初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理测试题

这是一份初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理测试题，共8页。
1.如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线与☉B相交于C,D两点,则弦CD的长所有可能的整数值有( ).
(第1题)
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(2022湖北荆门中考)如图,CD为☉O的弦,直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为( ).
(第2题)
A.363B.243
C.183D.723
3.往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面图如图所示.若水面宽度AB=24 cm,则水的最大深度为( ).
(第3题)
A.5 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm
4.如图,在☉O中,AB,AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,若AC=2 cm,则☉O的半径为 .
(第4题)
5.如图,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为 .
(第5题)
6.在半径为5 cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为8 cm,另一条弦长为6 cm,则两弦之间的距离为 .
7.如图,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF=1 m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出AB所在的☉O的半径r.
(第7题)
8.如图,M是AB的中点,过点M的弦MN交弦AB于点C.设☉O的半径为4 cm,MN=43 cm.
(第8题)
(1)求圆心O到弦MN的距离;
(2)求∠ACM的度数.
创新应用
9.某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2 m,拱顶高出水面2.4 m.现有一艘宽3 m、船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
参考答案
能力提升
1.C 半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),可知OB=4,所以点B(0,-4).由P(0,-7),得BP=3.当弦CD⊥AB时,弦CD最短.连接BC,由勾股定理,得CP=BC2-BP2=52-32=4,由垂径定理,得CD=2CP=8.当弦CD是☉B的直径时,CD=10.所以8≤CD≤10,所以CD的整数值为8,9,10,共3个.
2.A 如图,连接OC,
(第2题)
∵AB=12,BE=3,∴OB=OC=6,OE=3.
∵AB⊥CD,∴CE=OC2-OE2=36-9=33,
∴CD=2CE=63.
∴四边形ACBD的面积为12AB·CD=12×12×63=363.
3.B 连接OB,过点O作OC⊥AB于点D,交☉O于点C,如图所示.
(第3题)
∵AB=24,∴BD=12AB=12(cm).
在Rt△OBD中,∵OB=OC=13,OD=OB2-BD2=132-122=5(cm),
∴CD=OC-OD=13-5=8(cm),即水的最大深度为8 cm,故选B.
4.2 cm 由垂径定理,得AE=CE=AD=BD=1 cm,从而可推得四边形ADOE为正方形,
∴OD=AD=1 cm.
再由勾股定理,得半径OA=2 cm.
5.12
6.1 cm或7 cm (1)当两弦在圆心的同侧时,如图①,作OM⊥AB于点M,交CD于点N.
在Rt△OBM中,
OM=OB2-BM2=52-32=4(cm),
在Rt△ODN中,
ON=OD2-DN2=52-42=3(cm),
所以MN=OM-ON=1 cm,即当两弦在圆心的同侧时,两弦距离为1 cm.
(2)当两弦在圆心的两侧时,如图②,这时两弦距离为7 cm.
(第6题)
7.解 由题意知OA=OE=r m.
∵EF=1 m,∴OF=(r-1)(m).
∵OE⊥AB,∴AF=12AB=12×3=32(m).
在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,
即(r-1)2+322=r2,解得r=138 m.
即☉O的半径r为138 m.
8.解 (1)如图,作OD⊥MN于点D,连接OM交AB于点E.
(第8题)
∵MN=43 cm,
∴MD=DN=23 cm.
又∵OM=4 cm,
∴OD=42-(23)2=2(cm),
∴圆心O到弦MN的距离为2 cm.
(2)∵M是AB的中点,∴OM⊥AB,
∴∠MEC=90°.
在Rt△OMD中,
∵OD=2 cm,OM=4 cm,
∴∠OMD=30°,
∴∠ACM=90°-∠OMD=90°-30°=60°.
创新应用
9.解 如图,用AB表示桥拱,AB所在圆的圆心为O,半径为R m,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与AB相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱顶到水面的距离.
(第9题)
由题设得AB=7.2 m,CD=2.4 m,HN=12MN=1.5 m.AD=12AB=12×7.2=3.6(m),OD=OC-DC=(R-2.4)(m).
在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=3.62+(R-2.4)2.
解得R=3.9,OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5(m).
在Rt△ONH中,由勾股定理,得OH=ON2-HN2,即OH=3.92-1.52=3.6(m).
DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m).
∵2.1>2,∴此货船能顺利通过这座拱桥.