北师大版九年级下册3 垂径定理精品随堂练习题

这是一份北师大版九年级下册3 垂径定理精品随堂练习题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在等边△ABC中，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN=1，那么△ABC的面积为( )
A. 3B. 3C. 4D. 33
2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是
( )
A. 9.6B. 4 5C. 5 3D. 10
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4 3，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为
( )
A. 3 3B. 2 3C. 3D. 2
4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB=10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是( )
A. 3dmB. 4dmC. 5dmD. 6dm
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则OE的长为( )
A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm
6.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )
A. 4 5cmB. 3 5cmC. 5 5cmD. 4cm
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
8.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为( )
A. 10
B. 13
C. 15
D. 16
9.某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度(弧所对的弦的长)24m，拱高(弧的中点到弦的距离)4m，则求拱桥的半径为
( )
A. 16mB. 20mC. 24mD. 28m
10.如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若BC恰好过圆心O，则BC的长是( )
A. 3 3
B. π
C. 2π
D. 4 π
11.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为( )
A. 9 2B. 907C. 11D. 15
12.已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D，大圆的半径是13，AB=24，AC=OC，则OC的长是( )
A. 132
B. 16924
C. 16925
D. 8
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，⊙O的直径为10，AB为弦，C是AB的中点，若OC=3，则弦AB的长为 ．
14.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是______ ；②“图上”太阳升起的平均速度为______ 厘米/分．
15.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8，OC=3，则⊙O半径的长为 ．
16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，AE=2，则CD等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点A、B、C．
(1)试确定BAC所在圆的圆心O；
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=10厘米，腰AB=6厘米，求圆片的半径R.(结果保留根号)
18.(本小题8分)
如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD(弧所对的弦)的长为3.2米，拱高AB(弧的中点到弦的距离)为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端(点D)0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度．
19.(本小题8分)
如图，弓形铁片所在圆的圆心为点O，半径为13cm，弓形的高(弧的中点到弦的距离)CD的长度为8cm，求弦AB的长度．
20.(本小题8分)
紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C.若AB = 30 mm，CD = 5 mm，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．
21.(本小题8分)
某桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为18.2m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为6.2m.求此桥拱圆弧的半径(精确到0.1m)
22.(本小题8分)
如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
(1)用尺规作图法找出BAC所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
23.(本小题8分)
图①为杭州国际会议中心，是全国最大的球形建筑，如图②是球体的轴截面示意图，已知这个球体的高度为86米，球的半径为50米，则这个国际会议中心建筑的占地面积为多少？(结果保留π)
24.(本小题8分)
已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC=30°，AD=13，求弦BC的长．
25.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD/​/AB，连接AD，BC交于点E．
(1)求证：CE=DE：
(2)过点C作CF⊥AD，垂足为F，交⊙O于点G，若CG是⊙O的直径，AB=12，求CD和BE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，根据垂径定理可知MN是等边△ABC的中位线，再根据MN=1可求出BC的长，再由等边三角形的性质即可求出△ABC的面积．
【解答】
解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，
∴M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是等边△ABC的中位线，
∵MN=1，
∴AB=AC=BC=2MN=2，
由勾股定理可得BC边上的高为： 22-12= 3，
∴S△ABC=12×2× 3= 3，
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：∵OE⊥AC于点E，
∴AE=EC．
∵OE=3，OB=5，OA=OB，
∴AE= AO2-OE2=4．
∴AC=8．
∵∠A=∠A，∠AEO=∠AFC=90°，
∴△AEO∽△AFC．
∴AOAC=EOFC，即58=3FC．
∴FC=245．
∵CD⊥AB，
∴CD=2FC=485=9.6．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识点，解题的关键是构造辅助线得到使线段EF最小的位置．
【解答】
解：如图，作EG⊥AB，FH⊥AB，FM⊥EG，G、H、M是垂足，则FMGH是矩形，FM=GH．
∵AD是⊙F的弦，ED=EB，
∴DH=12AD，DG=12BD，
∴FM=GH=12AB=2 3，
∵EF≥FM，
∴EF的最小值是2 3．
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键，由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD=OD-OC即可得出结论．
【解答】
解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB=16，
∴BC=12AB=12×16=8，
在Rt△OBC中，
∵OB=10，BC=8，
∴OC= OB2-BC2= 102-82=6，
∴CD=OD-OC=10-6=4．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD=12×8=4cm，
在Rt△OCE中，OE= OC2-CE2= 52-42=3cm．
故选：C．
先利用垂径定理得到CE=4cm，然后根据勾股定理计算OE的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
6.【答案】A
【解析】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD(角平分线的定义)，
∴CD=BD，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
又∵OA=DO，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE=AF=12AC=3(cm)，
在Rt△DOE中，DE= OD2-OE2=4(cm)，
在Rt△ADE中，AD= DE2+AE2=4 5(cm)．
故选：A．
连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理．
根据垂径定理可得，DE=12CD，在Rt△DOE中，根据勾股定理，OE= OD2-DE2，计算即可得出答案．
【解答】
解：∵AB=20，
∴OD=10，
∵CD⊥AB，
∴DE=12CD=12×16=8，
在Rt△DOE中，
OE= OD2-DE2= 102-82=6．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
连接OF，首先证明AC=DF=12，设OA=OF=x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，AD=AF，
∵点D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∴AC=DF，
∴AC=DF=12，
∴EF=12DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+(x-3)2，
解得x=152，
∴AB=2x=15，
故选C．
9.【答案】B
【解析】【分析】
该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．用AB表示桥拱，AB的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与AB相交于点C.根据垂径定理和勾股定理列出R2=122+(R-4)2，求出R即可解决问题．
【解答】
解：如图，用AB表示桥拱，AB的圆心为O，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与AB相交于点C．
设半径为Rm，
根据垂径定理得，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．
∴AD=12AB=12×24=12(m)，CD=4m，OD=OC-DC=(R-4)m，
在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，
即：R2=122+(R-4)2
解得R=20．
∴拱桥的半径为20m．
10.【答案】A
【解析】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED=EO，
∴OE=12OB，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= 3AC=3 3．
故选：A．
过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，根据折叠的性质得到ED=EO，则OE=12OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC=30°，即∠ABC=30°，根据圆周角定理得∠ACB=90°，根据含30度的直角三角形三边的关系得BC= 3AC=3 3．
本题考查了垂径定理，折叠的性质和圆周角定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】D
【解析】解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=12(AC+BC)=9，
∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=12，
∴PH+QI=18-12=6，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+6=15，
故选：D．
连接OP，OQ，根据DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12(AC+BC)=9和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．
12.【答案】B
【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵大圆和小圆的圆心都为点O，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∵AB=24，
∴AE=BE=12，
∵OA=13，
∴OE= OA2-AE2= 132-122=5，
设AC=OC=x，
则CE=12-x，
在Rt△COE中，(12-x)2+52=x2，24x=169
解得：x=16924，
即OC的长为16924，
故选：B．
过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理求得AE=BE=12，根据勾股定理求出OE的长度，设AC=OC=x，则CE=12-x，在Rt△COE中，利用勾股定理即可求得OC的长．
本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理常与勾股定理相结合来解题．
13.【答案】8
【解析】【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧”.连接 OA ，根据垂径定理可得 OC⊥AB ，根据勾股定理求出 AC ，即可求解．
【详解】解：连接 OA ，
∵ ⊙O 的直径为10，
∴ OA=5 ，
∵C是 AB 的中点，
∴ OC⊥AB ，
根据勾股定理可得： AC= OA2-OC2= 52-32=4 ，
∴ AB=2AC=8 ．
故答案为∶8．
14.【答案】相交 1
【解析】解：①结合图形，依题意得：“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；
故答案为：相交．
②设圆心为O，过点O作OE⊥AB于E，直线OE交圆于C，D，如图：
∴OA=OD=5cm，AE=BE=1/2AB=4cm，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE=√OA2-AE2=3(cm)，
∴DE=OD+OE=5+3=8(cm)，
∴“图上”太阳升起的平均速度为：8÷8=1(厘米/分)．
故答案为：1．
①结合图形依题意即可得出答案；
②设圆心为O，过点O作OE⊥AB于E，直线OE交圆于C，D，先利用勾股定理得求出OE=3cm，进而得DE=8cm，据此可求出“图上”太阳升起的平均速度．
此题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理等，理解垂径定理及其推论，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴在Rt△AOC中，AC=4，OC=3，
∴OA= AC2+OC2=5．
∴⊙O的半径5，
故答案为：5．
根据垂径定理得出AC，根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AC是解此题的关键．
16.【答案】8
【解析】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD=2CE，
∵OC=5，AE=2，
∴OA=5，
∴OE=OA-AE=5-2=3，
∴CE= OC2-OE2= 52-32=4．
∴CD=2CE=8．
故答案为：8．
由垂径定理得到CD=2CE，根据OC=OA=5，AE=2可求出OE的长，利用勾股定理可求出CE的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据垂径定理得出CD=2CE是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)作DO⊥AB.DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；
(2)
设半径为r.连接OA，因为BA=AC，故AO⊥BC．
所以：CD=12×10=5，AD= 62-52= 11．
根据勾股定理，(R- 11)2+52=R2，解得R=18 1111．
【解析】(1)根据垂径定理，作DO⊥AB.DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；
(2)连接AO.根据AB=AC，AO过圆心，依据垂径定理推论，可判断AO⊥BC，根据勾股定理求半径．
此题是一道实际问题，将圆的相关知识和勾股定理结合，有一定的开放性，可以作出图形，根据勾股定理和垂径定理解答．
18.【答案】解：(1)∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在BA的延长线上，
连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，
设⊙O的半径为r米，则OA=(r-0.8)米，
∵OB⊥CD，
∴CA=DA=12CD=12×3.2=1.6(米)，
在Rt△OAC中，1.62+(r-0.8)2=r2，
解得r=2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
(2)过G点作GE⊥AB于E点，如图，
∵DH=0.4米，
∴AH=AD-DH=1.2米，
∵∠GEA=∠EAH=∠GHA=90°，
∴四边形AHGE为矩形，
∴AE=GH，GE=AH=1.2米，
在Rt△OEG中，OE= OG2-EG2= 22-1．22=1.6(米)，
∵OA=OB-AB=2-0.8=1.2(米)，
∴AE=OE-OA=1.6-1.2=0.4(米)，
∴GH=0.4米．
即支撑杆HG的高度为0.4米．
【解析】(1)利用垂径定理得到圆心O在BA的延长线上，CA=DA=1.6，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA=(r-0.8)米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+(r-0.8)2=r2，然后解方程即可；
(2)过G点作GE⊥AB于E点，如图，先证明四边形AHGE为矩形得到AE=GH，GE=AH=1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理计算出OE=1.6米，然后计算AE的长，从而得到支撑杆HG的高度．
本题考查了垂径定理的应用：运用垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
19.【答案】解：∵OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵OC=OB=13cm，CD=8cm，
∴OD=OC-CD=5(cm)，
∴BD= OB2-OD2= 132-52=12(cm)，
∴AB=2BD=24(cm)．
【解析】利用垂径定理以及勾股定理求解即可．
本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，连接OB．
∵l过圆心O，l⊥AB，AB=30mm，
∴BD=12AB=15mm．
∵CD=5mm，
∴DO=(r-5)mm．
∵BO2=BD2+DO2，
∴r2=152+(r-5)2．
解得r=25．
∴这个紫砂壶的壶口半径r的长为25mm．
【解析】此题主要考查垂径定理及勾股定理的应用，连接OB，根据垂径定理与勾股定理求解．
21.【答案】解：如图，设圆心为O，作OD⊥AB于点D，交圆弧为点C，设半径为Rm，

则AD=BD=9.1m，OD=(R-6.2)m，CD=6.2m，
由勾股定理得：R2=9.12+(R-6.2)2，
解得：R≈9.8，
答：此桥拱圆弧的半径为9.8m．
【解析】设圆心为O，作OD⊥AB于点D，设半径为Rm，根据垂径定理得AD=BD=9.1m，OD=(R-6.2)m，CD=6.2m，由勾股定理得：R2=9.12+(R-6.2)2，即可求出答案．
该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
22.【答案】解：(1)如图，点O即为所求；

(2)如图，连接AO交BC于点H，连接OB．

∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵OA是半径，
∴OA⊥BC，
∴BH=CH=4，
∴AH= AB2-BH2= 52-42=3，
∵OA=OB=R，则有R2=42+(R-3)2，
∴R=256．
【解析】(1)作线段AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为所求；
(2)如图，连接AO交BC于点H，连接OB.利用垂径定理，勾股定理求出AH，再利用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：连接OA，
∵OA2=AD2+OD2
∴AD2=OA2-OD2=502-(86-50)2=1204 ，
∴S=πAD2=1204π平方米．
答：这个国际会议中心建筑的面积为1204π平方米．
【解析】本题考查勾股定理以及圆的面积公式的实际应用．首先根据勾股定理求出AD的值，然后根据圆的面积公式求出这个国际会议中心建筑的占地面积．
24.【答案】解：作OM⊥BC于点M．
∵AD=13，OD=5，
∴AO=8，
∵∠DAC=30°，
∴OM=4．
在Rt△OCM中，OM=4，OC=5，
∴MC=3
∴BC=2MC=6．
【解析】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用．
已知AD的长及⊙O的半径，即可求出OA的长；过O作BC的垂线，设垂足为M，在Rt△OAM中，由OA的长和∠A的度数，可求出OM的值；进而可在Rt△OCM中，用勾股定理求出CM的长．根据垂径定理知BC=2CM，由此可求出BC的长．
25.【答案】(1)证明：∵CD//AB，
∴∠A=∠CDA，
∴AC=BD，
∴∠CDE=∠ECD，
∴CE=DE；
(2)解：连接OD，OE，
∵AC=BD，
∴∠A=∠B，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠AOF=∠B+∠OCB=2∠B=2∠A，
∵CF⊥AD，
∴∠A+∠AOF=90°，
∴∠A=30°，
∴∠AOF=60°，
∵CD//AB，
∴∠OCD=∠AOC=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=12AB=12×12=6，
∵∠A=∠B，
∴EA=BE，
∵AO=BO，
∴EO⊥AB，
∴csB=OBBE= 32，
∵OB=OA=6，
∴BE=4 3．
【解析】(1)由平行线的性质得到：∠A=∠CDA，由圆周角定理得到∠CDE=∠ECD，因此CE=DE；
(2)连接OD，OE，由圆周角定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，求出∠AOC=60°，推出△COD是等边三角形，得到CD的长，由等腰三角形的性质推出OE⊥AB，由锐角的余弦即可求出BE的长．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质求出∠A=30°．