数学九年级下册第三章 圆1 圆优秀精练

这是一份数学九年级下册第三章 圆1 圆优秀精练，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，∠AOD的大小为( )
A. 130°
B. 100°
C. 120°
D. 110°
2.如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G.若∠COD=126°，则∠AGB的度数为( )
A. 99°B. 108°C. 110°D. 117°
3.下列命题中，正确的命题个数是
( )
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．( )
A. 12B. 34C. 32D. 45
5.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a( )
A. B.
C. D.
6.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC=70°，则∠BAC=( )
A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°
7.如图，在⊙O中，AB是直径，AC=5，∠BAC=∠D.则AB的长为
( )
A. 5
B. 10
C. 52
D. 102
8.如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是
( )
A. 30°B. 45°C. 55°D. 60°
9.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若OB=BC，则∠BAC等于
( )
A. 60°B. 45°C. 30°D. 20°
11.如图，AD是▵ABC的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50∘，则∠BAD等于
( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠BOC=110°，AD/​/OC，则∠AOD的度数为
．( )
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为______ ．
14.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=90°，则∠C的度数是________°．
15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC=28°，则∠D= °.
16.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，⊙O的半径为2，则BC的长为_________(保留根号)．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
已知：如图，线段BC与经过点C的直线l．
求作：在直线l上求作点D，使∠CDB=150°．
作法：
①分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于BC上方的点A，连接AB，AC；
②以点A为圆心，以AB长为半径画圆交直线l于点D(不同于点C)，连接BD.则点D即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵分别以点B，C为圆心，BC长为半烃画弧，两弧交于BC上方的点A．
∴AB=BC=CA
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
在⊙A中，在优弧BC上任取点E，连接BE，CE．
∴∠CEB=30°.(_________________________)(填推理依据)
∵点B，D，C，E在⊙A上．
∴∠CDB+∠CEB=180°.(_________________________)(填推理依据)
即∠CDB=150°．
18.(本小题8分)
下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为60°”尺规作图的过程．
已知：如图，⊙O．
求作：矩形ABCD，使矩形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD的夹角为60°
作法：①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧．交直线AC上方的圆于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
④顺次连接AB、BC、CD和DA．
四边形ABCD就是所求作的矩形，
根据小明设计的尺规作图过程
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA=OC，OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．(__________)(填推理依据)．
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°(________)(填推理依据)．
∴四边形ABCD是矩形．
又∵AB=AO=________．
∴ΔABO是等边三角形．
∴∠AOB=60°
∴四边形ABCD是所求作的矩形．
19.(本小题8分)
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°．
求作：射线CP，使得CP平分∠ACB．
作法：
①作AB的垂直平分线EF交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线EF的一个交点为P(点P与点C在AB的异侧)；
③作射线CP．
所以射线CP即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OC．
∵直线EF为AB的垂直平分线，
∴OA=OB．
∵∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC=12AB．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，PO⊥AB于点O，
∴∠AOP=∠BOP=90°，
∴AP⏜=__________，
∴∠ACP=∠BCP(_______________________)(填推理的依据)．
∴射线CP平分∠ACB．
20.(本小题8分)
已知：如图在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AD=CB，
(1)利用尺规作图确定圆心O的位置，保留作图痕迹；
(2)求证：AB=CD．
21.(本小题8分)
如图，⊙O是▵ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
(1)求证：∠BAD=∠CAD；
(2)连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和BC的长．
22.(本小题8分)
如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E.连接AB、OB、BC．
(1)求证：∠CBO=∠ABD；
(2)若AE=4cm,CE=16cm，求弦BD的长．
23.(本小题8分)
如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8，∠A=22.5°，求CD的长．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC=5，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．

(1)求证：BD=CD；
(2)若DE=4，求AD的长．
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E．
(1)求证：CD=CE；
(2)连接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度数。
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．首先证明∠ADC=∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE=50°，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=12(180°-50°)=65°，
∴∠AOD=2∠ACD=130°，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．根据圆周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=12∠COD=63°，再由AB=AD得到∠B=∠D=45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠D=45°，
∵∠DAC=12∠COD=12×126°=63°，
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了圆周角定理及推论，熟练地记忆圆周角定理的定理与推论是解决问题的关键．
根据圆周角定理的定义，定理与推论进行分析即可．
【解答】
解：根据圆周角定理可知：①顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；根据在同圆和等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等，此选项错误；
正确的有③．
故选A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和平面直角坐标系及解直角三角形的相关知识，能够作出辅助线是解题的关键．
作直径OE，连接CE，则OE=10，根据圆周角定理得出∠E=∠B，解直角三角形求出∠OBC的余弦值即可．
【解答】
解：如图，作直径OE，连接CE，则OE=10，根据圆周角定理得：∠E=∠B，
∵OE为直径，
∴∠OCE=90°，
∵C(0,5)，
∴OC=5，
根据勾股定理CE= OE2-OC2= 102-52=5 3，
∴cs∠OBC=cs∠E=CEOE=5 310= 32，
故答案为C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解答】
解：∵a+b+c=0，且a∴a<0，c>0，(b的正负情况不能确定)，
∵a<0，
∴函数y=cx-a的图象与y轴正半轴相交，
∵c>0，
∴函数y=cx-a的图象经过第一、二、三象限．
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据圆的性质，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，则 ∠ACB=90∘ ，在 △ACB 中，运用内角和定理，结合 ∠ABC=70∘ ，可得 ∠BAC=180∘-∠ACB+∠ABC=20∘ ．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，
∴ ∠ACB=90∘ ，
∵ ∠ABC=70∘ ，
∴ ∠BAC=180∘-∠ACB+∠ABC=180∘-90∘-70∘=20∘ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B解答．根据圆周角定理得出∠D=∠B，进而得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【解答】
解：∵∠BAC=∠D，∠B=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴BC=AC，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=5 2，
故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
【解答】
解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质．由∠ADC=130°，可得∠ABC=50°，再根据圆周角定理求出∠ACB=90°，由三角形内角和即可求得∠BAC的度数．
【解答】
解：∵∠ADC=130°，
∴∠ABC=180°-∠ADC=50°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=180°-90°-50°=40°．
故选C．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的性质与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
由OB=BC，易得△OBC是等边三角形，继而求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BAC的度数．
【解答】
解：∵OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=12∠BOC=30°．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】解： ∵AD 是 ▵ABC 的外接圆 ⊙O 的直径，
∴ 点 A ， B ， C ， D 在 ⊙O 上，
∵∠BCA=50∘ ，
∴∠ADB=∠BCA=50∘ ，
∵AD 是 ▵ABC 的外接圆 ⊙O 的直径，
∴∠ABD=90∘ ，
∴∠BAD=90∘-50∘=40∘ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到 ∠ADB=50∘ ， ∠ABD=90∘ 是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，平行线的性质有关知识，根据三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．
【解答】
解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=70°，
∵AD/​/OC，OD=OA，
∴∠D=∠A=70°，
∴∠AOD=180°-2∠A=40°．
故选D．
13.【答案】 24
【解析】解：设⊙A交x轴于D，连接CD，则CD是直径，
在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，
则OD= CD2-OC2= 62-22=4 2，
tan∠CDO=OCOD= 24，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，
则tan∠OBC= 24，
故答案为： 24．
设⊙A交x轴于D，连接CD，则CD是直径，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】45
【解析】解：∵AB所对的圆心角是∠AOB，AB所对的圆周角是∠ACB，
∴∠C=12∠AOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠C=45°，
故答案为：45．
根据圆周角定理进行计算即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15.【答案】62
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
如图，连接BC，证明∠ACB=90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=62°，
∴∠D=∠ABC=62°，
故答案为：62．
16.【答案】2 3
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理、勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后求得∠OBC的度数，利用勾股定理，即可求得答案．
【解答】
解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=180°-∠BOC2=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OD=1，
∴BD= 22-12= 3，
∴BC=2 3．
17.【答案】(1)解；如图所示，
(2)圆周角定理；圆内接四边形对角互补．

【解析】(1)根据题意作出图形即可求解；
(2)根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解．
18.【答案】(1)解：如图所示，矩形ABCD即为所求；
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；直径所对的圆周角是直角；BO．

【解析】(1).按作图步骤运用尺规作图即可．
(2).根据平行四边形的判定定理，圆心角的性质，等边三角形的判定，依照条件填写即可．
19.【答案】(1)如图，射线CP即为所求．
(2)BP；等弧所对的圆周角相等．

【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用圆周角定理证明即可．
20.【答案】(1)如图所示：
(2)∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠A=∠C，∠D=∠B．
在△ADE和△CBE中
{∠A=∠CAD=BC∠ADE=∠CBE,
∴△ADE≌△CBE．
∴AE=CE，DE=BE，
∴AE+BE=CE+DE，
即AB=CD．

【解析】同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得，△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD.
21.【答案】(1)证明：∵ AD 是 ⊙O 的直径， AD⊥BC ，
∴ BD⌢=CD⌢ ，
∴ ∠BAD=∠CAD ．
(2)解：如图，
∵ AD 是 ⊙O 的直径， AD⊥BC ，
∴点E为 BC 的中点，
∵点O是 BG 的中点，
∴ CG=2OE=2×3=6 ．
∵ BG 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠BCG=90∘ ．
∵ ⊙O 的半径为5，
∴ BG=10 ，
∴ BC= BG2-CG2=8 ．

【解析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理．
(1)根据垂径定理得到 BD⌢=CD⌢ ，再根据圆周角定理证明结论；
(2)根据垂径定理得到点E为 BC 的中点，再根据三角形中位线定理可得 CG=2OE=6 ，然后根据圆周角定理得到 ∠BCG=90∘ ，再根据勾股定理，即可求解．
22.【答案】解：(1)∵AC⊥BD，AC为⊙O的直径，BD是弦，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠C，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∴∠CBO=∠ABD；
(2)∵AE=4cm，CE=16cm，
∴OA=10cm，OE=6cm，
在Rt△OBE中，BE= 102-62=8，
∵AC⊥BD，BD是弦，
∴BE=DE，
∴BD=2BE=16cm，
∴弦BD的长为16cm．

【解析】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用，会利用垂径定理证AB=AD，利用等弧所对圆周角性质∠ABD=∠C，结合半径OC=OB等腰三角形证∠CBO=∠ABD，会求半径OA，会由勾股定理求BE，利用垂径求BD是解题关键．
(1)由AC⊥BD，AC为⊙O的直径，BD是弦，利用垂径定理有AB=AD，利用等弧所对圆周角性质∠ABD=∠C，结合半径OC=OB，即可得出结论，
(2)先求出半径OA，再求OE，由勾股定理可求BE，利用垂径BE=ED，便可求BD．
23.【答案】解：∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∵直径AB垂直弦CD于E，
∴CE=2 2，
∴CD=4 2．
【解析】根据圆周角定理得出∠COE的度数，在Rt△ACE中，得出CE，再由垂径定理得出CD即可．
本题考查了垂径定理，还考查了圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
(2)解：∵ ∠E与∠B所对的弧是弧AD，
∴∠E=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠C=∠E，
∴DC=DE=4，
∴BD=CD=4，
∵在Rt△ABD中，BD=4，AB=5，
∴AD= AB2-BD2= 52-42=3．

【解析】(1)根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
(2)由同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠B，再证CD=ED，然后可求得BD的长，最后运用勾股定理求得AD的长．
25.【答案】
(第9题答图)
(1)如答图所示，连结BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AD．
∵CD=AC，∴AB=BD.∴∠BAD=∠D．
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠D.∴CE=CD．
(2)连结AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∵∠ABE=∠BAD+∠D=50°，∴∠BAE=90°-50°=40°
答：∠BAE的度数为40°．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)连接BC.首先证明AB=BD，推出∠D=∠BAD=∠CEB即可解决问题；
(2)连接AE，根据∠AEB=90°-∠ABE，只要求出∠ABE即可；