天津市西青区2023年中考二模数学考试试卷

这是一份天津市西青区2023年中考二模数学考试试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1． 计算(−2)+(−7)的结果为（ ）
A．9B．−9C．5D．−5
2．sin45°的值等于（ ）
A．2B．1C．32D．22
3． 将696000000用科学记数法表示应为（ ）
A．6.96×108B．6.96×107C．69.6×107D．696×106
4． 如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．阿基米德螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．太极图
5． 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
6．估计47的值在（ ）
A．6和7之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间
7． 计算ab+1+2ab+1−3ab+1的结果是（ ）
A．ab+1B．1b+1C．1D．0
8． 若点A(x1，2)，B(x2，−1)，C(x1，−5)都在反比例函数y=−5x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x19． 方程(x+6)2−9=0的两个根是（ ）
A．x1=3，x2=9B．x1=−3，x2=9
C．x1=3，x2=−9D．x1=−3，x2=−9
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(3，0)，B(0，−1)，点C在第四象限，且AB=BC，∠ABC=90°，则点C的坐标是（ ）
A．(−4，1)B．(1，−4)C．(−1，4)D．(4，−1)
11． 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在AE边上，且点D在CB的延长线上，连接CE，若∠ABC=110°，则下列结论一定正确的是（ ）
A．DE=CEB．CE⊥DE
C．旋转角是70°D．DE//AC
12． 已知抛物线(a，k是常数，k>1)经过点(−3，0).下列结论：
①关于x的方程a(x+1)2+k=0有两个不相等的实数根，即x1=−3，x2=1；
②a+k>0；
③a<−14；
其中，正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13． 计算2x⋅5x2的结果等于 ．
14．计算(22+1)(22−1)的结果等于 ．
15． 不透明袋子中装有10个球，其中有4个红球、3个绿球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
16． 若直线y=kx+3经过第一、二、四象限，则k的值可以是 ．
17．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上，点F在CD的延长线上，满足BE=DF，连接EF与对角线BD交于点G，连接AF，AG，若AF=10，则AG的长为 ．
18． 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD的顶点B，C，D均落在格点上，点A是小正方形一边的中点，连接AC．
（1）线段AC的长等于 ．
（2）以线段AC为直径作⊙O，试确定圆心O的位置，并在线段CD上找一点P，满足PC=AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点O和点P，并简要说明点O，点P的位置是如何找到的(不要求证明) ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19． 解不等式组2(1+12x)≤5，①3x+3≥x−1，②
请结合题意填空，完成本题的解答．
⑴ 解不等式①，得 ；
⑵ 解不等式②，得 ；
⑶把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
⑷ 原不等式组的解集为 ．
20． 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，调查统计了部分学生一周的课外阅读时长(单位：小时)，整理数据后绘制出如图所示的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数．
21． 已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，DC是⊙O的切线，C为切点，连接DA，CB．
（1）如图①，若DA与⊙O相切，A为切点，∠ADC=70°，求∠ABC的大小；
（2）如图②，若DA与⊙O相交于点E，恰有AD⊥CD，且CD=4，AB=10，求ED的长．
22． 某校学生开展综合实践活动，测量某小区公园内路灯MN的高度.如图，已知观测点A，B与路灯底端N位于同一直线的水平线上，在点A处测得路灯MN顶端M的仰角为33°，在点B处测得路灯MN顶端M的仰角为58°，两个观测点A，B相距3.8m，求路灯MN的高度(结果精确到0.1)．
参考数据：tan33°≈0.65，tan58°≈1.60
23． 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
小明和小亮相约到公园游玩.已知小明家，小亮家到公园的距离相同，小明先骑车6min到达超市，购买了一些食物和饮用水，然后再骑车10min到达公园，小明出发10min后，小亮骑车从家出发直接到达公园，给出的图象中(单位：m)反映了这个过程中小明骑行的路程，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
（2）填空：
①小明购物的超市到公园的距离是 m；
②小亮骑车的速度为 m/min；
③在小明和小亮从各自的家到公园的途中，当两人到公园的距离相同时，小明离开家的时间为 min；
④当小亮到达公园时，小明距公园还有 m.
（3）当0≤x≤31时，请直接写出y1关于x的函数解析式．
24． 将直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点O(0，0)，点B(0，2)，∠BAO=30°点C在边OB上(点C不与点O，B重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点C，并与边AB交于点D，且∠BCD=60°，点B的对应点为点E，设OC=t．
（1）如图①，当t=1时，求∠OCE的大小和点E的坐标；
（2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，CE，DE分别与OA交于点F，G，试用含有t的式子表示FE的长，并直接写出t的取值范围；
（3）请直接写出折叠后重合部分面积的最大值．
25． 已知抛物线y=ax2−ax+c�(a，c为常数，a≠0)过点Q(1，1). ，顶点为点P．
（1）当a=−1时，求此抛物线顶点P的坐标；
（2）当a<0时，若△OPQ的面积为34，求此抛物线的解析式；
（3）将抛物线y=ax2−ax+c向左平移1个单位，向下平移(a+1)个单位(a>0)，得到新抛物线的顶点为A，与y轴交点为B，点M在直线x=12上，点N在直线y=−3上，当四边形ABMN的周长最小时，恰好有MN//AB，求平移后抛物线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】(−2)+(−7)=−9
故答案为：B.
【分析】利用有理数加法法则求解即可.
2．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： sin45°=22，
故答案为：D.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】696000000=6.96×108，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，但是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图不是轴对称图形，∴D.不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】A、该图是几何体的左视图，∴A不符合题意；
B、该图不是几何体的三视图，∴B不符合题意；
C、该图是几何体的主视图，∴C符合题意；
D、该图是几何体的俯视图，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用几何体三视图的定义逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵36＜47＜49，
∴6＜47＜7，
∴47在6和7之间，
故答案为：A．
【分析】被开方数47介于36和49之间，可以判断47在6和7之间。
7．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】ab+1+2ab+1−3ab+1=a+2a−3ab+1=0，
故答案为：D.
【分析】利用分式的加减法的计算方法求解即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】将点A、B、C分别代入y=−5x，
可得：x1=−52，x2=−5−1=5，x3=−5−5=1，
∴x1故答案为：C.
【分析】将点A、B、C的坐标分别代入解析式求出x1，x2，x3的值，再比较大小即可.
9．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】(x+6)2−9=0，
∴(x+6)2=9，
∴x+6=±3，
∴x=-6±3，
∴x1=−3，x2=−9，
故答案为：D.
【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可.
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图：
∵A(3，0)，B(0，−1)，
∴OA=3，OB=1，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OBA+∠DBC+∠ABC=180°，∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠OAB=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，
∠OAB=∠DBC∠AOB=∠BDCAB=BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴CD=OB=1，BD=OA=3，
∴OD=OB+BD=1+3=4，
∴点C的坐标为（1，-4），
故答案为：B.
【分析】过点C作y轴的垂线，垂足为D，先利用“AAS”证出△AOB≌△BDC，可得CD=OB=1，BD=OA=3，再利用线段的和差求出OD的长，即可得到点C的坐标.
11．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵关于x抛物线y=a(x+1)2+k的对称轴为直线x=−1，抛物线经过点(−3，0)，
∴抛物线经过(1，0)，
∴关于x的方程a(x+1)2+k=0有两个不相等的实数根，即x1=−3，x2=1，故结论正确；
②∵抛物线(a，k是常数，k>1)经过点(−3，0)，
∴a(−3+1)2+k=0，
∴4a+k=0，
∴k=−4a，
而k>1，
∴a<−14，∴③正确；
∴a+k=a−4a=−3a>0，∴②正确．
故选：A．
【分析】根据抛物线的解析式求出对称轴，再求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得到方程a(x+1)2+k=0的解，再判断①是否正确；将点（-3，0）代入解析式可得k=−4a，再结合k>1，可得a<−14，再判断出③和②是否正确，从而得解.
13．【答案】10x3
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】2x⋅5x2=10x3，
故答案为：10x3.
【分析】利用单项式乘单项式的计算方法求解即可.
14．【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】(22+1)(22−1)=222−12=8−1=7，
故答案为：7.
【分析】利用平方差公式及二次根式的性质求解即可.
15．【答案】25
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵不透明袋子中装有10个球，其中有4个红球，
∴P（红球）=25，
故答案为：25.
【分析】结合“不透明袋子中装有10个球，其中有4个红球”利用概率公式求解即可.
16．【答案】−1(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，
故答案为：-1（答案不唯一）.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系可得k<0，再求解即可.
17．【答案】5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AE，过E作EH⊥BC，EH与BD交于H，
由正方形的性质与已知条件可知，AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF (SAS )，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
∴∠EAF=∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°．
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵∠EBH=45°，
∴△EBH为等腰直角三角形，
则BE=EH．
又∵BE=DF，
∴EH=DF．
由EH//CF得，∠HEG=∠GFD ，∠EHG=∠FDG，
∴△EHG≌△FDG (ASA )．
∴EG=GF．
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AG⊥EF，故△AGF为等腰直角三角形，AG=GF．
所以AG=22AF=5
故答案为：5.
【分析】证明△ABE≌△ADF得出AE=AF，进而证明△AEF是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解．
18．【答案】（1）352
（2）如图，点P即为所求．作法：利用网格特征作出AC的中点O，取AD的中点E，连接OE交⊙O于点T，连接AT，延长AT交CD于点P．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
19．【答案】解：⑴ 解不等式①，得x≤3；
⑵ 解不等式②，得x≥−2；
⑶把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
⑷原不等式组的解集为−2≤x≤3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
20．【答案】（1）20；30
（2）解：这部分学生一周课外阅读时长的平均数为：120×(3×6+4×7+5×8+6×9+2×10)=8；
众数为9；
中位数为8+82=8．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）本次接受调查的学生人数=5÷25%=20；“9小时”的百分比=6÷20×100%=30%，∴m=30；
故答案为：20；30；
【分析】（1）利用“8小时”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用“9小时”的人数除以总人数可得m的值；
（2）利用平均数、众数和中位数的定义及计算方法求解即可.
21．【答案】（1）解：如图①，连接OC，
∵DC，DA分别与圆相切于C和A，
∴∠A=∠DCO=90°，
∵∠D+∠A+∠DCO+∠AOC=360°，∠D=70°，
∴∠AOC=360°−70°−90°−90°=110°，
∴∠ABC=12∠AOC=55°；
（2）解：如图②，作OH⊥AE于H，连接OC，
∴AH=EH，
∵DC切圆于C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴四边形OCDH是矩形，
∴OH=DC=4，DH=OC=12AB=12×10=5，
∵AH=OA2−OH2=52−42=3，
∴EH=AH=3，
∴DE=DH−EH=5−3=2．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC，先利用角的运算求出∠AOC=360°−70°−90°−90°=110°，再利用角平分线的定义可得∠ABC=12∠AOC=55°；
（2）作OH⊥AE于H，连接OC，先求出DH=OC=12AB=12×10=5，再利用勾股定理及等量代换可得EH=AH=3，再利用线段的和差求出DE=DH−EH=5−3=2即可.
22．【答案】解：由题意得：MN⊥AN，
设BN=x米，
∵AB=3.8米，
∴AN=BN+AB=(x+3.8)米，
在Rt△MNB中，∠MBN=58°，
∴MN=BN⋅tan58°≈1.6x(米)，
在Rt△AMN中，∠A=33°，
∴MN=AN⋅tan33°≈0.65(x+3.8)米，
∴1.6x=0.65(x+3.8)，
解得：x=2.6，
∴MN=1.6x≈4.2(米)，
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设BN=x米，先求出AN=BN+AB=(x+3.8)，再利用解直角三角形的方法可得MN=BN⋅tan58°≈1.6x，MN=AN⋅tan33°≈0.65(x+3.8)，可得1.6x=0.65(x+3.8)，再求出x的值即可.
23．【答案】（1）解：由图可知，小明的速度为15006=250(m/min)，
∴x=4时，y=250×4=1000，
由图象知，当x=20时，y=1500；当x=31时，y=3600．
故答案为：1000，1500，3600；
（2）2100；240；16.25；1260.
（3）解：当0≤x≤6时，y1=250x；
当6当21∴y1关于x的函数解析式为y1=250x(0≤x≤6)1500(6【知识点】分段函数；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
24．【答案】（1）解：如图①中，过点E作EH⊥OB于H．
∵∠AOB=90°，∠BAO=30°，点B(0，2)，
∴∠OBA=90°−30°=60°，AB=2OB=4，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵点B(0，2)，OC=t=1，
∴BC=BD=1，
由折叠的性质得△ECD是等边三角形，
∴DE=DB−1，∠CDE=∠DCE=60°，
∴DE//y轴，AD=AB−BD=3，∠OCE=180°−∠BCD−∠DCE=60°，
∴∠DFA=∠AOB=90°，
延长DE交x轴于点F，
∵∠BAO=30°，
DF=12AD=32，
∴EF=DF−DE=12，
∵EH⊥OB，∠OCE=60°，
∴EH=CE⋅sin60°=32，
∴E(32，12)；
（2）解：由折叠可知，△CDE≌△CDB，
∴DB=DE，CB=CE，
∵△BCD. 是等边三角形，
∴DB=DE=CB=CE，
∴四边形BCED是菱形，
∴CE//AB，
∴∠CFO=∠BAO=30°，
∵OC=t，
∴CF=2t，
∵B(0，2)，
∴OB=2. ，
∴BC=CE=2−t. ，
∴EF=CE−CF=2−t−2t=2−3t(0（3）折叠后重合部分面积的最大值为437
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）当点E落在OA. 上时，重叠部分是△CDE，
由(Ⅱ)知∠CEO=30°，
∵OC=t，
∴CE=2t. ，OE=3t，
∵B(0，2)，
∴BC=CE=2−t，
∴2−t=2t，
∴t=23，
∴当23当0折叠后重合部分面积S=S△CDE−S△EFG=S△BCD−S△EFG=12BC⋅BC⋅sin60°−12FG⋅GE，
由(Ⅱ)知∠CEO=30°. ，CF=2t，EF=CE−CF=2−t−2t=2−3t，
∴GE=12EF=2−3t2，FG=3GE=23−33t2，
∴折叠后重合部分面积S=12×32(2−t)(2−t)−12×23−33t2×2−3t2=−738t2+32t+32=−738(t−27)2+437，
当t=27时，S有最大值，最大值=437，
∵437>439，
∴折叠后重合部分面积的最大值为437．
【分析】（1）过点E作EH⊥OB于H，延长DE交x轴于点F，根据∠BAO=30°，可得DF=12AD=32，再求出EF的长，利用解直角三角形的方法求出EH=CE⋅sin60°=32，可得点E的坐标；
（2）先证出四边形BCED是菱形，可得∠CFO=∠BAO=30°，再求出CF=2t，结合点B的坐标求出BC=CE=2−t，最后利用线段的和差求出EF=CE−CF=2−t−2t=2−3t(0（3）分类讨论：①当2325．【答案】（1）解： 将a=−1，Q(1，1)代入抛物线y=ax2−ax+c得：
1=−1+1+c，
解得c=1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+1=−(x−12)2+54；
∴P(12，54)；
（2）解： 过P作OC//y轴交OQ于C，如图：
设直线OQ的解析式为y=kx，将Q(1，1)代入得k=1，
∴直线OQ的解析式为y=x，
将Q(1，1)代入y=ax2−ax+c得：1=c，
∴抛物线的解析式为y=ax2−ax+1=a(x−12)2−a4+1，
∴抛物线顶点P(12，1−a4)，对称轴是直线x=12，
在y=x中，令x=12得y=12，
∴C(12，12)，
∴PC=1−a4−12=12−a4，
∵△OPQ的面积为34，
∴12×(12−a4)×1=34，
解得a=−4，
∴抛物线的解析式为y=−4x2+4x+1；
（3）解：平移后的抛物线为y=a(x−12+1)2−a4+1−a−1=a(x+12)2−5a4，
∴A(−12，−5a4)，B(0，−a)，
作B点关于x=12的对称点B'(1，−a)，作A点关于y=−3的对称点A'(−12，−5a4−6)，连接AB交直线x=12，y=−3于M，N，此时四边形ABMN的周长最小，如图：
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A(−12，−5a4)，B(0，−a)代入可得：
−12k+b=−5a4b=−a，
解得：k=12ab=−a，
∴直线AB解析式为y=12ax−a，
直线A'B'的解析式为y=k'x+b'，
将A'(−12，−5a4−6)，B'(1，−a)代入得：
−5a4−6=−12k'+b'−a=k'+b'，
解得：k'=4−3a2b'=12a−4，
∴直线A'B'解析式为y=(4−3a2)x+(12a−4)，
∵AB//MN，
∴12a=4−3a4，
解得a=2，
∴抛物线的解析式为y=2(x+12)2−104=2x2+2x−2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的解析式，再利用配方法求出二次函数的顶点式可得点P的坐标；
（2）过P作OC//y轴交OQ于C，先求出直线OQ的解析式，再求出P(12，1−a4)， C(12，12)，可得PC=1−a4−12=12−a4，再利用三角形的面积为34，可得12×(12−a4)×1=34，再求出a的值即可；
（3）作B点关于x=12的对称点B'(1，−a)，作A点关于y=−3的对称点A'(−12，−5a4−6)，连接AB交直线x=12，y=−3于M，N，此时四边形ABMN的周长最小，先求出直线A'B'的解析式y=(4−3a2)x+(12a−4)，再结合AB//MN，可得12a=4−3a4，再求出a的值即可.小明离开家的时间/min
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