初中数学北师大版九年级下册7 切线长定理优秀课后测评

这是一份初中数学北师大版九年级下册7 切线长定理优秀课后测评，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K.则点K是△PMN的( )
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点
2.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=9，AB=8，BC=10，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为( )
A. 9
B. 7
C. 11
D. 8
3.如图，⊙I是△ABC的内切圆，点D、E分别在AB、AC上，且DE是⊙I的切线．若△ABC的周长为21，BC=6，则△ADE的周长是
( )
A. 15B. 9C. 7.5D. 7
4.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N.若PA=7.5cm，则△PMN的周长是( )
A. 7.5 cmB. 10 cmC. 12.5cmD. 15 cm
5.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，且∠C=90°.已知AC=12，BC=5，则四边形OFCE的面积为( )
A. 1
B. 15
C. 152
D. 4
6.如图，直线AB、BC、CD分别与⊙ O相切于E、F、G，且AB // CD，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE+ CG的长等于
( )
A. 13 cmB. 12 cmC. 11 cmD. 10 cm
7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点B、D，点E是圆周上任意一点，连接AE、DE，若∠C=70°，则∠AED=( )
A. 50°
B. 40°
C. 25°
D. 35°
8.如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB,AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，DE=3，则OD的长为
( )
A. 2 2B. 4C. 72D. 10
9.我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
[问题解决]如图，现有一块边长为20m的正方形空地ABCD，在AB边取一点M，以MB长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点C划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形ABCD位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于( )
A. 180m2B. 250m2 C. 110 3m2D. 200 2m2
10.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25°，则∠P的度数为( )
A. 50°B. 65°C. 25°D. 75°
11.如图，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠DCB，若AD=18，BC=8，则⊙O的半径为
( )
A. 12B. 16C. 20D. 24
12.如图，已知PA、PB分别切☉O于A、B，CD切☉O于E，PO=13，AO=5，则△PCD周长为
( )
A. 20B. 22C. 24D. 26
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在□ABCD中，AB=5，AD=6，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M.当CN⊥AD时，⊙O的半径为 ．
14.如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为 ．
15.如图，⊙O是三角形纸片ABC的内切圆，在⊙O的右侧沿着⊙O相切的直线MN剪下△AMN.若△ABC的周长为15cm，BC=4cm，则剪下的△AMN的周长为 cm.
16.如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图：已知等腰Rt▵BCD，∠BCD=90∘，B、D在⊙O上，延长BC交⊙O于点F，过B点作BE⊥BC，交⊙O于点E，连接DE，连接EF，I是▵FBE的内心．

(1)如图1，求证：∠DEF=∠DFE；
(2)如图2，连接BI，延长交⊙O于点A，求证：AI=AF；
(3)如图3，过I点作EF的垂线，垂足为M，当时CD=2时，求FM−EM的长度．
18.(本小题8分)
如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB/​/CD，OB=6cm，OC=8cm.求：
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长;
(3)⊙O的半径．
19.(本小题8分)
如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB/​/CD，OB=6cm，OC= 8cm.求：
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长;
(3)⊙O的半径．
20.(本小题8分)
如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB=4，CD=9，求⊙O的半径．
21.(本小题8分)
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA=DE．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)求证：OA2=DE⋅CE．
23.(本小题8分)
已知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED=2∠C．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若BF=FC，AE= 3，求⊙O的半径．
24.(本小题8分)
如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=6，AC=5，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，CA于点D，E，F.求AF的长．
25.(本小题8分)
如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠P=40°.点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD=BE，BD=AF，求∠EDF的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接OM、ON、MK、NK，根据切线长定理得出PM=PN，证得△POM≌△PON，得出OP是∠MPN的平分线，然后根据圆周角定理证得∠PMK=∠NMK=∠PNK=∠MNK，从而证得结论．
【解答】
解：连接OM、ON、MK、NK，
∵PM、PN分别是⊙O的切线，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∵OM=ON，
∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴△POM≌△PON，
∴OP是∠MPN的平分线，∠MOP=∠NOP，
延长PO交⊙O于Q，连接MQ，
由圆周角定理可得∠KMQ=90°=∠OMP，
∴∠PMK=∠OMQ=12∠MOK，
同理∠PNK=12∠NOK，
∵∠NMK=12∠NOK，∠MNK=12∠MOK，
∴∠PMK=∠NMK=∠PNK=∠MNK，
∴点K是△PMN的三个角的角平分线的交点，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：∵AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得
CN=CM=x，BM=BP=10−x，AN=AP=9−x．
则有9−x+10−x=8，
解得：x=5.5．
所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=CM+CN=2x=11．
故选：C．
因为AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M.根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ.所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABC的周长为21，BC=6，∴AC+AB=21−6=15，
设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，
则DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE
=AD+DM+AE+EQ
=AB−BM+AC−CQ
=AC+AB−(BM+CQ)
=15−6=9，
故选B．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，则BM+CQ=6，所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DM+EQ=AC+AB−(BM+CQ)，代入求出即可．
本题主要考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
根据切线长定理得MA=MC，NC=NB，然后根据三角形周长定义进行计算即可．
【解答】
解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、 B、C，
∴MA = MC，NC = NB，PA=PB，
∴ △PMN的周长= PM + PN + MC + NC
= PM + MA + PN + NB = PA + PB =2PA=15( cm )
故选D 。
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理．此题让我们记住一个结论：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半．首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BE，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，然后求得正方形的面积．
【解答】
解：连OD，OE，OF，如图，设半径为r，则OE⊥BC，OD⊥AB，OF⊥AC，CF=CE，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF=CE=r，
∴BE=BD=5−r，AD=AF=12−r，
∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=13，
∴5−r+12−r=13，
∴r=2，
∴四边形OFCE的面积为22=4，
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要是考查了切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】
解：∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°．
∴∠BOC=90°．
∴BC= OB2+OC2=10cm．
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm．
故选D．
7.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵CB，CD分别切圆于B、D，
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠C=70°，
∴∠CBD=12×(180°−70°)=55°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=35°
∴∠AED=∠ABD=35°．
故选：D．
连接BD，由切线长定理得到CB=CD，因此∠CBD=∠CDB，由∠C=70°，得到∠CBD=55°，由切线的性质定理得到∠ABC=90°，求出∠ABD=35°，由圆周角定理即可得到∠AED=∠ABD=35°．
本题考查切线的性质，切线长定理，圆周角定理，关键是由切线长定理求出∠ABD的度数，即可由圆周角定理得到∠AED的度数．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理、切线长定理等知识．设⊙O与AB、AD相切于点M、N.连接OM、ON，则四边形AMON是正方形．根据切线长定理，可得DE=DN=3，AN=1，然后根据勾股定理可得答案．
【解答】
解：设⊙O与AB、AD相切于点M、N.连接OM、ON，则四边形AMON是正方形．
∵DE、DA是⊙O的切线，
∴DE=DN=3，
∵AD=4，
∴AN=ON=4−3=1，
在Rt△OND中，OD= ON2+DN2= 12+32= 10．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，切线长定理的有关知识，当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由线长定理得到CH=CB=20(m)，PA=PH，设PA=x m，由勾股定理列出关于x的方程，求出PA的长即可解决问题．
【解答】
解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，
PC与半圆相切于H，交AD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PA⊥AB，CB⊥AB，
∴PA，PB分别是半圆的切线，
∴CH=CB=20(m)，PA=PH，
设PA=x m，则PH=x m，PD=(20−x)m，PC=(x+20)m，
在Rt△PDC中，PC2=PD2+DC2，
∴(x+20)2=(20−x)2+202，
∴x=5，
∴PA=5(m)，
∴娱乐区的最大面积=梯形ABCP的面积=12(AP+BC)⋅AB=12×(5+20)×20=250(m2).
10.【答案】A
【解析】【分析】
利用切线长定理可得PA=PB，CA⊥PA，则∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°，计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和计算∠P的度数．
【解答】
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，CA⊥PA，
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°，
∴∠PAB=90°−∠CAB=90°−25°=65°，
∴∠PBA=65°，
∴∠P=180°−65°−65°=50°．
故选A．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，是常考题，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键，在证明圆的切线时建议熟记“无交点，作垂线段，证半径”，“有交点，作半径，证垂直”.连接OD，作OE⊥CD，垂足为E，则有∠CEO=90∘，先证明AD、CD是⊙O的切线，再结合条件“AD//BC”“CO平分∠DCB”证∠DOC=90°，最后证ΔADO∽ΔBOC，利用相似三角形对应边成比例即可求得⊙O的半径．
【解答】
解：如图，连接OD，作OE⊥CD，垂足为E，则有∠CEO=90∘，
∵AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线，∠ADC+∠BCD=180°，∠CBO=∠DAB=90∘，
∴∠CEO=∠CBO，
∵CO平分∠DCB，
∴∠ECO=∠BCO，
∵OC=OC，
∴△CEO≌△CBO(AAS)，
∴OE=OB，
∴CD是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠CDO，
∴∠CDO+∠ECO=90°，
∴∠DOC=90°，
∴∠ADO=∠BOC(同角的余角相等)，
又∠DAB=∠CBO=90°，AD=18，BC=8，
∴ΔADO∽ΔBOC，
∴ADBO=AOBC，即18AO=AO8，
∴AO=12，
即⊙O的半径为12，
故选A
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、切线的性质以及切线长定理的运用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长长度相等，圆心和这一点的连线，平分这两条切线的夹角．由切线长定理可得PA=PB，DA=DE，CE=CB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周长=PC+CB+AD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】
解：连接OB．
∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA= PO2−OA2=12；
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB；
同理可得：CB=CE，DE=DA．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CB+AD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=24，
故选C．
13.【答案】2或1.5
【解析】连接OE，OF，OG，OM.由题意，得OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，OM⊥CN.因为在□ABCD中，AD // BC，所以O，E，G三点共线．易证四边形OMNE、四边形OMCG为正方形，四边形GCNE为矩形，所以OM=MN=NE=OE=OG=CM.设⊙O的半径为r，则CN=2r.由切线长定理，得BF=BG=6−r，AE=AF=AB−BF=r−1.所以DN=AD−AE−NE=7−2r.在Rt△CND中，由勾股定理，得CN2+DN2=CD2，即(2r)2+(7−2r)2=52，解得r1=2，r2=1.5.所以⊙O的半径为2或1.5．
14.【答案】9
【解析】解：∵△ABC的周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21−6=15，
设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点分别为M、N、Q，与DE的切点为P，
则DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE=AD+DM+AE+EQ=AB−BM+AC−CQ=AC+AB−(BM+CQ)=15−6=9．
15.【答案】7
【解析】解：设G，H分别是⊙O的切点，由切线长定理得，BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，
∴BD+CE=BG+CG=4(cm)，
∴AD+AE=15−8=7(cm)，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NE=AD+AE=7(cm)，
故答案为：7.
根据切线长定理得到BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，根据三角形的周长公式计算．
本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：∵AC与⊙O相切于点C，AB与⊙O相切于点P，
∴AC=AP=7，
∵AB=10，
∴BP=AB−AP=10−7=3．
∵BD与⊙O相切于点D，BP与⊙O相切于点P，
∴BD=BP=3，
∴BD的长为3，
故答案为：3．
由AC与⊙O相切于点C，AB与⊙O相切于点P，可得AC=AP，同理得BD=BP，再由BD=BP=AB−AC求得结果．
此题考查切线长定理，由于两次用到切线长定理，所以应先通过观察确定要求的线段的长由哪两条线段的差构成．
17.【答案】解：(1)因为△BCD是等腰直角三角形，
所以∠DBC=∠DEF=45°，∠EBF=∠EDF=90°，
所以∠EFD=45∘，
所以∠DEF=∠EFD=45∘，
所以∠DEF=∠DFE；
(2)如图：连接FI，

因为I是ΔFBE的内心
所以：∠EBA=∠5=∠2，∠3=∠4，
∠1=∠3+∠5=∠2+∠4，
所以：AI=AF；
(3) 如图3中，过点D作DJ⊥EB交EB的延长线于点J，作△BEF的内切圆⊙I，切点分别为P，Q，M．

∵∠CBJ=∠J=∠DCB=90∘，
∴四边形BJDC是矩形，
∵CB=CD，
∴四边形BJDC是正方形，
∴CD=DJ=BJ=BC，
∵∠DEF=∠DFE=45∘，
∴DE=DF，
∴Rt△DCF≌Rt△DJE(HL)，
∴FC=EJ，
∵⊙I与△BEF内切于点P，Q，M，
∴EM=EP，BP=BQ，FQ=FM，
∴FM−EM=FQ−PE=BF−BE=BC+CF−(EJ−BJ)=2BC=2CD=4．
【解析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
(1)根据已知等腰RtΔBCD，可得∠DBC=∠DEF=45 ∘,∠EBF=∠EDF=90 ∘，则有∠EFD=45∘，结论得证；
(2)根据I是ΔFBE的内心，可得∠EBA=∠5=∠2,∠3=∠4，∠1=∠3+∠5=∠2+∠4，即有AI=AF；
(3)如图3中，过点D作DJ⊥EB交EB的延长线于点J，作△BEF的内切圆⊙I，切点分别为P，Q，M.证明四边形BJDC是正方形，再证明Rt△DCF≌Rt△DJE(HL)，推出FC=EJ，因为⊙I与△BEF内切于点P，Q，M，推出EM=EP，BP=BQ，FQ=FM，可得FM−EM=2CD=4．
18.【答案】解：(1)如图，连接OF，OE，OG，

根据切线长定理得BE=BF，CF=CG，易证
△OEB≌△OFB，△OFC≌△OGC，
∴∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG．
∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∴∠OBF+∠OCF=90∘，
∴∠BOC=90∘．
(2)由(1)知，∠BOC=90∘，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得BC= OB2+OC2=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
(3)∵OF⊥BC，∠BOC=90∘，
∴根据三角形面积公式，得12OF⋅BC=12OB⋅OC，
∴OF=OB⋅OCBC=4.8cm．

【解析】本题考查切线的性质和切线长定理，勾股定理，三角形的面积．
(1)根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
(3)最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
19.【答案】解：(1)如图，连接OF，OE，OG，

根据切线长定理得BE=BF，CF=CG，
在△OEB和△OFB中，
OE=OFOB=OBEB=FB,
∴△OEB≌△OFB(SSS)，
同理可得，△OFC≌△OGC，
∴∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG．
∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∴∠OBF+∠OCF=90∘，
∴∠BOC=90∘；
(2)由(1)知，∠BOC=90∘，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得BC= OB2+OC2=10cm，
∵BE=BF，CF=CG，
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm；
(3)∵OF⊥BC，∠BOC=90∘，
∴根据三角形面积公式得12OF⋅BC=12OB⋅OC，
∴OF=OB·OCBC=6×810=4.8cm，
∴⊙O的半径为4.8cm．

【解析】本题考查切线的性质和切线长定理，勾股定理，平行线的性质以及三角形的面积．
(1)根据切线长定理可证△OEB≌△OFB，△OFC≌△OGC，可得OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
(3)由三角形面积公式即可求得⊙O的半径OF的长．
20.【答案】 解：过B作BF⊥CD于F，
∵AB、CD与半圆O切于A、D，
∴∠BAD=∠CDA=∠BFD=90°，
∴四边形ADFB为矩形，
∴AB=DF，BF=AD，
∵AB=BE=4，CD=CE=9；
∴BC=BE+CE=13；
∴CF=CD−FD=9−4=5；
在Rt△BFC中，BF= BC2−CF2= 132−52=12，
∴AD=BF=12，
∴⊙O的半径为6．
【解析】本题考查切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题. 过B作CD的垂线，设垂足为F；由切线长定理知：BA=BE，CE=CD；即BC=AB+CD；在构建的Rt△BFC中，BC=AB+CD，CF=CD−AB，根据勾股定理即可求出BF即圆的直径，进而可求出⊙O的半径．
21.【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴AC⊥AP，
∴∠CAP=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠PBA=∠PAB=90°−25°=65°，
∴∠P=180°−∠PAB−∠PBA=180°−65°−65°=50°．
【解析】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟记切线的性质定理是解题的关键．根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
22.【答案】解：(1)连接OD，OE，如图1，
在△OAD和△OED中，OA=OEAD=EDOD=OD，
∴△OAD≌△OED(SSS)，
∴∠OAD=∠OED，
∵AM是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠OED=90°，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)过D作DF⊥BC于点F，如图2，
则∠DFB=∠DFC=90°，
∵AM、BN都是⊙O的切线，
∴∠ABF=∠BAD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=2OA，AD=BF，
∵CD是⊙O的切线，
∴DE=DA，CE=CB，
∴CF=CB−BF=CE−DE，
∵DF2=CD2−CF2，
∴4OA2=(CE+DE)2−(CE−DE)2，
即4OA2=4DE⋅CE，
∴OA2=DE⋅CE．
【解析】(1)连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD是⊙O的切线；
(2)过D作DF⊥BC于点F，易得四边形ABFD为矩形，得DF=2OA，再证明CF=CE−DE，进而根据勾股定理得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．
23.【答案】(1)见解析；(2)⊙O的半径是3．
【解析】【分析】(1)欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
(2)根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2 3 .则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．
【详解】(1)证明：连接OF．
∵∠OFB=180°−∠B−∠BOF=180°−∠B−2∠C=180°−∠B−∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
(2)解：∵BF=FC，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AFE=60°，∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF=AE= 3 ．
∴AD=2 3 ．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半径是3．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题．
24.【答案】解：∵△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，CA于点D，E，F，
根据切线长定理可知：
AD=AF，BD=BE，CE=CF，
设AF=x，则AD=x，
∵AB=9，BC=6，AC=5，
∴BD=BE=AB−AD=9−x，
∴CE=BC−BE=6−(9−x)=x−3，
∵CF=AC−AF=5−x，
∴x−3=5−x，
解得x=4．
答：AF的长为4．
【解析】根据切线长定理可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，列出方程即可求得AF的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心、切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
25.【答案】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=180°−40°2=70°，
在△AFD和△BDE中，
AD=BE∠FAD=∠DBEAF=BD,
∴△AFD≌△BDE(SAS)
∴∠AFD=∠BDE，
∴∠EDF=180°−∠BDE−∠ADF=180°−∠AFD−∠ADF=∠FAD=70°．
【解析】根据切线长定理得到PA=PB，根据三角形内角和定理得到∠PAB=∠PBA=70°，证明△AFD≌△BDE，根据全等三角形的性质得到∠AFD=∠BDE，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．