 SKIPIF 1 < 0 的分解式.
【详解】（1）假设 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 不共线，得 SKIPIF 1 < 0 所以λ不存在，故 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 可以作为一个基底．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
题组C 培优拔尖练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，两条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：由题知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
2．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D是边AB上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为BF是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，所以存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E是边BC的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又点A，E，F共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ①．（三点共线的应用： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数），若A，B，C三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又点C，F，D共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ②，联立①②，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
5．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 共线，
即 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 不共线，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AE与BD交于O点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则mn的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又因 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 三点共线.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线.
8．如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三点共线，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
平面向量的正交分解及坐标表示
目标导航
知识精讲
知识点01 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
【即学即练1】 平面直角坐标系内， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若点 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的向量正交分解形式是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
知识点02 平面向量的坐标表示
1．基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
2．坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．
3．坐标表示：a＝(x，y)．
4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
【即学即练2】已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,故选:D.
反思感悟
点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？
知识点03 平面向量加、减运算的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【即学即练3】已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，
SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
能力拓展
考法01 平面向量的正交分解
【典例1】如果用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可以表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设平面直角坐标系为O，由题得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 分别是方向与 SKIPIF 1 < 0 轴正方向、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向相同的单位向量，O为原点，设 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )，则点A位于（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 分别是方向与 SKIPIF 1 < 0 轴正方向、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向相同的单位向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以可知点A位于第四象限.故选：D
考法02 平面向量加、减运算的坐标表示
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【变式训练】如图，分别用基底 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ，并求出它们的坐标
【答案】答案见解析
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
反思感悟 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
考法03 平面向量坐标运算及应用
【典例3】（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，第四个顶点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：ABC.
【变式训练】在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 所在平面内，且满足 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】根据矩形 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
又因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 可取-1,1,2；又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值不可能为3.
故选: SKIPIF 1 < 0 .
反思感悟 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 所在平面内，且满足 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】根据矩形 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
又因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 可取-1,1,2；又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值不可能为3.
故选: SKIPIF 1 < 0 .
2．已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
3．设向量 SKIPIF 1 < 0 ，若表示向量 SKIPIF 1 < 0 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题可知： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像按向量 SKIPIF 1 < 0 平移得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图像按向量 SKIPIF 1 < 0 平移后所得图像的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选：A．
5．在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故B，C，D错误.故选：A.
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
7．已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】D
【详解】建立坐标系如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选：D．
8．（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，第四个顶点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：ABC.
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10． SKIPIF 1 < 0 的重心为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】1
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的重心为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 故答案为：1
11．已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】-2
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：-2.
13．如图，在平行四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求点M的坐标.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为BO中点， SKIPIF 1 < 0
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0
14．（1）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）化简： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
题组B 能力提升练
1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．设平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量的模为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．6
【答案】A
【详解】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式作和得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】如图，设点O为BC上的一点，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值3，此时根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可知 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，当点O为BC的中点时建立如图直角坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值， SKIPIF 1 < 0
故选:C
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，点C在 SKIPIF 1 < 0 内，且 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为点C在 SKIPIF 1 < 0 内，且 SKIPIF 1 < 0 ，建立如图所示的坐标系：
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．（多选）如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】如图，建立空间直角坐标系：则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确，
SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误，
SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确，
SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误，
故选：BD.
7．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 绕原点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，坐标为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．定义:对于实数 SKIPIF 1 < 0 和两定点 SKIPIF 1 < 0 ,在某图形上恰有 SKIPIF 1 < 0 个不同的点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 .称该图形满足“ SKIPIF 1 < 0 度契合”,若边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 且该正方形满足“ SKIPIF 1 < 0 度契合”.则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解:由题知以 SKIPIF 1 < 0 为原点, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立直角坐标系,如图所示:
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 上时,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由二次函数图象可知,当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 上时,设 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,由二次函数图象可知,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 上时,设 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,由二次函数图象可知,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 上时,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由二次函数图象可知,当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,
当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解,为 SKIPIF 1 < 0 ,
综上:当 SKIPIF 1 < 0 时,有1个解;当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解;当 SKIPIF 1 < 0 时,有4个解;
当 SKIPIF 1 < 0 时,有6个解;当 SKIPIF 1 < 0 时,有5个解;当 SKIPIF 1 < 0 时,有4个解;当 SKIPIF 1 < 0 时,有2个解,
故若 SKIPIF 1 < 0 有四个解,则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0
9．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点A，B，C能否构成三角形？若能，求出实数m满足的条件；若不能，请说明理由．
【答案】点A，B，C能构成三角形； SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
点A，B，C能构成三角形当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，即有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，点A，B，C能构成三角形．
10．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向如图所示，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
1．如图，平面四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
法二：如图，过C作 SKIPIF 1 < 0 交AB的延长线于E，作 SKIPIF 1 < 0 交AD的延长线于F，∴ SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，易知：B是线段AE的中点，于是 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
法三：设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴2×m-2×1=0 解得，m=1.
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是腰 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为原点，射线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由题知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ① ，
所以 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
将①代入整理得： SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．如图，在等腰直角三角形ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以AB为直径在 SKIPIF 1 < 0 外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，建立如下图所示的直角坐标系
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．如图， SKIPIF 1 < 0 ，定义平面坐标系 SKIPIF 1 < 0 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标这样定义： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向同向的单位向量，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则规定点 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 在该仿射坐标系中的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】解：（1）设在直角坐标系下，沿 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的方向向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在仿射坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在直角坐标系下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在仿射坐标系中圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 在该仿射坐标系中的方程为： SKIPIF 1 < 0 .课程标准
课标解读
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.
3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
课程标准
课标解读
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示．
1.在学习过程中，在熟悉课本知识的基础上，简历笛卡尔坐标系，学习数学史，体会数学文化，借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养．
区别
表示形式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差