数学九年级下册28.1 锐角三角函数第3课时综合训练题

这是一份数学九年级下册28.1 锐角三角函数第3课时综合训练题，共6页。

能力提升
1.若AD为△ABC的高,AD=1,BD=1,DC=3,则∠BAC等于( )
A.105°或15°B.15°
C.75°D.105°
2.如图,AB是☉O的直径,弦AC,BD相交于点E,若∠AED=60°,则CDAB等于( )
A.3B.233
C.32D.12
3.已知∠A是△ABC的内角,且sinB+C2=32,则tan A=.
4.已知∠B是Rt△ABC的一个内角,且tan B=3,则csB2= .
5.若2sin(x+10°)-1=0,则锐角x= .
6.因为cs 30°=32,cs 210°=-32,所以cs 210°=cs(180°+30°)=-cs 30°=-32;因为cs 45°=22,cs 225°=-22,所以cs 225°=cs(180°+45°)=-cs 45°=-22.猜想:一般地,当α为锐角时,有cs(180°+α)=-cs α,由此可知cs 240°的值等于 .
7.小颖将手中的一副三角尺按如图所示方式摆放在一起,连接AD后,你能帮她求出∠ADB的正切值吗?
★8.由于水资源缺乏,B,C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下输水管道.有人设计了三种铺设方案,分别如图①,②,③.图中实线表示管道铺设线路,在图②中,AD⊥BC于D;在图③中,OA=OB=OC.为减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路应尽量缩短.已知△ABC恰好是一个边长为a m的等边三角形,请你通过计算,判断哪个铺设方案最好.
创新应用
★9.如图,要求tan 30°的值,可构造直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,则BC=3,∠ABC=30°,tan 30°=ACBC=13=33.在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan 15°的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan 15°的值.
能力提升
1.A
2.D 因为∠C=∠B,∠DEC=∠AEB,
所以△DEC∽△AEB.所以CDAB=DEEA.连接AD,
因为AB是☉O的直径,所以∠ADE=90°,
所以cs∠AED=DEEA=12.故CDAB=12.
3.3 ∵sin B+C2=32,∴B+C2=60°,
∴∠B+∠C=120°.
∴∠A=180°-(∠B+∠C)=60°,∴tan A=3.
4.32 ∵tan B=3,∴∠B=60°,
∴B2=30°,∴csB2=32.
5.35° 由题意,得sin(x+10°)=22,
所以x+10°=45°,即x=35°.
6.-12 由示例及猜想可知,若一个大于平角的角可以将其表示成一个平角与一个锐角的和,则该大于平角的角的余弦值等于这个锐角的余弦值的相反数,所以cs 240°=cs(180°+60°)=-cs 60°=-12.
7.解 如图,过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E,则∠ABE=45°.设BE=AE=x,则在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=2x.在Rt△ABC中,BC=ABtan30°=6x.在Rt△BDC中,BD=BCsin 45°=3x.
∴DE=(1+3)x.
∴tan∠ADB=AEDE=x(1+3)x=3-12.
8.解 题图①所示方案的线路总长为AB+AC=2a m.
如题图②,在Rt△ABD中,AD=ABsin 60°=32a(m),
所以题图②所示方案的线路总长为AD+BC=32+1a m.
如图,延长AO交BC于点E,
因为AB=AC,OB=OC,
所以OE⊥BC,BE=EC=a2 m.
在Rt△OBE中,∠OBE=30°,OB=BEcs30°=33a(m).
所以题图③所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=3a m.比较可知,3a<32+1a<2a,
所以题图③所示铺设方案最好.
创新应用
9.解 此处只给出两种方法(还有其他方法).
(1)如图,
延长CB到点D,使BD=AB,连接AD.
则∠D=15°,tan 15°=ACDC=12+3=2-3.
(2)如图,
延长CA到点E,使CE=CB,连接BE.过点A作AG⊥BE,垂足为G.
则△AEG为等腰直角三角形,且AE=3-1,BE=6,AG=3-12=6-22,∠ABE=15°.
故tan 15°=AGBG=6-226-6-22=6-26+2=2-3.