北师大版九年级数学上册 专题4.3 相似三角形的判定【十大题型】（举一反三）（学生版）

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\l "_Tc18412" 【题型1 相似三角形的判定条件】 PAGEREF _Tc18412 \h 2
\l "_Tc5484" 【题型2 格点中的相似三角形】 PAGEREF _Tc5484 \h 3
\l "_Tc19528" 【题型3 相似三角形的证明】 PAGEREF _Tc19528 \h 4
\l "_Tc8078" 【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 PAGEREF _Tc8078 \h 5
\l "_Tc31837" 【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc31837 \h 6
\l "_Tc26489" 【题型6 确定相似三角形的对数】 PAGEREF _Tc26489 \h 7
\l "_Tc20795" 【题型7 相似三角形中的多结论问题】 PAGEREF _Tc20795 \h 8
\l "_Tc17311" 【题型8 相似三角形与动点的综合】 PAGEREF _Tc17311 \h 10
\l "_Tc2727" 【题型9 相似与最值】 PAGEREF _Tc2727 \h 11
\l "_Tc4966" 【题型10 旋转型相似】 PAGEREF _Tc4966 \h 12
【知识点1 相似三角形的判定】
【题型1 相似三角形的判定条件】
【例1】（2023秋•汉寿县期末）如图，若点P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），下列条件不能判定△ABC∽△ACP的是（ ）
A．∠B＝∠ACPB．∠ACB＝∠APCC．D．
【变式1-1】（2023春•泰安期末）如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（ ）
A．或B．10或
C．或10D．以上答案都不对
【变式1-2】（2023秋•合肥期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠AB．点B是DE的中点
C．CE•CD＝CA•CBD．
【变式1-3】（2023秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是 ，或 ．
请回答：
（1）王华补充的条件是 ，或
【题型2 格点中的相似三角形】
【例2】（2023春•文登区期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．①③④
【变式2-1】（2023秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023秋•青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ）
A．①④B．①③C．②③D．②④
【变式2-3】（2023秋•法库县期末）如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【题型3 相似三角形的证明】
【例3】（2023•淳安县一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
【变式3-1】（2023秋•临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BCF．
【变式3-2】（2023秋•下城区期末）已知：如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA'：AA'＝OB'：BB'＝1：2，OC'：CC'＝2：1，且OB＝6．
（1）求证：△OA'B'∽△OAB；
（2）以O，B'，C'为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由．
【变式3-3】（2023春•仪征市校级期末）如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．
（1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP；
（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？
【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】
【例4】（2023秋•上城区期末）四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
（1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；
（2）若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长．
（3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由．
【变式4-1】（2023秋•德清县期末）如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为 ．
【变式4-2】（2023秋•淮安期末）（1）填空：如图1，在正△ABC中，M、N分别在BC、AC上，且BM＝CN，连AM、BN交于点O，则∠AON＝ °
（2）填空：如图2，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM＝RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM＝ °．
（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC＝CD，∠ABC＝60°．以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．
（4）在（1）的条件下，把直线AM平移到图4的直线EOF位置，
①写出所有与△BOF相似的三角形：
②若点N是AC中点，（其它条件不变）试探索线段EO与FO的数量关系，并说明理由．
【变式4-3】（2023秋•城关区期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】
【例5】（2023秋•上城区期末）已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．
【变式5-1】（2023秋•汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 ．
【变式5-2】（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-3】（2023•淮安）如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．
（1）点C坐标是 ，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是 ；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）
【题型6 确定相似三角形的对数】
【例6】（2023秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE＝4，AB＝6，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求AG与GF的比．
【变式6-1】（2023秋•金山区期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（ ）
A．6对B．5对C．4对D．3对
【变式6-2】（2007春•常州期末）如图，已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上．
（1）图中有几组相似三角形并把它们表示出来；
（2）请找一个与△DBE相似的三角形并说明理由．
【变式6-3】（2023春•宁波校级期末）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有 对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
【题型7 相似三角形中的多结论问题】
【例7】（2023秋•常宁市期末）如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【变式7-1】（2023•越秀区校级二模）如图，F是△ABC的AB边上一点，下列结论正确的个数是（ ）
①若∠AFC＝∠ACB，则△ACF∽△ABC
②若∠AFC＝∠B，则△ACF∽△ABC
③若AC2＝AF•AB，则△ACF∽△ABC
④若AC：CF＝AB：BC，则△ACF∽△ABC．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式7-2】（2023秋•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF，DE，交点为G．以下结论正确的个数是（ ）
①∠CAD＝∠CBE，
②AF•FD＝BF•FE，
③△CDE∽△CAB，
④△FGE∽△DGC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-3】（2023秋•商河县校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【题型8 相似三角形与动点的综合】
【例8】（2023春•成华区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝ 时，△ADE与△CMN相似．
【变式8-1】（2023秋•金台区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
【变式8-2】（2023秋•砀山县期末）如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？
【变式8-3】（2023秋•正定县期末）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【题型9 相似与最值】
【例9】（2023秋•余姚市校级月考）如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连接FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．
【变式9-1】（2023•扬州）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 ．
【变式9-2】（2023•兖州区一模）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足ABMN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为 ．
【变式9-3】（2023•锦江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于 ．
【题型10 旋转型相似】
【例10】（2023秋•襄汾县期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
【变式10-1】（2023•炎陵县一模）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，将△ACD绕A点旋转，点D落在点E处，点C落在点F处，CD，EF交于O点，连接DE，FC，找出其中相似三角形．
【变式10-2】（2023春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3），把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（3）在（2）的情况下，求△PDE与△ABC重叠部分图形的面积．
【变式10-3】（2023•大庆模拟）已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN是等腰三角形；
（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．
判定定理
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如图，如果，，则
．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，如果，则
．
判定定理3：
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．