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北师大版九年级下册5 确定圆的条件优秀同步达标检测题
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这是一份北师大版九年级下册5 确定圆的条件优秀同步达标检测题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M
2.⊙O的半径为7，点P在⊙O外，则OP的长可能是( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
3.如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点Bˈ在直线AC上，若BC=1，则点C和△ABˈC′外心之间的距离是( )
A. 1B. 3−1C. 2− 3D. 3
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为
( )
A. 3πB. 4πC. 6πD. 9π
5.已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在( )
A. ⊙O内B. ⊙O外C. ⊙O上D. 以上都有可能
6.如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40∘，则∠ADC的度数是( )
A. 130∘B. 140∘C. 150∘D. 160∘
7.如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，则△ABC的面积为( )
A. 18B. 24C. 30D. 36
8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为直角三角形，A(1,0)，∠BAO=60°，把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到Rt△AO′B′，则Rt△AO′B′的外接圆圆心坐标是( )
A. 1+ 32,12B. 32,12C. 1+ 32,1D. 12,1+ 32
9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为直角三角形，A(1,0)，∠BAO=60∘，把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90∘后，得到Rt△AO′B′，则Rt△AO′B′的外接圆圆心的坐标是( )
A. (1+ 32,12)B. ( 32,12)C. (1+ 32,1)D. (12,1+ 32)
10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AC，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为( )
A. 3πB. 4πC. 6πD. 9π
11.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若OE=1，∠ACB=45°，则AB=( )
A. 2
B. 1
C. 2
D. 4
12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为( )
A. 4
B. 2 3
C. 3
D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则∠A的度数为 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为(4,8)，则△AOC的外接圆半径为 ．
15.在平面直角坐标系中，一个圆经过O(0,0)，A(3,9)，B(6,0)三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
16.如图，AB是⊙O的直径，AB=2，∠ABC=60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为_____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
已知：如图，△ABC．
(1)求作：△ABC的外接圆(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ．
(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为 3，求其外接圆的面积．
18.(本小题8分)
如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
19.(本小题8分)
如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
(1)求证：∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)如图2，连接OE、AD，若OE//AD，且AB=10，BD=8，求BC的长．
20.(本小题8分)
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
作法：①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．
所以∠APB=∠ACB．
请回答：
(1)根据上述做法，利用尺规作图的方式，补全图形；
(2)∵线段AB的垂直平分线m，线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O，
∴OA= ______ = ______ ，
∵∠APB与∠ACB对AB，
∴∠APB=∠ACB(______ )(填写理由)．
21.(本小题8分)
如图，∠A=∠B=50∘，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
(1)求证：△APM≌△BPN;
(2)当MN=2BN时，求α的度数;
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，D在边AB格点上．
(1)请找出△ABC的外心O；
(2)请用无刻度直尺在边AC上找出所有使得△ADE与△ABC相似的点E．
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC．
(1)作△ABC的外接圆，并在AB的上方作弦AD，使AD=BC(尺规作图，保留作图痕迹)．
(2)连结CD，求证：CD//AB．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，若∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E．
(I)求证：BD2=AD⋅DE；
(2)若AB=4 3，AC=6 3，试求AD、DE的长．
25.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=10，cs∠ABC=45．
D是直径AB下方半圆上的一点，CD交AB于点E．
(1)求BC的长：
(2)若BE=BD，求AE的长；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
根据正方形网格的特征作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．
【解答】
解：连结BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及旋转的性质和勾股定理的运用，熟知锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部，是解题的关键.设△AB′C′外心为点O，因为△AB′C′是直角三角形，所以外心在斜边AB′的中点，易求AO的长和AC的长，进而可求出OC的长，即点C和△AB′C′外心之间的距离．
【解答】
解：∵将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30∘得到Rt△AB′C′，点B′在直线AC上，
∴∠C′AB′=∠B′AB=30∘，
∵BC=1，
∴AB=AB′=2
∴AC= AB2−BC2= 3，
设△AB′C′外心为点O，∠C′=90∘，
∴外心O在斜边AB′的中点处，
∴AO=12AB′=1，
∴OC= 3−1，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．
【解答】
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA=3，
∴△ABC外接圆的面积为9π．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5>3．
∴该点在圆外，
故选：B．
根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．
本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】B
【解析】如图，连接AF，AD，∵E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，∴EP⊥AB，EQ⊥AC，∴AF=BF，AD=DC，∵BF=5，CD=4，∴AF=5，AD=4，∵DF=3，∴DF2+AD2=AF2，∴∠ADF=90°，∵BC=BF+DF+DC=5+3+4=12，∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×12×4=24.故选B．
8.【答案】A
【解析】∵A(1,0)，∴OA=1，∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴AB=2，∴OB= 22−12= 3，∵Rt△AO′B′是由Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的，∴O′B′=OB= 3，AO′=AO=1，O′A⊥x轴，∴O′B′ // x轴，∴B′( 3+1,1)，
∵Rt△AO′B′的外接圆的圆心是AB′的中点，∴Rt△AO′B′的外接圆的圆心坐标是1+ 32,12.故选A．
9.【答案】A
【解析】∵A(1,0)，∴OA=1．∵∠AOB=90∘，∠BAO=60∘，∴OB= 3．∵Rt△AO′B′是由Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90度后得到的，∴O′B′=OB= 3，AO′=AO=1．∵旋转角是90∘，∴O′A⊥x轴，∴O′B′//x轴，∴B′( 3+1,1)．∵Rt△AO′B′的外接圆的圆心是AB′的中点，∴Rt△AO′B′的外接圆的圆心坐标是(1+ 32,12).故选A．
10.【答案】D
【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，∵EF垂直平分AC，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA=3，∴△ABC外接圆的面积=π×32=9π.故选D．
11.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，
在Rt△OAE中，AE=OE⋅tan∠AOE=1，
∴AB=2AE=2，
故选：A．
如图所示，连接OA，OB，由圆周角定理得到∠AOB=90°，由垂径定理得到∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，再解Rt△OAE求出AE=1，则AB=2AE=2．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
根据圆周角定理求得∠BOC=120°，过点O作OM⊥BC，由垂径定理得出MB=MC，结合等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出CM的长度，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及垂径定理，理解相关性质定理并进行推理计算是解题的关键．
【解答】
解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵OB=OC，OM⊥BC，
∴∠COM=12∠BOC=60°，MB=MC，
∴在Rt△COM中，∠OCM=30°，
∴OM=12OC=1，CM= 3OM= 3，
∴BC=2CM=2 3，
故选：B．
13.【答案】69°
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．直接利用圆周角定理得出∠BCD=90°，进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=21°，
∴∠A=∠D=90°−21°=69°．
故答案为：69°
14.【答案】552
【解析】解：如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
连接OC交AB于点D，
根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，
作AO的垂直平分线交AB于点O’，
则点O’即为△AOC的外心，
设OB=CB=x，
∵点C(4,8)
∴CE=4，OE=8，
则OC=CE2+OE2=42+82=45
∴CD=OD=25，
EB=8−x，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
x2=(8−x)2+42，解得x=5，
即OB=BC=5，
∴BD=OB2−OD2=25−20=5
∵OD2=BD⋅AD
∴AD=45
设OO’=AO’=r，
则DO’=45−r，
∴(45−r)2+(25)2=r2
解得r=552.
所以△AOC的外接圆半径为：552.
故答案为：552.
先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出OC、OB和AO的长，进而可以求出外接圆的半径．
本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形变化−对称、翻折变换，解决本题的关键是综合运用以上知识．
15.【答案】(3,4)
【解析】解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，
设圆心O′(3,m)，则有32+m2=(9−m)2，
解得m=4，
∴圆心O′(3,4)，
故答案为：(3,4).
由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′(3,m)，根据勾股定理构建方程求解即可．
本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】 7−12
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK上时，CD的值最小，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OD，OC，
∵D是AP的中点，
∴AD=DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO=90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点D在CK上时，CD的值最小．
∵∠ABC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC=OB=12AB=1，
作CE⊥OB，
在Rt△OCE中，
∵∠COB=60°，OC=1，
∴OE=12，CE= 32，
∴KE=12+12=1，
在Rt△CKE中，
CK= CE2+KE2
= 1+34
= 72，
∴CD=CK−KD= 72−12
= 7−12．
故答案为 7−12．
17.【答案】(1)解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆．
(2)斜边中点．
(3)解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D，OD= 3，
连接OB，
∵OD⊥BC，
∴BD=12BC=3，
∴OB= BD2+OD2=2 3，
其外接圆的面积为(2 3)2π=12π．
【解析】(1)作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可；
(2)根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；
(3)连接OB，利用勾股定理求出半径即可．
18.【答案】解：(1)如图，AE为所作；
(2)连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴BE=CE，
∴OE⊥BC，
∴EF=3，
∴OF=5−3=2，
在Rt△OCF中，CF= 52−22= 21，
在Rt△CEF中，CE= 32+( 21)2= 30．
【解析】本题考查了作图−作角平分线，圆周角定理，垂径定理及勾股定理等．
(1)利用基本作图作AE平分∠BAC；
(2)连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到BE=CE，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
19.【答案】(1)证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CDB，
∵∠CEB=∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)解：∵OE//AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∴AD= AB2−BD2= 102−82=6，
∴AE= AD2+DE2= 62+42=2 13，
设BC=x，EC=y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(2 13+y)2+x242=x2+y2,
整理得：x2+y2+4 13y−48=0x2+y2=16，
∴16+4 13y−48=0，
解得：y=8 13，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=12 1313或x=−12 1313(舍去)，
∴BC的长为12 1313．
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
(2)由OE//AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，∠ACB=90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC=x，EC=y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
20.【答案】OB OC 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
【解析】解：(1)补全图形如下图：
(2)连接OA，OB，OC，
∵线段AB的垂直平分线m，线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O，
∴OA=OB=OC，
∵∠APB与∠ACB对AB，
∴∠APB=∠ACB(在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等)．
故答案为：OB，OC，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
(1)根据作图过程补画图形即可；
(2)根据圆的性质即可完成证明．
本题主要考查了作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，能够准确作图并灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵P为AB中点，∴PA=PB．
又∵∠A=∠B，∠MPA=∠NPB，∴△APM≌△BPN．
(2)解：由(1)得PM=PN，∴MN=2PN，
∵MN=2BN，∴PN=BN，
∴α=∠B=50∘．
(3)解：40∘<α<90∘．
【解析】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．
(1)根据AAS证明：△APM≌△BPN；
(2)由(1)中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
(3)三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
22.【答案】解：(1)如图，点O为所求；
(2)如图，DE⊥AB或DE⊥AC时，△ADE与△ABC相似，
∵∠B=∠ADE=90°，∠DAE=∠DAE，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】(1)根据直角三角形的外心是斜边中点即可得答案；
(2)根据相似三角形的判定方法，作出图形即可．
本题考查了作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
23.【答案】(1)解：如图，圆O及AD即为所求．
(2)证明：∵AD=BC，
∴AD=BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD//AB．
【解析】(1)分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，即可得△ABC的外接圆；以点A为圆心，BC长为半径画弧，交AB上方的圆O于点D，连接AD即可．
(2)由AD=BC可得AD=BC，根据圆周角定理可得∠ACD=∠BAC，再结合平行线的判定定理可得结论．
本题考查作图−复杂作图、圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
在△DBE和△DAC中，∠BDE=∠ADB，∠EBD=∠BAD，
∴△DBE∽△DAC，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD2=AD⋅DE；
(2)解：设⊙O的圆心为点O，连接OD交BC于H，OB，过点B作BF//AD交CA的延长线于F，如图：
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴BD=CD，
∴∠O=2∠BAD=60°，OD⊥BC，
∴BH=CH，BC=2BH，
又OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OD，OH=DH，
设OH=DH=k，则BD=2k，
由勾股定理得：BH= BD2−DH2= 3k，
∴BC=2BH=2 3k，
∵BF//AD，∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠F=∠CAD=30°，∠ABF=∠BAD=30°，
∴∠F=∠ABF=30°，
∴AF=AB=4 3，
∵BF//AD，
∴AF：AC=BE：CE，
∴BE：CE=4 3：6 3=2：3，
∴可设：BE=2a，CE=3a，
∴BC=BE+CE=5a，
∴5a=2 3k，即：a=2 3k5，
∴BE=2a=4 3k5，CE=3a=6 3k5，
由(1)得：△DBE∽△DAC，
∴BD：AD=BE：AB，即：2k：AD=4 3k5：4 3，
∴AD=10；
设DE=x，则AE=AD−DE=10−x，
由(1)的结论得：BD2=AD⋅DE，即：(2k)2=10x，
∴k2=2.5x，
由相交弦定理得：DE⋅AE=BE⋅CE，
即：x(10−x)=4 3k5⋅6 3k5=7225k2，
将k2=2.5x代入上式得：x(10−x)=7225×2.5x=7.2x，
∵x≠0，
∴10−x=7.2，故x=2.8，
∴DE=2.8．
【解析】(1)先证∠CBD=∠BAD，然后根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定△DBE和△DAC相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
(2)设圆心为点O，连接OD交BC于H，OB，过点B作BF//AD交CA的延长线于F，先证OD⊥BC及△OBD为等边三角形，从而得BD=OD，OH=DH，BH=CH，设OH=DH=k，则BD=2k，BH= 3k，BC=2 3k，再证AF=AB=4 3，由BF//AD得BE：CE=2：3，于是可设BE=2a，CE=3a，则BC=5a=2 3k，从而得a=2 3k5，则BE=2a=4 3k5，CE=3a=6 3k5，然后由(1)得△DBE∽△DAC，据此由相似三角形的性质得AD=10，最后设DE=x，则AE=10−x，由(1)的结论得k2=2.5x，由相交弦定理得DE⋅AE=BE⋅CE，据此即可求出x，进而得DE的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质、垂径定理．
25.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cs∠ABC=BCAB=45，
∵AB=10，
∴BC=8；
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠AEC=∠BED，∠BDE=∠EAC，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=CE，
作CH⊥AB于点H，
则AH=EH，
∵cs∠CAH=cs∠CAB，
∴AH6=610，
∴AH=185，
∴AE=2AH=365．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，再利用三角函数可得答案；
(2)利用等腰三角形的判定与性质可推导出AC=CE，作CH⊥AB于点H，根据cs∠CAH=cs∠CAB，可得AH的长，即可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角函数，垂径定理等知识，熟练掌握各性质是解决问题的关键．
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M
2.⊙O的半径为7，点P在⊙O外，则OP的长可能是( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
3.如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点Bˈ在直线AC上，若BC=1，则点C和△ABˈC′外心之间的距离是( )
A. 1B. 3−1C. 2− 3D. 3
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为
( )
A. 3πB. 4πC. 6πD. 9π
5.已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在( )
A. ⊙O内B. ⊙O外C. ⊙O上D. 以上都有可能
6.如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40∘，则∠ADC的度数是( )
A. 130∘B. 140∘C. 150∘D. 160∘
7.如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，则△ABC的面积为( )
A. 18B. 24C. 30D. 36
8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为直角三角形，A(1,0)，∠BAO=60°，把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到Rt△AO′B′，则Rt△AO′B′的外接圆圆心坐标是( )
A. 1+ 32,12B. 32,12C. 1+ 32,1D. 12,1+ 32
9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为直角三角形，A(1,0)，∠BAO=60∘，把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90∘后，得到Rt△AO′B′，则Rt△AO′B′的外接圆圆心的坐标是( )
A. (1+ 32,12)B. ( 32,12)C. (1+ 32,1)D. (12,1+ 32)
10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AC，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为( )
A. 3πB. 4πC. 6πD. 9π
11.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若OE=1，∠ACB=45°，则AB=( )
A. 2
B. 1
C. 2
D. 4
12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为( )
A. 4
B. 2 3
C. 3
D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则∠A的度数为 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为(4,8)，则△AOC的外接圆半径为 ．
15.在平面直角坐标系中，一个圆经过O(0,0)，A(3,9)，B(6,0)三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
16.如图，AB是⊙O的直径，AB=2，∠ABC=60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为_____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
已知：如图，△ABC．
(1)求作：△ABC的外接圆(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ．
(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为 3，求其外接圆的面积．
18.(本小题8分)
如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
19.(本小题8分)
如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
(1)求证：∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)如图2，连接OE、AD，若OE//AD，且AB=10，BD=8，求BC的长．
20.(本小题8分)
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
作法：①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．
所以∠APB=∠ACB．
请回答：
(1)根据上述做法，利用尺规作图的方式，补全图形；
(2)∵线段AB的垂直平分线m，线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O，
∴OA= ______ = ______ ，
∵∠APB与∠ACB对AB，
∴∠APB=∠ACB(______ )(填写理由)．
21.(本小题8分)
如图，∠A=∠B=50∘，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
(1)求证：△APM≌△BPN;
(2)当MN=2BN时，求α的度数;
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，D在边AB格点上．
(1)请找出△ABC的外心O；
(2)请用无刻度直尺在边AC上找出所有使得△ADE与△ABC相似的点E．
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC．
(1)作△ABC的外接圆，并在AB的上方作弦AD，使AD=BC(尺规作图，保留作图痕迹)．
(2)连结CD，求证：CD//AB．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，若∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E．
(I)求证：BD2=AD⋅DE；
(2)若AB=4 3，AC=6 3，试求AD、DE的长．
25.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=10，cs∠ABC=45．
D是直径AB下方半圆上的一点，CD交AB于点E．
(1)求BC的长：
(2)若BE=BD，求AE的长；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
根据正方形网格的特征作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．
【解答】
解：连结BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及旋转的性质和勾股定理的运用，熟知锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部，是解题的关键.设△AB′C′外心为点O，因为△AB′C′是直角三角形，所以外心在斜边AB′的中点，易求AO的长和AC的长，进而可求出OC的长，即点C和△AB′C′外心之间的距离．
【解答】
解：∵将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30∘得到Rt△AB′C′，点B′在直线AC上，
∴∠C′AB′=∠B′AB=30∘，
∵BC=1，
∴AB=AB′=2
∴AC= AB2−BC2= 3，
设△AB′C′外心为点O，∠C′=90∘，
∴外心O在斜边AB′的中点处，
∴AO=12AB′=1，
∴OC= 3−1，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．
【解答】
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA=3，
∴△ABC外接圆的面积为9π．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5>3．
∴该点在圆外，
故选：B．
根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．
本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】B
【解析】如图，连接AF，AD，∵E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，∴EP⊥AB，EQ⊥AC，∴AF=BF，AD=DC，∵BF=5，CD=4，∴AF=5，AD=4，∵DF=3，∴DF2+AD2=AF2，∴∠ADF=90°，∵BC=BF+DF+DC=5+3+4=12，∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×12×4=24.故选B．
8.【答案】A
【解析】∵A(1,0)，∴OA=1，∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴AB=2，∴OB= 22−12= 3，∵Rt△AO′B′是由Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的，∴O′B′=OB= 3，AO′=AO=1，O′A⊥x轴，∴O′B′ // x轴，∴B′( 3+1,1)，
∵Rt△AO′B′的外接圆的圆心是AB′的中点，∴Rt△AO′B′的外接圆的圆心坐标是1+ 32,12.故选A．
9.【答案】A
【解析】∵A(1,0)，∴OA=1．∵∠AOB=90∘，∠BAO=60∘，∴OB= 3．∵Rt△AO′B′是由Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90度后得到的，∴O′B′=OB= 3，AO′=AO=1．∵旋转角是90∘，∴O′A⊥x轴，∴O′B′//x轴，∴B′( 3+1,1)．∵Rt△AO′B′的外接圆的圆心是AB′的中点，∴Rt△AO′B′的外接圆的圆心坐标是(1+ 32,12).故选A．
10.【答案】D
【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，∵EF垂直平分AC，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA=3，∴△ABC外接圆的面积=π×32=9π.故选D．
11.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，
在Rt△OAE中，AE=OE⋅tan∠AOE=1，
∴AB=2AE=2，
故选：A．
如图所示，连接OA，OB，由圆周角定理得到∠AOB=90°，由垂径定理得到∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，再解Rt△OAE求出AE=1，则AB=2AE=2．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
根据圆周角定理求得∠BOC=120°，过点O作OM⊥BC，由垂径定理得出MB=MC，结合等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出CM的长度，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及垂径定理，理解相关性质定理并进行推理计算是解题的关键．
【解答】
解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵OB=OC，OM⊥BC，
∴∠COM=12∠BOC=60°，MB=MC，
∴在Rt△COM中，∠OCM=30°，
∴OM=12OC=1，CM= 3OM= 3，
∴BC=2CM=2 3，
故选：B．
13.【答案】69°
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．直接利用圆周角定理得出∠BCD=90°，进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=21°，
∴∠A=∠D=90°−21°=69°．
故答案为：69°
14.【答案】552
【解析】解：如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
连接OC交AB于点D，
根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，
作AO的垂直平分线交AB于点O’，
则点O’即为△AOC的外心，
设OB=CB=x，
∵点C(4,8)
∴CE=4，OE=8，
则OC=CE2+OE2=42+82=45
∴CD=OD=25，
EB=8−x，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
x2=(8−x)2+42，解得x=5，
即OB=BC=5，
∴BD=OB2−OD2=25−20=5
∵OD2=BD⋅AD
∴AD=45
设OO’=AO’=r，
则DO’=45−r，
∴(45−r)2+(25)2=r2
解得r=552.
所以△AOC的外接圆半径为：552.
故答案为：552.
先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出OC、OB和AO的长，进而可以求出外接圆的半径．
本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形变化−对称、翻折变换，解决本题的关键是综合运用以上知识．
15.【答案】(3,4)
【解析】解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，
设圆心O′(3,m)，则有32+m2=(9−m)2，
解得m=4，
∴圆心O′(3,4)，
故答案为：(3,4).
由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′(3,m)，根据勾股定理构建方程求解即可．
本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】 7−12
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK上时，CD的值最小，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OD，OC，
∵D是AP的中点，
∴AD=DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO=90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点D在CK上时，CD的值最小．
∵∠ABC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC=OB=12AB=1，
作CE⊥OB，
在Rt△OCE中，
∵∠COB=60°，OC=1，
∴OE=12，CE= 32，
∴KE=12+12=1，
在Rt△CKE中，
CK= CE2+KE2
= 1+34
= 72，
∴CD=CK−KD= 72−12
= 7−12．
故答案为 7−12．
17.【答案】(1)解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆．
(2)斜边中点．
(3)解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D，OD= 3，
连接OB，
∵OD⊥BC，
∴BD=12BC=3，
∴OB= BD2+OD2=2 3，
其外接圆的面积为(2 3)2π=12π．
【解析】(1)作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可；
(2)根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；
(3)连接OB，利用勾股定理求出半径即可．
18.【答案】解：(1)如图，AE为所作；
(2)连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴BE=CE，
∴OE⊥BC，
∴EF=3，
∴OF=5−3=2，
在Rt△OCF中，CF= 52−22= 21，
在Rt△CEF中，CE= 32+( 21)2= 30．
【解析】本题考查了作图−作角平分线，圆周角定理，垂径定理及勾股定理等．
(1)利用基本作图作AE平分∠BAC；
(2)连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到BE=CE，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
19.【答案】(1)证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CDB，
∵∠CEB=∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)解：∵OE//AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∴AD= AB2−BD2= 102−82=6，
∴AE= AD2+DE2= 62+42=2 13，
设BC=x，EC=y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(2 13+y)2+x242=x2+y2,
整理得：x2+y2+4 13y−48=0x2+y2=16，
∴16+4 13y−48=0，
解得：y=8 13，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=12 1313或x=−12 1313(舍去)，
∴BC的长为12 1313．
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
(2)由OE//AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，∠ACB=90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC=x，EC=y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
20.【答案】OB OC 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
【解析】解：(1)补全图形如下图：
(2)连接OA，OB，OC，
∵线段AB的垂直平分线m，线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O，
∴OA=OB=OC，
∵∠APB与∠ACB对AB，
∴∠APB=∠ACB(在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等)．
故答案为：OB，OC，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
(1)根据作图过程补画图形即可；
(2)根据圆的性质即可完成证明．
本题主要考查了作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，能够准确作图并灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵P为AB中点，∴PA=PB．
又∵∠A=∠B，∠MPA=∠NPB，∴△APM≌△BPN．
(2)解：由(1)得PM=PN，∴MN=2PN，
∵MN=2BN，∴PN=BN，
∴α=∠B=50∘．
(3)解：40∘<α<90∘．
【解析】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．
(1)根据AAS证明：△APM≌△BPN；
(2)由(1)中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
(3)三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
22.【答案】解：(1)如图，点O为所求；
(2)如图，DE⊥AB或DE⊥AC时，△ADE与△ABC相似，
∵∠B=∠ADE=90°，∠DAE=∠DAE，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】(1)根据直角三角形的外心是斜边中点即可得答案；
(2)根据相似三角形的判定方法，作出图形即可．
本题考查了作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
23.【答案】(1)解：如图，圆O及AD即为所求．
(2)证明：∵AD=BC，
∴AD=BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD//AB．
【解析】(1)分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，即可得△ABC的外接圆；以点A为圆心，BC长为半径画弧，交AB上方的圆O于点D，连接AD即可．
(2)由AD=BC可得AD=BC，根据圆周角定理可得∠ACD=∠BAC，再结合平行线的判定定理可得结论．
本题考查作图−复杂作图、圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
在△DBE和△DAC中，∠BDE=∠ADB，∠EBD=∠BAD，
∴△DBE∽△DAC，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD2=AD⋅DE；
(2)解：设⊙O的圆心为点O，连接OD交BC于H，OB，过点B作BF//AD交CA的延长线于F，如图：
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴BD=CD，
∴∠O=2∠BAD=60°，OD⊥BC，
∴BH=CH，BC=2BH，
又OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OD，OH=DH，
设OH=DH=k，则BD=2k，
由勾股定理得：BH= BD2−DH2= 3k，
∴BC=2BH=2 3k，
∵BF//AD，∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠F=∠CAD=30°，∠ABF=∠BAD=30°，
∴∠F=∠ABF=30°，
∴AF=AB=4 3，
∵BF//AD，
∴AF：AC=BE：CE，
∴BE：CE=4 3：6 3=2：3，
∴可设：BE=2a，CE=3a，
∴BC=BE+CE=5a，
∴5a=2 3k，即：a=2 3k5，
∴BE=2a=4 3k5，CE=3a=6 3k5，
由(1)得：△DBE∽△DAC，
∴BD：AD=BE：AB，即：2k：AD=4 3k5：4 3，
∴AD=10；
设DE=x，则AE=AD−DE=10−x，
由(1)的结论得：BD2=AD⋅DE，即：(2k)2=10x，
∴k2=2.5x，
由相交弦定理得：DE⋅AE=BE⋅CE，
即：x(10−x)=4 3k5⋅6 3k5=7225k2，
将k2=2.5x代入上式得：x(10−x)=7225×2.5x=7.2x，
∵x≠0，
∴10−x=7.2，故x=2.8，
∴DE=2.8．
【解析】(1)先证∠CBD=∠BAD，然后根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定△DBE和△DAC相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
(2)设圆心为点O，连接OD交BC于H，OB，过点B作BF//AD交CA的延长线于F，先证OD⊥BC及△OBD为等边三角形，从而得BD=OD，OH=DH，BH=CH，设OH=DH=k，则BD=2k，BH= 3k，BC=2 3k，再证AF=AB=4 3，由BF//AD得BE：CE=2：3，于是可设BE=2a，CE=3a，则BC=5a=2 3k，从而得a=2 3k5，则BE=2a=4 3k5，CE=3a=6 3k5，然后由(1)得△DBE∽△DAC，据此由相似三角形的性质得AD=10，最后设DE=x，则AE=10−x，由(1)的结论得k2=2.5x，由相交弦定理得DE⋅AE=BE⋅CE，据此即可求出x，进而得DE的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质、垂径定理．
25.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cs∠ABC=BCAB=45，
∵AB=10，
∴BC=8；
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠AEC=∠BED，∠BDE=∠EAC，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=CE，
作CH⊥AB于点H，
则AH=EH，
∵cs∠CAH=cs∠CAB，
∴AH6=610，
∴AH=185，
∴AE=2AH=365．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，再利用三角函数可得答案；
(2)利用等腰三角形的判定与性质可推导出AC=CE，作CH⊥AB于点H，根据cs∠CAH=cs∠CAB，可得AH的长，即可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角函数，垂径定理等知识，熟练掌握各性质是解决问题的关键．
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