数学北师大版6 直线与圆的位置关系精品课时练习

这是一份数学北师大版6 直线与圆的位置关系精品课时练习，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是．( )
A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)
2.已知⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l 的距离为3 2cm，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
3.已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为( )
A. 1：3
B. 1：2
C. 2：2
D. ( 2−1)：1
4.如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点，连接OA，OB，AB，分别将线段AO，AB绕点A顺时针旋转60∘到AA′，AB′，连接OA′，BB′，A′B′，OB′，下列结论正确的有( )
①点A′在⊙O上;
②△OAB≌△A′AB′;
③∠BB′A′=12∠BOA′;
④当OB′=2OA时，AB′与⊙O相切．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形.以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
6.如图，AC是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点为A，B.若∠P=40°，则∠ACB的大小是( )
A. 70°
B. 65°
C. 75°
D. 60°
7.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是切线的是( )
A. ∠E=∠CFEB. ∠E=∠ECF
C. ∠ECF=∠EFCD. ∠ECF=60°
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，(4,3)，以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为( )
A. 21−6 3B. 3C. 13D. 10
9.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AB上不与点A、B重合的一个动点，连接AD、CD，若∠ADC=80°，则∠ADC的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
10.如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB=4，则⊙O的半径是( )
A. 32
B. 1
C. 2 33
D. 2
11.下列命题是真命题的是( )
A. 三角形的内心到三边的距离相等
B. 明天昆明城区晴天是必然事件
C. a(a>0)是无理数
D. 有一个角是90°，且有一组邻边相等的四边形是正方形
12.如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC.若∠ACB=62°，则∠APB等于( )
A. 68°B. 64°C. 58°D. 56°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.⊙O的半径为6cm，若圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
14.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P=50°，则∠AOB= ．
15.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30∘，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t(秒)满足条件______ 时，⊙P与直线CD相交．
16.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD/​/OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AE=AB；
(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．
18.(本小题8分)
如图，已知AB为⊙O的直径且AB=2，点C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，点D在直径AB上，且AD=AC，EC是⊙O的切线，AE⊥EC，垂足为点E，若∠EAC=36°．
(1)求线段CD的长．
(2)请直接写出线段OD的长．
19.(本小题8分)
已知：等腰Rt△ABC，∠B=90°；求作：⊙O，使得⊙O经过A，C两点并且分别与直线AB和BC相切．作法：①分别以A，C为圆心，AB，CB长为半径作弧，两弧交于点O；②连接OA，OC；③以O为圆心，OA长为半径作⊙O.⊙O就是所求作的圆．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵等腰Rt△ABC
∴BA=BC．
∴BA=BC=OA=__________，
∴四边形OABC是菱形．
又∵∠B=90°
∴菱形OABC是正方形．(_____________________________)(填推理的依据)
∴OA⊥AB，OC⊥CB．
∵点A，点C在⊙O上，
∴直线AB和BC与⊙O相切．(__________________________________)(填推理的依据)
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB的中点，连接CD，过点D作DE // AB交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE为⊙O切线．
(2)若AC=4，CD= 2，求⊙O的半径长．
21.(本小题8分)
下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．
作法：如图2，
①连接PO并延长交⊙O于点A；
②在⊙O上任取一点B(点P，A除外)，以点B为圆心，BP长为半径作⊙B，与射线PO的另一个交点为C．
③连接CB并延长交⊙B于点Q．
④作直线PQ；
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图的过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形：(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：∵CQ是的⊙B直径，
∴∠CPQ=________ °(________________)(填推理的依据)
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线(________________)(填推理的依据)
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O与AC交于点E，连接BE，点D为半圆AB的中点，连接DE，DE与AB交于点F，连接OD，若EF=BE，∠CBE=∠ODF．
(1)求证：BC为⊙O的切线．
(2)若AF=2 2，求⊙O的半径长．
23.(本小题8分)
如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为点B．
(1)求证：PB是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为4，OC=5，求PA的长．
24.(本小题8分)
按要求作图：
(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；
(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC=50°，利用无刻度直尺在图中画一个含有50°角的直角三角形；
(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；
(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是BD⌢的中点，过点C作CE⊥AD于点E，连接CD．
(1)判断EC与⊙O的位置关系，并证明．
(2)若AD=6，cs∠ACD=45，求⊙O的半径．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．
设⊙P与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解答】
解：设⊙P与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE=OF=PE=PF=5，
∵A(0,8)，
∴OA=8，
∴AE=8−5=3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC=OA=8，BC/​/OA，AC/​/OB，
∴EG/​/AC，
∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，
∴CG=AE=3，EG=OB，
∴PG⊥CD，
∴CD=2CG=6，
∴DB=BC−CD=8−6=2，
∵PD=5，DG=CG=3，
∴PG=4，
∴OB=EG=5+4=9，
∴D(9,2)．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若dr，则直线与圆相离．根据圆心到直线的距离为3 2cm大于圆的半径4cm，则直线和圆相交．
【解答】
解：∵圆心到直线的距离为3 2cm，⊙O的半径为4cm，
3 2>4，
∴直线l和圆相离．
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质等知识点，
利用AAS判定△ABC≌△CODAAS，再利用EO=DO，得出S△COD=S△COE=12S△CDE，S△ABC=12S△CDE，即可得出结果，
【解答】
解：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，即∠OCB=90∘，
∴∠COD+∠OBC=90∘，
又∵∠ABE=90∘，即∠ABC+∠OBC=90∘，
∴∠ABC=∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE=90∘，即∠OCE+∠OCD=90∘，
又∠A+∠E=90∘，而∠E=∠OCE，
∴∠A=∠OCD，
在△ABC和△COD中，
∠A=∠OCD,∠ABC=∠COD,AC=CD,
∴△ABC≌△CODAAS，
又∵EO=DO，
∴S△COD=S△COE=12S△CDE，
∴S△ABC=12S△CDE，
即△ABC和△CDE面积之比为1:2，
4.【答案】A
【解析】解：∵OA=AA′，∠OAA′=60°，
∴△AOA′是等边三角形，
同理可得，
△ABB′是等边三角形，
①∵△AOA′是等边三角形，
∴OA′=OA，
∴点A′在⊙O上，
故①正确，
∵∠OAA′=∠BAB′=60°，
∴∠OAB=∠A′AB′，
在△OAB和△A′AB中
OA=AA′∠OAB=∠A′AB′AB=AB′
∴△OAB≌△A′AB′(SAS)，
故②正确，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′=OB，
∵OB=OA=AA′，
∴AA′=A′B′，
∴∠A′AB′=∠A′B′A，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′=∠AB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠BAA′，
∵∠BOA′=2∠BAA′，
∴∠BB′A′=12∠BOA′，
故③正确，
④如图，
过点O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B=60°，
∵OA=OB，B′A=B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB′B=12∠AB′B=30°，
∴OB′=2OC，
∵OB′=2OA=2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴∠OBB′=90°，
在△OAB′和△OBB′中，OA=OBAB′=BB′OB′=OB′,
∴△OAB′≌△OBB′(SSS)，
∴∠OBB′=∠OAB′=90°，
∴OA⊥AB′，
∵OA是⊙O半径，
∴AB′是⊙O的切线，
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选A．
可证得△AOA′和△ABB′是等边三角形，可推出OA′=OA，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出A′B′=OB=AA′，进一步得出③正确；作OC⊥B′B，可推出∠OB′B=30°，进而得出OB′=2OC，结合OB′=2OB可推出点C和点B重合，进而得出④正确，从而得出结果．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
5.【答案】B
【解析】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA=OC∴OA=OB=OC=OE≠OD，
①OA=OE=OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA=OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE=OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
根据三角形的外心得出OA=OC=OA，根据正方形的性质得出OA=OC本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OB，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOB=360°−∠OAP−∠OBP−∠P=140°，
∴∠ACB=12∠AOB=70°，
故选：A．
先根据切线的性质和四边形内角和定理求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠ACB的度数即可．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，正确求出∠AOB的度数是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论．
【解答】
解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质，掌握勾股定理，两点间的距离公式，等积法，切线的性质等知识是解决问题的关键．
当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM=2，由A(−2,0)，C(2,0)，得出AC=4，由切线的性质得出∠AMC=90°，由勾股定理求出AM=2 3，由等积法MH= 3，进而求出CH=1，OH=1，得出M(1, 3)，即可求出MN= 21−6 3．
【解答】
解：如图，当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM=2，
∵A(−2,0)，C(2,0)，
∴AC=4，
∵AM与⊙C相切，
∴∠AMC=90°，
∴AM= AC2−CM2= 42−22=2 3，
∵S△ACM=12AM·CM=12⋅AC⋅MH，
∴MH=AM⋅CMAC=2 3×24= 3，
∴CH= CM2−MH2= 22−( 3)2=1，
∴OH=2−1=1，
∴M(1, 3)，
∵N(4,3)，
∴MN= (4−1)2+(3− 3)2= 21−6 3，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解；连接OB，OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵∠ADC=80°，
∴∠AOP=360°−160°=200°，
∴∠BOA=360°−∠OBP−∠OAP−∠APB=100°．
∵PO=PO，OB=OA，
∴Rt△BPO≌Rt△APO(HL)，
∴∠BOC=∠COA=12∠AOB=50°，
∴∠ADC=12∠AOC=25°，
故选：C．
连接OB，OA，根据切线的性质可得∠OBP=∠OAP=90°，再根据四边形的内角和可先求出∠BOA的度数，然后利用HL证明Rt△BPO≌Rt△APO，从而可得得∠BOC=∠COA=12∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，⊙O分别与AB、BC相切于N、M，
连接OB，OC，OM，ON，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵OM=ON，
∴OB平分∠ABC，
同理：OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OB=OC，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC=2，
∵tan∠OBM=OMBM= 33，
∴OM=2 33，
∴⊙O的半径是2 33．
故选：C．
由切线的性质得到OM⊥BC，ON⊥AB，又OM=ON，推出OB平分∠ABC，同理：OC平分∠ACB，由等边三角形的性质推出△OBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出BM的长，由锐角的正切即可求出OM的长．
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得到△OBC是等腰三角形．
11.【答案】A
【解析】解：A、三角形的内心到三边的距离相等，是真命题，符合题意；
B、明天昆明城区晴天是随机事件，不符合题意；
C、 a(a>0)不一定是无理数，比如：当a=4时， 4是有理数，不符合题意；
D、有一个角是90°，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
故选：A．
根据三角形的内切圆与内心、随机事件、无理数的概念以及正方形的判定等知识逐一进行判断即可．
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，无理数的概念，随机事件以及正方形的判定等知识点，难度不大．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．先根据切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，再利用四边形的内角和和圆周角定理即可得到∠APB的度数．
【解答】
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∵∠ACB=62°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×62°=124°，
∴∠APB=180°−124°=56°，
故选：D．
13.【答案】相交
【解析】【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与 ⊙O 的位置关系为相交．
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是 4cm ， ⊙O 的半径为 6cm ，
又∵ 4<6 ，
∴直线l与 ⊙O 相交．
故答案为：相交．
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若 dr ，则直线与圆相离．
14.【答案】130°
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°，∠P=50°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°．
故答案为：130°．
先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
15.【答案】4【解析】【分析】
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，首先分析相切时的数量关系，则点P到CD的距离应是1，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得OP=2；那么当点P在OA上时，需要运动(6−2)÷1=4秒；当点P与O重合时，需要运动(6+2)÷1=8秒．所以4【解答】
解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过点P作PE⊥CD于E，
，
∴PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(6−2)cm后与CD相切，
∴∴需要运动(6−2)÷1=4秒，
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，
，
过点P作PF⊥CD于F，
∴PF=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(6+2)cm后与CD相切，
∴需要运动(6+2)÷1=8秒，
∵在这两个切点之间的都是相交，
∴4故答案为416.【答案】20°
【解析】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴∠OAB=90°．
∵∠B=50°，
∴∠AOB=40°，
∴∠ADC=12∠AOB=20°．
∵AD/​/OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°，
故答案为：20°．
连接OA，由切线的性质得出∠OAB=90°，结合∠B=50°，得出∠AOB=40°，由圆周角的性质得出∠ADC=20°，再由平行线的性质得出∠OCD=∠ADC=20°．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
17.【答案】(1)证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC/​/AD，
∴∠OCB=∠E，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∴∠B=∠E，
∴AE=AB；
(2)解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= 102−62=8，
∵AB=AE=10，AC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∵12CD⋅AE=12AC⋅CE，
∴CD=6×810=245．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
(1)连接AC、OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC//AD，所以∠OCB=∠E，然后证明∠B=∠E，从而得到结论；
(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6，然后利用面积法求出CD的长．
18.【答案】解：(1)如图，连接OC，

∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴AE/​/OC，
∴∠ACO=∠EAC=36°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO=36°，
∴∠COD=∠OAC+∠ACO=36°+36°=72°，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=180°−∠CAD2=180°−36°2=72°，即∠CDO=72°，
∴∠COD=∠CDO，
∴CD=OC，
∴直径AB=2，
∴半径OC=1，
∴CD=1；
(2)设OD=x，则AC=AD=x+1，
由(1)得：OC=CD=1，∠CAD=36°，∠ADC=∠ACD=72°，
∵∠OCD=180°−∠COD−∠CDO=180°−72°−72°=36°，
∴∠OCD=∠CAD，∠ADC=∠ODC，
∴△DOC∽△DCA，
∴ODCD=CDAD，即x1=1x+1，
解得：x=−1± 52，
经检验，x=−1± 52是原方程的根，
∵x>0，
∴OD= 5−12，
故线段OD的长为 5−12．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质可得OC⊥EC，进而推出AE/​/OC，由平行线性质可得∠ACO=∠EAC=36°，再结合圆的半径相等和等腰三角形性质可得∠OAC=∠ACO=36°，运用三角形内角和定理及等腰三角形性质可得∠COD=∠CDO=72°，即可求得CD=OC=1；
(2)设OD=x，则AC=AD=x+1，可证得△DOC∽△DCA，得出ODCD=CDAD，即x1=1x+1，解方程即可求得答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】(1)解：
(2)OC；有一个角是直角的菱形是正方形；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【解析】(1)根据题干中的作图步骤进行尺规作图即可；
(2)根据作图步骤、正方形的判定定理和切线的判定定理解答即可．
20.【答案】(1)证明：如图，连接OD.∵点D为半圆AB的中点，∴ AD⌢=BD⌢ ，∴∠AOD=∠BOD.∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD=∠BOD=90°.∵DE // AB，∴∠AOD=∠ODE=90°，∴OD⊥DE.∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线．
(2)解：如图，过点D作DH⊥AE，垂足为点H.∵ AD⌢=AD⌢ ，∴ ∠ACD=12∠AOD=45∘ .∵DH⊥AE，∴∠DHC=90°，∴∠CDH=180°−∠DHC−∠DCH=45°，∴∠DCH=∠CDH=45°，∴DH=CH. 在Rt△DHC中， CD= 2 ，由勾股定理，得 CD2=DH2+CH2， 即2DH2=2CH2=2，∴DH=CH=1，∴AH=AC−CH=4−1=3. 在Rt△ADH中，由勾股定理，得 AD2=DH2+AH2，∴ AD= DH2+AH2= 12+32= 10 . 在Rt△AOD中，AO=OD，由勾股定理，得∴AD2=AO2+OD2，∴2AO2=10，∴ AO= 5 ，∴⊙O的半径长为 5 ．

【解析】略
21.【答案】(1)补全图形如图所示：PQ即为所求．
(2)90；圆周角定理；切线的判定定理．

【解析】(1)根据题意作图即可；
(2)根据圆周角定理可得∠CPQ=90°，根据切线的判定定理即可得结论．
22.【答案】(1)证明：∵点D为半圆中点，
∴AD=BD，
∵∠AOD=∠BOD，
∴∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∵EF=EB，
∴∠EFB=∠EBF，
∵∠EFB=∠OFD，
∴∠ODF+∠EBF=90°，
∵∠CBE=∠ODF，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBF=90°，
∴CB⊥AB，AB为⊙O直径，
∴CB为⊙O切线；
(2)解：连接AD．

∵AE=AE，
∴∠ADF=∠ABE，
∵∠EBF=∠EFB=∠AFD，
∴∠ADF=∠AFD，
∵AF=2 2，
∴AF=AD=2 2，
∵∠AOD=90°，AO=DO，
在Rt△AOD中，AD2=AO2+DO2，
∴AO2=8，
∴AO=2，
∴⊙O半径为2．
【解析】(1)根据等弧所对的圆周角相等得到∠AOD=∠BOD=90°，即∠ODF+∠OFD=90°，根据∠CBE=∠ODF的等边对等角得到∠CBA=∠CBE+∠EBF=90°证明结论；
(2)连接AD，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠ABE，即可求出AF=AD=2 2，然后利用勾股定理求出半径长．
本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
(2)解：∵OA=OB=4，OC=5，
∴AC=OA+OC=4+5=9，
∵∠OBC=90°，
∴BC= OC2−OB2= 52−42=3，
∵∠A=90°，
∴PAAC=OBBC=tan∠ACP=43，
∴PA=43AC=43×9=12，
∴PA的长是12．
【解析】(1)由切线的性质得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB=OA，则点B在⊙O上，即可证明PB是⊙O的切线；
(2)由OA=OB=4，OC=5，得AC=OA+OC=9，BC= OC2−OB2=3，由PAAC=OBBC=tan∠ACP=43，得PA=43AC=12，所以PA的长是12．
此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OB=OA是解题的关键．
24.【答案】(1)解：根据垂径定理可知，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可，图中EF即为直径．
(2)解：延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则△BEF即为所求；
(3)解：作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可，如图．
(4)解：过点A作圆的两条割线：ACD和AEF.连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可，如图．

【解析】(1)根据垂径定理可知，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可；
(2)延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，再连接EF，则△BEF即为所求；
(3)作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可；
(4)过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可．
25.【答案】解：(1)EC与⊙O相切．
证明：如图，连接OC.∵点C是 BD⌢ 的中点，∴ CD⌢=BC⌢ ，∴∠CAE=∠CAB.∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠CAE=∠OCA，∴OC // AE，∴∠E+∠OCE=180°.∵CE⊥AD，∴∠E=90°，∴∠OCE=90°，∴CE⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴EC与⊙O相切．
(2)如图，连接BD，∵ AD⌢=AD⌢ ，∴∠ACD=∠ABD，∴ cs∠ACD=cs∠ABD=45 .∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴ cs∠ABD=BDAB=45
. 设AB=5x，BD=4x，∴AD2+BD2=AB2，∴62+(4x)2=(5x)2，∴x=2，∴AB=5x=10，∴OB=5. 即⊙O的半径为5．
【解析】略