初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值优秀练习题
展开一、选择题(本大题共12小题,共36分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.13cs30°的值是( )
A. 36B. 33C. 16D. 26
2.下列计算错误的个数是( )
①sin60°-sin30°=sin30°;②sin245°+cs245°=1;③tan260°=13;④tan30°=cs30°sin30∘.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.按如图所示的运算程序,能使输出y值为12的是( )
A. α=60°,β=45°B. α=30°,β=45°
C. α=30°,β=30°D. α=45°,β=30°
4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=1213,则tanB的值为( )
A. 22B. 32C. 33D. 512
5.如图,Rt△OAB的斜边OA在y轴上,∠AOB=30°,OB= 3,将Rt△AOB绕原点顺时针旋转60°,则A的对应点A1的坐标为
( )
A. (1, 3)B. (- 3,1)C. ( 3,1)D. (-1, 3)
6.在△ABC中,若∠A,∠B满足|csA- 32|+(1-tanB)2=0,则∠C的大小是
( )
A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°
7.已知12
8.如图,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C都在小正方形的顶点上,则∠ABC的正弦值为( )
A. 1
B. 3
C. 12
D. 22
9.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=6 3,BD=6,点P是AC上一动点,点E是AB的中点,则PD+PE的最小值为( )
A. 3 3B. 6 3C. 3D. 6 2
10.如图,A、B、C均是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,那么tan∠BAC的值为( )
A. 22B. 32C. 1D. 33
11.已知在Rt△ABC中,∠C=90∘,tanA= 33,则∠B的度数是( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘
12.在三角形ABC中,∠C为直角,sinA=25,则tanB的值为( )
A. 212B. 215C. 2 2121D. 52
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共12分)
13.将一副三角尺如图所示叠放在一起,则BEEC的值是 .
14.cs230°-(2-π)0= .
15.在△ABC中,若角A,B满足|csA- 32|+(1-tanB)2=0,则∠C的大小是 .
16.在△ABC中,若∠A、∠B满足csA-12+sinB- 222=0,则∠C= .
三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题8分)
对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
sinα=sin(180∘-α),csα=-cs(180∘-α).
(1)求sin120∘,cs120∘,sin150∘的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4,A,B是这个三角形的两个顶点,sinA,csB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.
18.(本小题8分)
计算:
(1)2cs30°-tan60°+sin45°cs45°;
(2)(-1)2023+2sin45°-cs30°+sin60°+tan260°.
19.(本小题8分)
计算:-2-1tan60°+cs30°-|12- 3|-(π-2023)02.
20.(本小题8分)
(1)计算:|3- 12|+(13)-1-4sin60°+( 2)2.
(2)求不等式组5x-1<3(x+1)①x+12≥2x+15②的解集.
(3)先化简,再求值(1x+1+x-1)÷x2x2+2x+1,其中x的值是方程x2-2x-3=0的根.
21.(本小题8分)
如图,在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别∠A,∠B,∠C的对边.
(1)求sin2A+sin2B的值;
(2)填空:当a为锐角时,sin2α+sin2(90°-α)= ______ .
(3)利用上述规律,求下列式子的值:
sin21°+sin22°+sin23°+…sin289°
22.(本小题8分)
(1)计算:( 3-3)0-3tan30°+|1- 3|+(12)-2;
(2)先化简,再求值:(x+1x2-4-1x+2)÷3x-2,其中x= 5-2.
23.(本小题8分)
(1)计算:(15)-1-|-3|+ 3cs60°+(-π2-2023)0.
(2)先化简,再求值:x+1x2-2x+1÷(2x-1+1),请在-1
(1)计算:2-1+| 6-3|+2 3sin45°-(-2)2023⋅(12)2023.
(2)化简:先化简,再求值:(3a+1-a+1)÷a2-4a2+2a+1,其中a从-1,2,3中取一个你认为合适的数代入求值.
25.(本小题8分)
如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30∘方向,距离小岛40n mile的点A处,它沿着点A的南偏东15∘的方向航行.
(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?
(2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20 6n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向小岛B上的救援队求救,则救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短?最短航程是多少(结果保留根号)?
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记30°的余弦值是解题的关键.
根据30°的余弦值为 32计算.
【解答】
解:13cs30°
=13× 32
= 36,
故选:A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值和同角设计师的关系,能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键,注意:sin30°=12,cs30°= 32,tan30°= 33,sin60°= 32,cs60°=12,tan60°= 3,sin45°=cs45°= 22,tan45°=1.
【解答】
解:①sin60°-sin30°= 32-12= 3-12,sin30°=12,
∴sin60°-sin30°≠sin30°,故①错误;
②sin245°+cs245°
=( 22)2+( 22)2
=12+12
=1,故②正确;
③tan260°=( 3)2=3,故③错误;
④tan30°= 33,cs30°sin30∘= 3212= 3,即tan30°≠cs30°sin30∘,故④错误;
即错误的有3个,
故选:C.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记30°、45°、60°是三角函数值是解题的关键.根据题意把特殊角的三角函数值代入计算,即可判断.
【解答】
解:A.α=60°,β=45°,
α>β,则y=sinα= 32;
B.α=30°,β=45°,
α<β,则y=csβ= 22;
C.α=30°,β=30°,
α=β,则y=sinα=12;
D.α=45°,β=30°,
α>β,则y=sinα= 22;
故选C.
4.【答案】D
【解析】解:
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,sinA=1213,
∴BCAB=1213,
设BC=12x,则AB=13x,AC= AB2-BC2=5x,
∴tanB=ACBC=5x12x=512,
故选:D.
根据正弦三角函数的定义,设BC=12x,则AB=13x,AC=5x,再根据正切三角函数的定义,即可求解.
本题主要考查三角函数的定义,根据三角函数的定义,用未知数表示出直角三角形的各边长,是解题的关键.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质-旋转、特殊角的三角函数值以及勾股定理,根据旋转变换的性质求出OA1的长度,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键,作出图形更形象直观.先求出OA的长度,根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出OA1的长,过点A1作A1C⊥x轴于C,求出∠A1OC的度数为30°,然后解直角三角形求出OC、A1C,写出点A1的坐标即可.
【解答】
解:如图,过点A1作A1C⊥x轴于C,
∵∠B=90°,∠AOB=30°,OB= 3,
∴OA= 3÷ 32=2,
∵将Rt△AOB绕原点顺时针旋转60°,OA1是OA旋转得到,
∴OA1=OA=2,∠AOA1=60°,
∴∠A1OC=30°,
∴A1C=12OA1=1,
∴OC= OA12-A1C2= 3,
∴A1( 3,1).
故选C.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形内角和定理,特殊角的三角函数值,绝对值的非负性,偶次方的非负性的有关知识,利用非负性质求出∠A,∠B,然后利用三角形内角和定理求解即可.
【解答】
解:∵|csA- 32|+(1-tanB)2=0,
∴csA- 32=0,1-tanB=0,
∴csA= 32,tan B=1,
则∠A=30°,∠B=45°,
则∠C=180°-30°-45°=105°.
故选D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的增减变化,明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值,是解题的关键.由cs60°=12,sin80°=cs10°,锐角α的余弦值随着α的变大而减小,可得出α的范围,从而可得答案.
【解析】
解:∵cs60°=12且12
故α<60°
∵sin80°=cs10°
∴10°<α<60°
故选:D.
8.【答案】D
【解析】解:连接AC,如图所示:
由勾股定理得:AB2=32+12=10,BC2=22+12=5,AC2=22+12=5,
∴AC2+BC2=AB2,AC=BC,
∴∠ACB=90°,∠ABC=45°,
∴sin∠ABC= 22.
故选:D.
根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,即可得到△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=45°,根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
本题考查了特殊角的三角函数值,勾股定理及其逆定理等知识点,能求出∠ACB=90°是解此题的关键.
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系,菱形的性质,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数等知识,证明△ABD是等边三角形是解题的关键.
由三角形的三边关系可得当点P在DE上时,PD+PE的最小值为DE的长,由菱形的性质可得AO=CO=3 3,BO=DO=3,AC⊥BD,AB=AD,由锐角三角函数可求∠ABO=60°,可证△ABD是等边三角形,由等边三角形的性质可得DE⊥AB,即可求解.
【解答】
解:如图,连接DE,
在△DPE中,DP+PE>DE,
∴当点P在DE上时,PD+PE的最小值为DE的长,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO=3 3,BO=DO=3,AC⊥BD,AB=AD,
∴tan∠ABO=AOBO= 3,
∴∠ABO=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∵点E是AB的中点,
∴DE⊥AB,
∵sin∠ABD=DEBD,
∴DE6= 32,
∴DE=3 3,
故选A.
10.【答案】C
【解析】如图所示,连接BC,
∵CB= 12+22= 5,AB= 12+22= 5,
AC= 12+32= 10,∴CB2+AB2=AC2,AB=BC,
∴△ACB为等腰直角三角形,∠ABC=90∘,
∴∠BAC=45∘,∴tan∠BAC=tan45∘=1.
11.【答案】C
【解析】易混淆30∘和60∘角的正切值出错.
∵tan30∘= 33,∴∠A=30∘.∵∠C=90∘,
∴∠B=90∘-∠A=60∘.故选C.
12.【答案】A
【解析】解:△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°,
csB=sinA=25.
sinB= 1-cs2B= 215,
tanB=sinBcsB= 21525= 212,
故选:A.
△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°,根据互余两角的三角函数的关系,可得csB,根据同角三角函数关系求得sinB,可得答案.
本题考查互为余角三角函数关系,利用了互为余角的两角的三角函数的关系,同角三角函数关系.
13.【答案】 33
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质,解题关键是掌握相似三角形的判定和性质.由∠BAC=∠ACD=90°,可得AB//CD,即可证得△ABE∽△DCE,然后由相似三角形的对应边成比例,可得:BEEC=ABCD,然后利用三角函数,用AC表示出AB与CD,即可求得答案.
【解答】
解:∵∠BAC=∠ACD=90°,
∴AB//CD,
∴△ABE∽△DCE,
∴BEEC=ABCD,
∵在Rt△ACB中∠B=45°,
∴AB=AC,
∵在Rt△ACD中,∠D=30°,
∴CD=ACtan30∘= 3AC,
∴BEEC=ABCD=AC 3AC= 33.
故答案为 33.
14.【答案】-14
【解析】解:cs230°-(2-π)0
=( 32)2-1
=34-1
=-14.
故答案为:-14.
根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解.
本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂,掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键.
15.【答案】105°
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质,正确记忆相关数据是解题关键.
直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出∠A=30°,∠B=45°,进而利用三角形内角和定理求出答案.
【解答】
解:∵|csA- 32|+(1-tanB)2=0,
∴csA- 32=0,1-tanB=0,
∴∠A=30°,∠B=45°,
∴∠C=180°-30°-45°=105°.
故答案为:105°.
16.【答案】75°
【解析】略
17.【答案】解:(1)由题意得sin120∘=sin(180∘-120∘)=sin60∘= 32,
cs120∘=-cs(180∘-120∘)=-cs60∘=-12,
sin150∘=sin(180∘-150∘)=sin30∘=12.
(2)∵三角形的三个内角的比是1:1:4,
∴三个内角分别为30∘,30∘,120∘.
①当∠A=30∘,∠B=120∘时,方程的两根为x1=12,x2=-12.
将x=12代入方程,得4×(12)2-m×12-1=0,解得m=0,
∴方程为4x2-1=0.
经检验,x=-12是方程4x2-1=0的根,
∴m=0满足题意.
②当∠A=120∘,∠B=30∘时,方程的两根为x1=x2= 32,不满足题意.
③当∠A=30∘,∠B=30∘时,方程的两根为x1=12,x2= 32.
将x=12代入方程,得4×(12)2-m×12-1=0,解得m=0,
∴方程为4x2-1=0.
经检验,x= 32不是方程4x2-1=0的根,
∴此种情况不满足题意.
综上所述,m=0,∠A=30∘,∠B=120∘.
【解析】见答案
18.【答案】解:(1)原式=2× 32- 3+ 22× 22
= 3- 3+12
=12;
(2)原式=-1+2× 22- 32+ 32+( 3)2
=-1+ 2+3
=2+ 2.
【解析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可.
本题考查特殊角的三角函数值的应用,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
19.【答案】解:-2-1tan60°+cs30°-|12- 3|-(π-2023)02
=-12× 3+ 32-( 3-12)-12
=- 32+ 32- 3+12-12
=- 3.
【解析】根据负整数指数幂,特殊角的三角函数值,化简绝对值,零指数幂进行计算即可求解.
本题考查了实数的混合运算,熟练掌握负整数指数幂,特殊角的三角函数值,化简绝对值,零指数幂是解题的关键.
20.【答案】解:(1)|3- 12|+(13)-1-4sin60°+( 2)2
=2 3-3+3-4× 32+2
=2 3-2 3+2
=2;
(2)解不等式①得,x<2;
解不等式②得,x≥-3,
∴原不等式组的解集为-3≤x<2;
(3)(1x+1+x-1)÷x2x2+2x+1
=x2x+1×(x+1)2x2
=x+1,
解方程x2-2x-3=0得x1=3,x2=-1,
∵x2(x+1)2≠0,
∴x≠0,x≠-1,
∴x=3,
∴原式=3+1=4.
【解析】(1)根据绝对值的定义,负整数指数幂,特殊角的三角函数,计算即可;
(2)根据不等式组的解法解不等式组即可;
(3)根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可.
本题考查了一元二次方程的解,实数的运算,分式的化简和求值,解一元一次不等式,正确地进行运算是解题的关键.
21.【答案】1
【解析】解:(1)∵∠C=90°,
∴a2+b2=c2,
在Rt△ABC中,sinA=ac,sinB=bc,
∴sin2A+sin2B=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1,
∴sin2A+sin2B的值为1;
(2)∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵sin2A+sin2B=1,
∴sin2α+sin2(90°-α)=1,
故答案为:1;
(3)设S=sin21°+sin22°+sin23°+…sin289°①,
则S=sin289°+sin288°+sin287°+…sin21°②,
①+②得:
2S=89,
∴S=892,
∴sin21°+sin22°+sin23°+…sin289°的值为892.
(1)根据勾股定理可得a2+b2=c2,然后在Rt△ABC中,根据锐角三角函数的定义可得sinA=ac,sinB=bc,最后代入式子中进行计算即可解答;
(2)根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠B=90°,然后利用(1)的结论即可解答;
(3)设S=sin21°+sin22°+sin23°+…sin289°①,则S=sin289°+sin288°+sin287°+…sin21°②,然后将两个等式相加,再利用(2)的结论进行计算即可解答.
本题考查了规律型:数字的变化类,互余两角三角函数的关系,从数字找规律是解题的关键.
22.【答案】解:(1)( 3-3)0-3tan30°+|1- 3|+(12)-2
=1-3× 33+ 3-1+4
=1- 3+ 3-1+4
=4;
(2)(x+1x2-4-1x+2)÷3x-2
=3(x+2)(x-2)×x-23
=1x+2,
当x= 5-2时,
原式=1 5-2+2= 55.
【解析】(1)先根据零指数幂,特殊角锐角三角函数值,绝对值的性质,负整数指数幂化简,再计算,即可求解;
(2)先计算括号内的,再计算除法,然后把x= 5-2代入化简后的结果,即可求解.
本题主要考查了零指数幂,特殊角锐角三角函数值,绝对值的性质,负整数指数幂,分式的化简求值,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
23.【答案】解:(1)(15)-1-|-3|+ 3cs60°+(-π2-2023)0
=5-3+ 3×12+1
=5-3+ 32+1
=3+ 32;
(2)x+1x2-2x+1÷(2x-1+1)
=x+1(x-1)2÷2+x-1x-1
=x+1(x-1)2⋅x-1x+1
=1x-1,
∵x=1或-1时,原分式无意义,-1
当c=0时,原式=10-1=-1.
【解析】(1)先化简,然后计算加减法即可;
(2)先算括号内的式子,再算括号外的除法,再在-1
24.【答案】解:(1)2-1+| 6-3|+2 3sin45°-(-2)2023⋅(12)2023
=12+3- 6+2 3× 22+(2×12)2023
=12+3- 6+2 3× 22+12023
=12+3- 6+2 3× 22+1
=12+3- 6+ 6+1
=92;
(2)(3a+1-a+1)÷a2-4a2+2a+1
=3-(a-1)(a+1)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a-2)
=3-a2+1a+1⋅(a+1)2(a+2)(a-2)
=(2+a)(2-a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a-2)
=-a-1,
∵a=-1,±2时,原分式无意义,
∴a=3,
当a=3时,原式=-3-1=-4.
【解析】(1)根据负整数指数幂,化简绝对值,特殊角的三角函数值,逆用积的乘方,进行计算即可求解;
(2)根据分式的混合运算进行计算,然后根据分式有意义的条件,将a=3代入化简结果,即可求解.
本题考查了实数的混合运算,分式的化简求值,掌握负整数指数幂,化简绝对值,特殊角的三角函数值,逆用积的乘方,分式的运算法则是解题的关键.
25.【答案】【小题1】
如图,过B作BM⊥AC于M.
由题意可得∠BAM=30∘+15∘=45∘,∴∠ABM=45∘.
在Rt△ABM中,∵∠BAM=45∘,AB=40n mile,
∴AM=AB⋅cs∠BAM=40×cs45∘=20 2(n mile).
∴渔船航行20 2n mile距离小岛B最近.
【小题2】
∵BM=AM=20 2n mile,MC=20 6n mile,
∴tan∠MBC=MCBM=20 620 2= 3.∴∠MBC=60∘.
∴∠CBG=180∘-60∘-45∘-30∘=45∘.
在Rt△BCM中,∵∠CBM=60∘,CM=20 6n mile,
∴BC=CMsin60∘=40 2(n mile)
∴救援队从B处出发沿东南方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是40 2n mile.
【解析】1. 见答案
2. 见答案
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