北师大版九年级数学上册 专题4.2 平行线分线段成比例【八大题型】（举一反三）（学生版）

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\l "_Tc23847" 【题型1 “#”字型】 PAGEREF _Tc23847 \h 1
\l "_Tc17840" 【题型2 “X”字型】 PAGEREF _Tc17840 \h 2
\l "_Tc7971" 【题型3 “A”字型】 PAGEREF _Tc7971 \h 4
\l "_Tc8529" 【题型4 “8”字型】 PAGEREF _Tc8529 \h 5
\l "_Tc22567" 【题型5 判断比例式】 PAGEREF _Tc22567 \h 6
\l "_Tc182" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 PAGEREF _Tc182 \h 7
\l "_Tc20548" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 PAGEREF _Tc20548 \h 8
\l "_Tc13463" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 PAGEREF _Tc13463 \h 9
【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 “#”字型】
【例1】（2023•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（ ）
A．2B．C．1D．
【变式1-1】（2023•福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（ ）
A．4B．9C．10D．15
【变式1-2】（2023秋•清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【题型2 “X”字型】
【例2】（2023春•莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-1】（2023•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2023秋•船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【变式2-3】（2023秋•合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HDDF，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
【题型3 “A”字型】
【例3】（2023秋•零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5B．5：3C．8：5D．3：8
【变式3-1】（2023秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2023秋•新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC，则AC的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【变式3-3】（2023秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为 ．
【题型4 “8”字型】
【例4】（2023•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2023秋•金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式4-2】（2023秋•南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（ ）
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确
C．两人均正确D．两人均不正确
【变式4-3】（2023秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【题型5 判断比例式】
【例5】（2023春•潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023春•东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2023秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2023•香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2023•沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2023春•任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝ ．
【变式6-2】（2009秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明．
【变式6-3】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设m，n，则m+n＝（ ）
A．B．C．D．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】
【例7】（2023•宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（ ）
A．B．2C．3D．4
【变式7-1】（2023秋•虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2023秋•亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ）
A．6B．C．7D．
【变式7-3】（2023•邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1B．4：2：1C．5：2：1D．5：3：2
【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】
【例8】（2023•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【变式8-1】（2023•雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝ ．
【变式8-2】（2023秋•六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝ ．
【变式8-3】（2023•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．